基于新矩陣變量下的測地線方程

王 根

（浙江師范大學 數學與計算機科學學院，浙江 金華 432001）

平直時空是用歐式幾何描述的，兩點間的最短線直線占有重要地位。彎曲時空中一般不存在直線，但是，兩點間會有最短線，統稱測地線。測地線在黎曼幾何中的作用，相當于直線在歐式幾何中的作用。 數學上測地線可視作直線在彎曲空間中的推廣；曲面上非直線的曲線是測地線的充分必要條件是除了曲率為零的點以外，曲線的主法線重合于曲面的法線[1，3-5，7-8]。目前，關于測地線方程的具體求解還存在一定的難度性，具體的解還依賴于具體的坐標系的選取[2，6，9]，這給測地線方程的研究帶來了復雜度。

定義[1]設Y是沿曲線γ∶(a，b)→M定義的向量場，若由仿射聯絡?給出?γ′ Y=0，則稱Y沿曲線γ平行，特別，當γ′沿自身曲線γ平行時 ，即 ?γ′ γ′=0，則稱γ為M上的測地線。顯然，Y沿曲線γ平行的局部坐標表示為

γ為M上測地線的充要條件為

本文使用新定義的變量考慮了如下測地線方程的微分動力系統性質即一階常微分方程組[3]，

1 記號與引理

引理1[3]在一個局部坐標系(U，ui)下，聯絡?∶是可以任意確定的，在自然標架場的運動規律：

因此Riemann流形M上的向量場的協變導數為

引理2[3]設M為Rn中n-1維C2正則超曲面，若M上的一條C2曲線C滿足

則稱該曲線為一條測地線，其中u=(u1，…，un-1)為M上的參數，x(u)=x(u1，…，un-1)為M的參數表示，t為曲線C的參數。

證參見文獻[3]中第2章第8小節定義2.8.3。

引理3[4]

1）n維C∞流形M的切叢TM上的線性聯絡?滿足撓張量T=0 ?對任意局部坐標系

2）? 滿足：(a)Z(X，Y)=〈?Z X,Y〉+〈X,?Z Y〉，?X,Y,Z∈C∞(TM)；(b)?g=0，(c)對任意局部坐標系平行移動下保持內積不變。

證參見文獻[4]中第1章第3小節定義1.3.5。

引理4[6][漸近線性穩定]對于所有的x0都有當且僅當A的所有特征值都有負實部。

證參見文獻[6]中第2章定理2.10，p60。

引理5[5]給定齊次常系數線性微分方程組x·=那么

1）若A的特征值的實部都是負的，則它的任意解當t→+∞時都趨于0。

2）若A的特征值的實部都是非正的，且實部為0的特征值都是簡單特征值，則它的任意解當t→+∞時都保持有界。

3）若A的特征值至少有一個具有正實部，則它至少有一解當t→+∞時趨于無窮。

證參見文獻[5]中第5章定理11，p220。

引理6[5][存在唯一性定理]若A(t)是n×n矩陣，f(t)是n為列向量，它們都在區間a≤t≤b上連續，則對于區間a≤t≤b上的任何數t0及任一常數向量η=(η1，…，ηn)T，方程組

存在唯一解φ(t)定義于整個區間a≤t≤b上，且滿足初始條件φ(t0)=η。

證參見文獻[5]中第5章5.1節定理1，p179-p184。

2 主要結果

定義2設(M，g)是Riemann流形，在一個局部坐標系(U，ui)下，聯絡?滿足引理1的條件，則定義幾何變量為

式中vj，vj是切矢場的分量，矩陣

由引理3的性質1得到Wkj=Wjk，因此，協變導數（3）改寫為形式Wkj，引理2可以改寫為簡潔形式k=1，…，n-1。 定義 1 中的（1）寫為形式線性形式測地線方程（2）改寫為一階常微分方程組

定理[測地線方程基本解定理]二階測地線方程（4）成為矩陣初值問題

則有唯一的解v(t)=v0e-Wt。

證根據常微分方程組的理論，對于給定的可微速度曲線γ′∶vi=vi(t)，t∈[t0，t′]，以及給定的初值矩陣初值問題有唯一的一組解使得=vi(t0)，由引理6的存在唯一性定理即可得證。

以上定理將測地線方程簡化為了線性問題，解的具體形式完全依賴于矩陣W，也就是將測地線問題集中到了對矩陣W的分析與研究，所以只要弄清楚了矩陣W的性質，測地線方程的解與性質也就完全知道了。

事實上，形式上，定理的解可以表示為級數形式

易得常數解v(t0)=v0對應第一項。由易得坐標解為代入級數形式得到

其中初始坐標為u0=u(t0)。以上通過定理間接地得到了測地線方程的坐標解u(t)。很顯然地，定理的零解v=0是穩定的，這一點可以很清楚得到。實際上，定理的唯一解具有普遍性，它不隨坐標系的選取而改變形式只要測地線方程（4）的形式保持不變。我們記坐標非線性項為

推論設矩陣W的復特征值為λ=w+iq，則定理的解可以寫為v=v0e-wt e-iqt，根據引理4與引理5分析可以得到如下結論：

1）若w＞ 0，則它的任意解當t→+∞時都趨于 0，此時是漸近線性穩定。

2）若w都是非負的，且實部為w=0的特征值都是簡單特征值，則它的任意解當t→+∞時都保持有界，即v=v0e-iqt。

3）若存在一個w＜ 0，則它至少有一解當t→+∞時趨于無窮。

由一階測地線方程（6）易得測地線方程的二階導數如下方程