基于Matlab的線性代數概念教學法的研究

楊麗萍

摘? 要：線性代數課程是高校理工科學生的一門重要基礎課程，具有概念多且抽象、課時少但應用廣泛的特點。調研發現大部分學生學習效果不佳，僅記住幾個概念、會簡單的計算，認知層次和數學素養并沒有提高。文章借助Matlab軟件，提出針對概念教學的方法及策略。

關鍵詞：行列式;線性方程組的解;線性變換;二次型

中圖分類號：G640? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）03-0098-03

Abstract： Linear Algebra is an important basic course for college students of science and engineering. It has many abstract concepts and few class hours， but it is widely used. It is found that most of the students have poor learning effect. They only remember several concepts and can calculate simply， but their cognitive level and mathematical literacy have not been improved. This paper puts forward some methods and strategies for concept teaching with the help of MATLAB software.

Keywords： determinant; solution of linear equations; linear transformation; quadratic form

線性代數作為理工科學生的一門重要基礎課程，一般都是大二第一學期開設，大多數理工院校都采用的教材是同濟大學出版的，目前已經到第六版，多年來教材內容變化不大，但是授課學時變化很大，課時壓縮勢必會影響到教學。以我校為例，最初的46學時到現在的32學時，每周兩次課，八周結束，這么少的學時沒時間進行拓展和試驗，另一方面，線性代數具有概念多且抽象、邏輯性強但應用廣泛等特征，學生學習這門課有一定的難度[1]，大部分學生以考試為學習動機，采用記概念、背算式的學習方法，缺乏深度思考及抽象的思維能力和邏輯推理能力，更欠缺解決實際問題的能力，線性代數的基本概念在整個教學內容中占有重要位置[2]，概念的教學顯得尤為重要，如何讓學生從具體的概念中抽象邏輯推理是教學過程最關鍵的一環。對此，文章以概念教學為主線，提出了基于Matlab的線性代數概念教學法，就概念的幾何意義、概念之間的關聯以及概念的實際應用三個方面展開探討。

一、注重概念的幾何解釋

借助Matlab軟件加強二維和三維空間中重要概念的可視化講授，使抽象概念更易于被學生接受，抽象就是抓住問題的本質屬性，從簡單幾何概念抽象出復雜的代數概念，提升學生邏輯思維能力和邏輯推理能力。

（一）二、三階行列式的幾何意義

假設xoy平面上有兩個向量=（a1， b1， 0），=（a2， b2， 0），則由向量積的定義，知×的大小是sin？茲，其中？茲為向量，的夾角。而由向量積的計算公式，有：

，

可見向量積×的大小也是二階行列式a1 b1a2 b2的絕對值，即=sin？茲。因此由向量積的意義知，二階行列式的絕對值在幾何上表示該行列式的兩個二維行（或列）向量所“張成”的平行四邊形的面積，特別地，當二階行列式等于零時，即平行四邊形面積為零，說明此兩向量不能“張成”平行四邊形，此時的平行四邊形退化為直線（即兩向量共線），三階行列式按第三行展開，有

由混合積的幾何意義[3]知道，三個三維行向量組成的三階行列式的絕對值在幾何上表示由它們“張成”的平行六面體的體積，特別地，三階行列式等于零時，此時平行六面體體積為零，說明三個向量不能“張成”平行六面體，即這個六面體退化為平面（直線），此時稱三個向量共面（共線），更一般地，可引導學生推理n階行列式的幾何意義，完成從形象到抽象的過渡。

（二）線性方程解的幾何意義

線性方程組求解問題是線性代數課程的核心內容，特別是方程組解的結構，一直是學生學習的一個重點更是難點。線性方程組的解不外乎三種情況：無解，唯一解和無窮多解，為了加深學生對問題的幾何理解，通過Matlab軟件中的ezplot命令畫圖（圖1），展示二維（或三維）空間上二元（或三元）線性方程組解的情況。

例1 以下二元一次方程組解的情況

（1）? ? ? ? ? ?;（2）? ? ? ? ? ? ;（3） ;

二元方程在平面上表示一條直線，方程組的解就是各直線的公共點，方程組（1）的兩條直線僅有一個公共點，故有唯一解，方程組（2）的兩條直線平行，沒有交點，故無解，方程組（3）的兩條直線重合，故有無窮多個解。

對于三元一次方程形成的方程組解的情況在空間解析幾何中，平面與三元一次方程一一對應，m個三元一次方程組成的線性方程組解的情況可以用m個平面有無公共點來判別，解的個數就是公共點的個數。方程組有解，表明這m個平面有公共點。特別地，有唯一解時表示m個平面交于一點;有無窮多解且基礎解系僅含一個解向量時，表示這些平面相交于一條直線;若基礎解系含兩個解向量，則表示這些平面重合。如果方程組無解，則表明平面沒有公共點。有了低維空間上解的幾何解釋，再過渡到代數概念，對于更多元的線性方程組雖然不能想象出在高維空間內的幾何圖形，但是關于解的基本理論是一脈相承的。[4-5]

二、注重概念與其它學科的聯系

注重不同概念間的聯系，讓學生體會到線性代數這門課程本身不是孤立的、而是更具開放性與延伸性，二次型是線性代數的重要概念之一，它起源于幾何學中二次曲線方程和二次曲面方程化為標準形問題的研究。二次型的理論在物理學、幾何學、概率論等學科中都已得到了廣泛的應用。以往教師授課都是按照教材上強調怎么將二次型化為標準型及一個二次型判定是否正定，這樣，學生學完后幾乎不知道二次型有什么用，或者怎么用，因為這樣授課完全與之前所學《高等數學》內容割裂開，學生獲得的僅是一個新概念而已，而線性代數課程教學大綱要求先修課程是高等數學，即授課群體都需要有微積分知識的儲備，如二次型概念就與高等數學中的二次曲面及多元函數最值關聯緊密，講授時不僅要使學生對二次型這個概念有更深層次的認識，更要拓寬認知結構。二次型化為標準型問題，大部分學生都會，但如果問該二次型等于常數時表示何種曲面，估計會有好多人不清楚，沒思路，如果是在其標準型的基礎上問表示何種曲面，這樣啟發引導，學生逐步揭示正確答案。

再如多元齊二次函數（二次型）在某條件下的最大值及最小值問題，常規解法是拉格朗日乘數法或化為無條件極值（如果條件本身復雜就不能化為無條件極值問題），對于拉格朗日乘數法需要求解含有多（變量個數加條件個數）個方程的方程組，求解過程很繁瑣，用二次型求解思路是解出二次型對應矩陣的最大和最小的特征值，再結合瑞利定理即可。[6]

例2 求函數f=2x12+5x22+5x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3，在條件x12+x22+x32=2下的最值。

在Matlab命令窗口先輸入eig（A），得矩陣A的特征值;再輸入最值命令函數就得到最大特征值10，最小特征值1。利用瑞利定理，有不等式：

學生思路清晰，繁瑣計算讓計算機來實現。這樣快速得出最大值為20，最小值為2的結論，比較傳統的筆算省時省力，準確度更高，同時也彌補了少學時的缺陷。

三、注重概念的實際應用

如果不考慮圖像的顏色，只考慮圖像的形狀，則一個平面圖像是由許多平面上點的一個集合，在平面上，一個點可以用一個二維數對表示，即平面上的每一個點都可以表示為一個二維列向量，因此平面圖形可以看作是由許多點的位置構成的集合，即用一個矩陣的形式存儲在計算機內存中。[7]在最簡單的二維圖形符號中，字母用于在屏幕上做標記，某些字母作為線框對象存儲，對圖形的操縱和顯示用到的方法涉及到《線性代數》里的線性變換概念。

例3 在平面上有8個點，分別是

（0，0），（0.5，0），（0.5，6.42），（6，0），（6，8），（5.5，8），（5.5，1.58），（0，8），

由這8個點的坐標構成正體大寫字母“N”的數據矩陣：

現在想將字母“N”改為斜體，將其各頂點向右平移其縱坐標的0.25個單位即可;而后再將斜體字變細，將其橫坐標縮減為原來的0.75，這里實質上是描述了兩個線性變換。由于線性變換與矩陣的一一對應關系，對應的變換矩陣分別是

和

令變換后的兩種字體對應的數據矩陣分別是Y和Z，即有以下兩線性變換：

為了更直觀，在Matlab窗口中用plot命令畫出字符變換前后的圖形如圖2。

這樣設計計算機字庫時，斜體或粗（細）體字庫可以不必單獨建立，只要對正體字庫進行適當的線性變換，就可以實現斜體字、粗（細）體字等的變換，從而節約內存，線性代數中的概念在其他領域的應用實例還有很多，鑒于學時短，學生的專業不同，教師可以根據授課班級的具體實際選取應用實例講解，采取布置課余大作業，讓學生通過查資料、邊學習邊研究，任課教師以此作為平時成績的考核依據。

四、結束語

文章闡述的概念教學法，主要從概念的幾何意義、概念間的關聯以及概念的實際應用三個方面闡述，選取的都是線性代數課程中的基本概念，任課教師對這些概念要挖掘它們的深層含義，引導學生追尋概念間的來龍去脈，把所學知識應用到實際生活中。鼓勵學生自主思索、積極發現，提高數學素養，借助Matlab軟件實現課程的多功能性，摒棄以考試為目標的功利主義，本著提高學生認知水平，拓展認知結構去教學，這樣的教學才符合時代要求。

參考文獻：

[1]Frank Uhlig. A New unified，bananced，and conceptual approach to teaching linear alagbra [J]. Linear Algebra and its Applications，2003，361：147-159.

[2]席政軍.幾何模型在線性代數教學中的應用[J].價值工程，2013，29：278-279.

[3]同濟大學數學系.高等數學下冊（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]肖漢光，鄒雪，宋濤.MATLAB大學教程[M].北京：電子工業出版社，2016.

[5]楊威，高淑萍.線性代數機算與應用指導[M].西安：西安電子科技大學出版社，2009.

[6]陳懷琛，龔杰民.線性代數實踐及MATLAB入門（第2版）[M].北京：電子工業出版社，2009.

[7]潘云鶴，董金祥，陳德人.計算機圖形學原理、方法及應用[M].北京：電子工業出版社，2003.