基于Matlab可視化的無界波動問題解析

張春玲 程靈巧 魏永亮 胡松

摘?要：針對海洋中的行進波所對應的數學物理方程——無界波動問題，借助于Matlab軟件的可視化功能，分只有初速度和只有初位移兩種典型情況，進行一維無界波動問題的可視化實驗，以直觀圖形刻畫行進波傳播過程，并解析其對應的物理意義。

關鍵詞：波動方程;Matlab;可視化;分離變量;海洋現象

中圖分類號：P733.1

1 緒論

海洋波動被稱為海洋的節拍，是海水運動的重要形式之一。海洋中存在各種形式、各種時空尺度的波動現象，而根據波形是否傳播又可以分為行波和駐波[1]。在數學上，駐波對應與有限邊界條件下的波動方程，并通過分離變量法來求解，其傅里葉解的形式為無窮級數，既無限多個正弦波或余弦波的疊加[2]。駐波的形成，通常是前進波傳播到邊界時發生反射，前進波與反射波相疊加而產生的。如果研究海域范圍很大，而我們又僅關心較短時間內或者離邊界較遠的一段范圍中的波的運動情況，此時，邊界條件的影響可以不予考慮，此時的波動表現為行進波[3]。行波對應于無限邊界條件的波動方程，通常用達朗貝爾解法求得。本文以一維無界波動問題的兩種典型情況為例，利用Matlab軟件實現無界波動問題的可視化[4-5]，進而接其物理意義。

2 只有初位移的無界波動問題解析

圖1中的四個圖形，自左到右，從上到下，分別對應于初始狀態、第10秒、第15秒及第20秒的波形。由圖可以看出，初試時刻，在駐波的存在區間[l5，4l5]內，中間位置點有正向最大位移，而在3l10，7l10點處為負向的最大位移，隨著時間推移，左右行波分別向左、向右傳播，這三處的能量逐漸衰減，振幅變小。時間過半，即過了初始波的半周期以后，波峰、波谷反向，中間位置表現為負向最大位移，3l10，7l10點處為正向的最大位移，但較之前的振幅有所減小，并伴隨能量逐漸向左右兩邊傳遞。到第20秒時，由初試擾動引起的能量傳到邊界點。

3 只有初速度的無界波動問題解析

第0.6秒、第1.5秒、第4秒及第9秒的波形如圖2所示。只有初速度的情況下，在研究范圍內，初始波形為一條直線，隨著時間的推移，初始速度C引發[0，l]上的波動，至0.6秒時，振幅達到最大，而后，波動向以速度a向左、向右傳播，最大能量值一直保持不變（圖第1.5、4秒），到第9秒波動能量傳到左右邊界。

4 結語

前進波和駐波是以波形運動形式分類的兩種普遍海洋波動形式。其數學物理方程的求解通常通過達朗貝爾法得到，該公式分初速度和初位移兩部分。由上文的實驗結果可以看出，無論是只有初位移，還是只有初速度，行波的解都很明顯地表現為兩列波速、周期、波速均相同的波，由初始擾動點，向左、向右進行能量傳播。通過Matlab軟件，可以直觀地再現行波傳播過程，便于學生將數學理論解與實際海洋波動相聯系。

參考文獻：

[1]馮士筰，李鳳歧，李少菁.海洋科學導論[M].1999.

[2]姜禮尚.數學物理方程講義，第3版[M].2007.

[3]D.A.羅斯，b.A，羅斯，et al.海洋學導論[M].科學出版社，1984.

[4]彭芳麟.數學物理方程的MATLAB解法與可視化[M].2004.

[5]郝玉華.一維弦振動方程的可視化處理[J].鹽城工學院學報（自然科學版），2006（04）：16-19.

基金項目：上海海洋大學教學改革與研究項目（A1-2005-20-300348）

作者簡介：張春玲（1981—?），女，漢族，山東人，博士，講師，主要從事海洋數據分析研究。

通訊作者：胡松（1978—?），男，漢族，江西人，博士，教授，海洋科學學院副院長，研究方向：分管教學。