探究定值結論，應用拓展反思

蘇華春

[摘? 要] 過拋物線交點的直線與拋物線之間存在一些常用結論，充分論證、探究應用、類比拓展，可充分挖掘結論的內在價值. 其中的定值結論具有廣泛的應用性，文章對定值結論進行深入探究，結合實例詳細剖析，并開展教學反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 拋物線;焦點;定值;類比;結論

拋物線與直線相交是高中數學重要的研究內容，其中存在一些較為特殊的規律和結論，如交點弦長結論、弦長中點坐標、坐標值乘積規律等，合理利用可以快速打開解題思路，提升解題效率，下面主要研究過拋物線焦點直線中的兩個定值結論，并對其深入探討.

■定值結論探討

問題呈現：過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線與拋物線相交于點A和B，設點A（x■，y■），B（x■，y■），試證明：（1）x■x■=■;（2）y■y■=-p2.

證明思路：過焦點F的直線與坐標x軸的關系可分為垂直與不垂直兩種，求證上述結論需要聯立直線與拋物線的解析式，利用韋達定理進行轉化論證.

方法過程：由拋物線的解析式可知焦點F的坐標為■，0.

①當AB不與坐標x軸垂直時，設其直線解析式為y=kx-■，聯立直線與拋物線的解析式，y=kx-■，y2=2px，整理可得ky2-2py-kp2=0，由韋達定理可得y■y■= -p2，x■x■=■·■=■=■;

②當AB與坐標x軸垂直時，其解析式可表示為x=■，則y■=p，y■=-p，所以y■y■= -p2，x■x■=■.

綜上可知，x■x■=■，y■y■=-p2成立.

方法另解：對于上述結論的證明還可以將直線解析式設為x=my+■，從而不需要討論其斜率是否存在，可直接將其代入拋物線的解析式中，可得y2-2pmy-p2=0，所以y■y■=-p2，x■x■=■·■= ■=■.

定值結論總結：根據拋物線的焦點所在的坐標軸，可將其標準方程寫為兩種形式，從而可得出如下定值結論，實際解題時可根據拋物線的形式直接選定結論解題.

結論：過拋物線y2=2px（p>0）焦點F的直線與拋物線交于點A和B，如設交點A（x■，y■），B（x■，y■），則x■x■=■，y■y■=-p2.

結論：過拋物線x2=2py（p>0）焦點F的直線與拋物線交于點A和B，如設交點A（x■，y■），B（x■，y■），則y■y■=■，x■x■=-p2.

■定值結論的應用

過拋物線焦點直線的定值結論，實則就是由韋達定理所整理的參數與坐標值的乘積關系，在實際解題時可以規避聯立方程，簡化解題過程.

應用1：線段倒數之和定值論證

例1：已知過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線與其相交于點A（x■，y■），B（x■，y■），試證明■+■為定值.

證明：由拋物線的定義可知FA=x■+■，FB=x■+■，又知FA+FB=AB，所以x■+x■=AB-p. 由定值結論可知x■·x■=■，所以■+■=■=■=■，為常數，從而可證■+■為定值.

評析：上述在求證線段倒數之和為定值時，由定義出發，結合過拋物線焦點直線的定值結論直接將其轉化為關于拋物線參數的代數問題，從而完成定值證明，實際上述所探究的定值問題也是拋物線與過焦點直線的一個常用定值結論.

應用2：線段乘積定值論證

例2：已知某拋物線的頂點在坐標的原點O處，焦點位于y軸的正半軸上，拋物線上點P（m，4）到拋物線準線的距離為5，試回答下列問題.

（1）求拋物線的方程;

（2）如圖1所示，過拋物線焦點的直線l從左到右與拋物線和圓E：x2+（y-1）2=1相交于點A，C，D，B，試證明AC·BD為定值.

解析：（1）設拋物線的方程為x2=2py（p>0），由題意可得4+■=5，所以p=2，即拋物線的方程為x2=4y.

（2）解法一：傳統的聯立直線與拋物線方程

設過拋物線焦點的直線方程為y=kx+1，與拋物線的交點為A（x■，y■），B（x■，y■），設x■<0，x■<0. 聯立直線與拋物線方程y=kx+1，x2=4y，整理可得x2-4kx-4=0，由韋達定理可得x■+x■=4k，x■·x■=-4. 所以AE=-■·x■，BE=■·x■，則AC·BD=（AE？搖-1）·（BE？搖-1）=（-■·x■-1）·（■·x■-1）= -（1+k2）x■·x■+■（x■-x■）+1=1，即AC·BD為定值1.

解法二：利用定值結論直接化簡

拋物線的焦點與圓心E相重合，設直線l的方程為y=kx+1，交點坐標A（x■，y■），B（x■，y■）.

由定值結論可得y■y■=■=1，由拋物線的定義可知AE=y■+1，BE=y■+1，所以AC·BD=（AE？搖-1）·（BE？搖-1）=y■y■=1，即AC·BD為定值1.

評析：上述第（2）問證明線段乘積為定值時分別采用了傳統的方程聯立和定值結論引用兩種方法，顯然解法二可以極大地簡化運算過程，避免出錯，提高解題效率.

■定值結論的類比拓展

拋物線與橢圓、雙曲線中的結論具有一定的相關性，通過類比可以得到一些類似的定值結論，這些結論對于綜合性問題的解答十分有利，以橢圓為例，可類比出以下兩個常見定值結論.

類比結論1：已知橢圓方程為■+■=1（a>b>0），過焦點F的動直線與橢圓相交于點A和B，則■+■=■為定值;

類比結論2：過橢圓■+■=1（a>b>0）的對稱軸上的定點A作直線，與橢圓相交于點M和N，設M和N兩點處的橢圓的切線分別為直線l■和l■，點G為直線l■和l■的交點，則點G的軌跡為定直線.

例3：在平面坐標系xOy中，已知橢圓■+y2=1的右焦點為F，過點F的直線與橢圓相交于點M和N，設點M和N處橢圓的切線分別為l■和l■，試求兩切線交點G的軌跡方程.

解：由橢圓方程可知焦點F的坐標為（■，0），設過點F的直線為x=my+■，與橢圓交點M和N的坐標分別為（x■，y■）和（x■，y■），則兩切線的方程分別為l■：■+y■y=1，l■：■+y■y=1，聯立整理可得■x=y■-y■①，則x■y■-x■y■=（my■+■）y■-（my■+■）y1②，由于y■≠y■，將上述②式代入①式中，化簡可得x=■，即直線l■和l■交點G的軌跡方程為x=■，該直線剛好為橢圓的右準線.

評析：上述例題實則是基于過橢圓交點直線而構建的綜合型問題，問題解析以切線方程為突破口，通過聯立方程，整合處理直接消去了方程中的參數，確定了交點的軌跡. 上述所求證的結論具有一般性，在實際解題時可以充分利用其特性來簡化運算過程.

■結論探究的教學反思

欲善其事，先利其器，開展定值結論的探討，其目標還是為了簡化解析幾何的計算過程，提升解題效率. 上述由過拋物線焦點直線的定值結論為探究點，設計了結論證明、實例應用、類比拓展等環節，可有效幫助學生深刻理解結論，掌握數學結論探究的方法，下面提出幾點教學建議.

1. 重視教材例題，深入探究拓展

上述所探究的拋物線定值結論，實際上來源于教材的典型例題，是由例題所衍生的一般性結論. 課堂教學應重視教材例題，引導學生深入挖掘例題的結構特點、解法思路，特別是例題背后所隱含的規律. 教學中可適度對例題進行拓展，將其上升到一般性問題，引導學生探索是否可以其為基礎總結出相應的結論. 另外，對例題的拓展探究要重視過程講解，不能只追求最終的結論，而忽視了問題的解析證明過程. 結論固然重要，但問題的通性通法對于學習同等重要，不能過度重視結論總結而使學生喪失解析能力.

2. 深刻理解結論，形成解題策略

利用數學結論解題是提升效率的重要方式，如利用上述拋物線的定值結論可規避煩瑣的聯立方程，直接構建曲線特征參數與坐標之間的關聯. 但引用結論需要建立在深刻理解的基礎上，故教學探究過程中需要挖掘結論本質，包括結論的適用范圍、適用方法、拓展方向等. 如上述拋物線的定值結論適用于過拋物線焦點的直線問題，如若所過點具有一般性，則無法直接引用. 總結結論的目標是提升解題效率，故教學中應注重講解結論的引用方法，辨析關鍵點等，使學生真正掌握結論，形成相應的解題策略.