《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)案例

王夢瑋

一、案例背景

1、指導(dǎo)思想

把教學(xué)看作是一個由教師的“導(dǎo)”、學(xué)生的“學(xué)”及教學(xué)過程中的“悟”為三大部分，組成的含有多要素的和諧整體。以問題為核心，通過對導(dǎo)數(shù)概念的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用過程的演繹、探究和揭示，組織和推動教學(xué)。在這個過程中，教師主要起的是引導(dǎo)作用，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生分析問題，引導(dǎo)學(xué)生從兩個具體引例提煉歸納出導(dǎo)數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的思想去認(rèn)識導(dǎo)數(shù)從具體點(diǎn)向開區(qū)間拓展的過程;學(xué)生通過合作，探究和解決問題。通過教師的“導(dǎo)”和學(xué)生的“學(xué)”，最終“悟”出導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)。

2、教學(xué)內(nèi)容

“導(dǎo)數(shù)的概念”是選自華中科技大學(xué)出版社出版的《高等數(shù)學(xué)及應(yīng)用》中的第三章第一節(jié)的內(nèi)容，是全章的核心。一方面是函數(shù)知識的深化、極限知識的發(fā)展，是一種特殊的極限，另一方面是后續(xù)知識——導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用的基礎(chǔ)，具有承前啟后的作用。本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容包括導(dǎo)數(shù)概念的兩層意義，一個是在某一個具體點(diǎn)上，一個是在開區(qū)間上。

3、教學(xué)目標(biāo)

基于教學(xué)內(nèi)容的難易程度和學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，確定了以下教學(xué)目標(biāo)。在知識方面，正確認(rèn)識導(dǎo)數(shù)的概念，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握求導(dǎo)數(shù)的步驟;在能力方面，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)、歸納、抽象和概括的能力;在情感方面，通過導(dǎo)數(shù)概念的建構(gòu)過程，使學(xué)生掌握從具體到抽象、特殊到一般的思維方法。

4、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念的形成過程。

難點(diǎn)：對導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)理解。

5、學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)方面，大部分學(xué)生都有高中的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，高中數(shù)學(xué)中對導(dǎo)數(shù)已有簡單的介紹，并且剛學(xué)完極限的知識，所以對于新知教學(xué)有較好的基礎(chǔ)。在能力方面，求知欲望強(qiáng)烈，喜歡參與性學(xué)習(xí)，具有積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，傾向于生動、形象的信息化教學(xué)。但也存在不足之處，部分學(xué)員抽象思維能力不夠強(qiáng)，而本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容超過了學(xué)生的直觀經(jīng)驗(yàn)，所以理解起來，具有一定的難度。針對于這種學(xué)期，決定采用兩種直觀的方法，一個是建立表格，進(jìn)行數(shù)值逼近，一個是畫幾何圖像，動態(tài)展示，最終讓學(xué)生突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

二、案例敘述

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)一直都是老師單向灌輸、學(xué)生被動接受的局面，這樣不僅會使課堂氛圍枯燥乏味，更會使得作為認(rèn)知主體的學(xué)生在整個教學(xué)過程中一直被動地接受知識，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性會被忽略，會被壓抑。所以如何在數(shù)學(xué)課堂上，注重學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生主動性學(xué)習(xí)成為了課堂的關(guān)鍵。

筆者將此次課堂教學(xué)內(nèi)容分為以下五個環(huán)節(jié)：

（一）新課導(dǎo)入

我們這學(xué)期的數(shù)學(xué)課主要學(xué)極限和微積分的兩部分內(nèi)容。極限部分，我們在上節(jié)課已經(jīng)學(xué)完了，它是微積分的基礎(chǔ)。從這節(jié)課開始，我們將開始微積分的學(xué)習(xí)之旅。微積分又分為兩部分，一個是微分，一個是積分，積分的雛形可追溯到古希臘和我國魏晉時期，而微分的概念直至十七世紀(jì)才應(yīng)運(yùn)而生，那么微分是在什么時代背景下產(chǎn)生的呢？十七世紀(jì)的歐洲，當(dāng)時文藝復(fù)興帶來了人們思想的覺醒，神學(xué)的教條權(quán)威和繁瑣的哲學(xué)逐步被摧毀，封建社會開始解體，取而代之的是資本主義社會，生產(chǎn)力大大解放，促進(jìn)了航海業(yè)、機(jī)械制造業(yè)和軍事的迅猛發(fā)展，迫切需要解決以下兩類數(shù)學(xué)問題：一是，在航海以及力學(xué)等領(lǐng)域中涉及到的變速直線運(yùn)動的瞬時速度問題;二是，在光學(xué)等領(lǐng)域中涉及到求平面曲線某一點(diǎn)的切線斜率問題。這兩類問題利用當(dāng)時的數(shù)學(xué)工具是解決不了的，在這樣的歷史背景下，著名的物理學(xué)家牛頓從物理角度出發(fā)，解決了第一類問題，而德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茲則是從幾何角度出發(fā)，解決了第二類問題。巧合的是，他們對于這兩類問題的解答思路竟然驚人的相似。

（二）引例分析

1.引例：求變速直線運(yùn)動的瞬時速度

以現(xiàn)實(shí)生活中的汽車在高速公路行駛，遇到定點(diǎn)測速的指示牌為例，引出求汽車在某一時刻 下的瞬時速度，假設(shè)這個汽車的路程和時間的關(guān)系為 。

針對瞬時速度這個新概念創(chuàng)設(shè)學(xué)生比較熟悉的問題情景，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)，體驗(yàn)感受直觀背景和概念之間的關(guān)系，為學(xué)生主動建構(gòu)新知提供自然地生長點(diǎn)。

建立表格，當(dāng)時刻 附近的時間區(qū)間 變得越來越小時，觀察平均速度 的變化趨勢。通過對數(shù)值變化趨勢的分析，使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、解決問題，得到瞬時速度是平均速度的極限的結(jié)論。

以上是從物理角度出發(fā)，接下來引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，再分析一下這個問題。首先是對于這個結(jié)論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限;然后是解決這個問題時，所用到的數(shù)學(xué)思想，取一個時間區(qū)間 ，先分割，讓 變得越來越小，然后用每個區(qū)間上的平均速度近似代替瞬時速度，最后取極限，得到精確值。通過回顧解決過程，引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是分割、近似、取極限。

2.引例：求曲線在某一點(diǎn)上的切線斜率

借助多媒體，先向?qū)W生展示高中所學(xué)的圓的切線的定義，發(fā)現(xiàn)這個定義并不適用于一般曲線，從而引出問題，一般曲線的切線是如何定義的？曲線上的某一點(diǎn)的切線斜率又如何求呢？

因?yàn)閮蓚€引例所面對的問題是相似的，一個是速度不斷改變的問題，一個是斜率不斷改變的問題，而且兩位偉人在解決這兩類問題的時候思路又是相似的，所以可以采用與引例1中相同的方法解決第二類問題。

（三）講授定義

上述兩類問題只是當(dāng)時的現(xiàn)實(shí)需求，從這兩類問題也可以拓展到其他領(lǐng)域，比如加速度，速度的增量與時間增量之比的極限;還有角速度，是轉(zhuǎn)過的角度與時間增量之比的極限。這些問題的結(jié)論都是一種特殊的極限。這種特殊的極限形式，在數(shù)學(xué)上，我們稱之為導(dǎo)數(shù)，從而引出導(dǎo)數(shù)的概念。

引導(dǎo)學(xué)生舍棄問題的具體含義，抽象出導(dǎo)數(shù)的定義，由淺入深，由易到難，由特殊到一般，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維上的飛躍。

（四）練習(xí)反饋

例：計(jì)算函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義式解決。先讓學(xué)生自己思考，老師進(jìn)行巡回指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)問題，糾正問題，最后給出規(guī)范的解題過程。由 、 ，給學(xué)生留了一個課后思考題，思考一下， 的導(dǎo)數(shù)等于多少呢？

采用多層次、多角度的練習(xí)題，由易到難，不僅能夠滿足不同水平的學(xué)生的知識需求，還能幫助學(xué)生從知覺水平的應(yīng)用到思維水平應(yīng)用的自然過渡。

（五）小結(jié)

小結(jié)整理，建立體系化知識。通過對方法、思想和應(yīng)用三方面進(jìn)行總結(jié)，提煉計(jì)算方法，總結(jié)數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。

三、教學(xué)反思

在課堂上，要學(xué)會轉(zhuǎn)變，一個是以傳授知識為主要目標(biāo)的繼承性教育轉(zhuǎn)變?yōu)橐耘囵B(yǎng)能力為主要目標(biāo)的創(chuàng)新性教育;另外一個是以教師為中心的注入式教育，轉(zhuǎn)變?yōu)榻處熤鲗?dǎo)與學(xué)生主體作用相結(jié)合的探究式教育。