以幾何學習入門困境為起點，整體設計幾何入門教學

趙毅

【內容摘要】華東師范大學崔允漷教授認為學科核心素養：是指學生經過學科學習后形成的關鍵能力、必備品格和價值觀念，能實現知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀“三維目標”。幾何學作為數學領域的一個重要分支，在認識現實世界，培養邏輯推理能力、空間想象力培養學生數學學科核心素養方面發揮著不可忽視的作用。但對于幾何教學，教師教的感受、學生學的感受都是：幾何入門難。

【關鍵詞】幾何 入門困境 入門教學

針對幾何入門難的相關研究很多，總結歸納發現，學生學習感到困難的三個方面為：空間觀念，推理論證，語言表述。并且學生對數學問題解決的意識淡薄，具體到幾何問題的解決過程中又主要表現為：一是閱讀和書寫困難;二是邏輯推理方面的障礙;三是思維不活躍，易受已有解題模式的禁錮，解題缺乏變通性。

一、幾何入門難成因分析和整體教學建議

1.從初中幾何的內容和要求等方面進行分析

第一，從學習內容上看，一是平面幾何的研究對象從數到形，研究方法也從“運算為主”轉到“推理為主”，另一方面，幾何學習初期新概念大量集中出現，幾何概念學習方式，以及對概念習得的檢驗途徑與以往也存在很大不同，所以無論是在知識的學習、技能和能力的形成，還是在學習方法和學習習慣等方面，學生必將存在著不適應的情況;第二，從學習者能力要求和發展規律看，進入初中后，學生的思維水平正處在從形象思維到抽象思維的過渡時期;學習內容定位上是從實驗幾何到論證幾何，學生前邊學習實驗幾何時，學生經歷的是合情推理，而后面要學習的論證幾何學生要經歷的是演繹推理。因此，這正是一個從形象思維思維到抽象思維、從合情推理到演繹推理的過渡關鍵期。

2.幾何入門教學建議

幾何入門教學要解決文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉化;從訓練思維靈活性角度入手，強調一題多解、一題多變，倡導思維的開放性;從訓練思維的靈活性入手，建議提煉典型圖式，在讀題審題環節中重視挖掘典型圖式，以便于最快速的方式找到解題思路;還比如從邏輯訓練的嚴謹性入手，建議使用波利亞《怎樣解題》的思路，制定解題計劃，進行解題過程反思，逐步提升學生的元認知能力的培養。應該說以上建議，從不同的角度提出了對于幾何教學的實施建議，各個建議都具備很強的操作性，有很強的指導價值。

綜上我們認為幾何入門：一是梳理幾何學習的基本框架，建構幾何學習的知識網絡;二是建議梳理幾何證明的思考框架;三是以學習者為中心開展幾何入門教學。

二、教師要建構適應學生學習特征的結構化教學策略

幾何的學習方式與代數學習不同，從學習要求上看，抽象概念理解的內容會增多。由此在教學策略中，教師應有意識的根據不同的研究對象，基于不同的學習策略，在幾何學習中更應該看中學習方法的遷移策略。

1.聚焦研究策略及其遷移

教師要從“研究一個數學對象”的角度思考和設計教學過程，在研究對象的抽象、研究內容的確定、研究思路的構建、研究方法的引導等方面整體規劃教學思路，幫助學生遷移相似問題研究策略。圖1、圖2分別給出了代數概念和平面圖形的研究策略。教師在講授每一個代數概念或平面圖形時，應反復強調這種研究套路，以便學生逐步掌握這種研究數學對象的“大觀念”。

2.重視整體教學

幾何學習首先看重知識之間的關聯，引導學生完成知識之間的整合。這種整合首先是建立在知識之間的有機鏈接，如與小學所學圖形之間的關聯，本章所學內容之間的關聯，章節與章節間知識的關聯。通過知識的結構化、模塊化和網絡化，豐富學生的認知結構，從而進一步加深結構化學習的體驗，引導學生通過知識的網絡化呈現知識體系之間的邏輯聯系，形成系統理論，為幾何證明奠定知識基礎。

一是要重視課本“章頭圖”教學，章頭圖教學能夠幫助學生構建良好的數學認知結構、掌握基本思想方法、感受數學應用的廣泛性。二是要重視課本章后“小結”教學，利用“小結”，加深對數學知識的理解;梳理知識結構;提煉數學思想方法。而對于結構的重現可以在學生喜歡的直觀性理解工具“思維導圖”中呈現，在導圖中反映知識間關系，羅列典型的幾何問題，在典型問題中抓取“幾何圖式”，從而讓幾何問題和圖式間建立強相關的邏輯聯系，如圖3。

三、緊抓“會說、會畫、會書寫、會證明”學習目標，引導學生推理論證能力形成

初中平面幾何遇到的困難有：一是不會用幾何語言表達 （有口難言）;二是不會用尺規作圖工具進行尺規作圖 （有手難畫）;三是不會按邏輯順序書寫證明 （有筆難寫）：四是不會尋找解題思路，探索解題途徑 （有路難尋）。

1.將三大能力的培養作為幾何學習的基礎

一是“翻譯能力”培養。圖形、文字和符號是幾何學習中的三大語言，要學好幾何，三大語言之間的“翻譯能力”是基礎。培養翻譯能力首先是要讓學生養成聯系圖形據理敘述的習慣。定義、定理、公理是幾何的根本，證明中要將文字、圖形和符號進行翻譯，如圖4。

二是識圖能力培養。識別規范圖形、善于分解復雜圖形，才能完成幾何的推理和判斷。幾何證明的正確判斷與推理往往是以正確的識圖為先到的，學生不僅要學會看規范易懂的圖形，還要善于觀察復雜圖形中的基本圖形，會把復雜圖形簡單化。如教學線段、角的概念時，應讓學生有條不紊地說下圖（1）中有幾條線段？圖（2）中有幾個角？再讓學生觀察圖（3）中LAOC與LBOD 的關系，并練習：如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD。這樣，在三角形全等的證明中，學生就容易識別圖（4）， （5），從而較快地得到證明AC=BD的方法。

三是思維能力培養。邏輯證明可以劃分為綜合法和分析法。循序漸進是幾何學習的基本原則，在尋找解題途徑時先熟練掌握綜合法：由因索果，在此基礎上再來聯系分析法：探索已知與未知之間的“橋梁”，從不同方向和角度思考，由果索因，善于反思總結，提高分析和解決問題能力。