基于模擬退火算法的水資源規(guī)劃問題

翟庭鈺　曾鈺潔　王森正

摘 要：中國是目前世界上國土面積靠前的國家之一，而地勢的不均衡故而導致了我們國家的水資源不均勻。東部沿海城市不缺水源，然而在中國的西南片區(qū)，由于身居內(nèi)陸，降水不足，使人民的生活質(zhì)量大幅度降低，故采用合適的方法解決西南地區(qū)的水資源不足的問題是我們國家當前的重要問題。參考《抗旱方案制定》數(shù)學建模題目，建立隨機因子選擇模型，為問題的求解提供一種新的解決思路。

關鍵詞：隨機因子選擇;模擬退火;高斯逼近;遍歷迭代

中圖分類號：TB 文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.03.091

1 問題分析

通過計算，只打井或者鋪設管道均無法滿足村莊5年內(nèi)的用數(shù)量需求，所以我們對問題進行了簡化并且確定了限制條件，采取既進行打井又鋪設管道的方案。根據(jù)題目要求，村莊只有前三年每年能夠得到60萬的補助，而管道從開工的完成總共需要三年的時間，所以為了盡快獲得管道輸水，管道的建設要從第一年開始建設才能夠降低成本。

同時，由于管道建設長度總長度不變?yōu)長=20km，則可以把修管道所投入的錢看作定值P=13.2Q0.51，根據(jù)每年村莊所得撥款為60萬元，所以前三年打井所花費的錢共計應小于（180-P）萬元，最后兩年則只需要使5年總費用小于180萬元即可，故我們根據(jù)以上條件建立了多因子回歸迭代分析模型。

2 添加約束條件

我們著手問題本身，首先對問題要求進行簡化并確定限制條件，題中要求5年總成本最小且均滿足村莊的需求，并且要前三年將輸水管道修好，管道的長度為20公里，所以我們可以認為，三年內(nèi)修管道的錢將會是一個定值：

P=0.66Q0.51×20（1）

其中Q為管道輸水量，P為打管道所需的費用。

通過對題目的分析以及上述模型的準備，我們在考慮修水井問題的時候可以暫且拋開管道費用問題，只需要確定最優(yōu)的打井方案，并保證五年總金額小于180萬元，且保證前三年內(nèi)打井費用均小于60萬元，剩余的錢用來維修管道即可。我們可以將模型簡化為只需考慮打井費用的問題。

我們首先對4口井未來5年產(chǎn)水量情況進行一個預測，即對未來幾年的產(chǎn)水量進行函數(shù)擬合，接著，我們對問題的模型進行了簡化并確定了相關約束條件，我們在每年修管道的錢得以保證的前提下，對村莊的打井費用進行一定的投資。

既要滿足費用限制又要滿足村莊用水需求，故根據(jù)這個條件我們建立了管道—水井—錢數(shù)的多因子回歸迭代分析模型。

根據(jù)上述方程組，我們決定模擬退火算法的思想為基礎。我們將每年打井的位置以隨機數(shù)的方式生成，直到滿足當年村莊用水需求后。若已有的水井產(chǎn)水量無法滿足村莊下一年用水需求，則繼續(xù)隨機打井，直到滿足條件。當三年后管道完成以后，限制條件則變?yōu)榱怂a(chǎn)水量與管道輸水量總和。

將此種隨機數(shù)產(chǎn)生5年打井順序以及數(shù)量的方法通過迭代方式來取得最優(yōu)解，并且讓管道容量從100到200范圍內(nèi)遞增來計算全局最優(yōu)解，由于所有打井方法總共約為4萬多種，所以隨機數(shù)迭代1億次已基本排除無法得到全局最優(yōu)解的情況。根據(jù)題目中所給的可以打的8個井的數(shù)據(jù)，故我們利用Java編程語言進行模型求解，根據(jù)上述的條件約束，利寫出了Java求解過程的程序算法。

通過計算可以得到全局最優(yōu)結果為第一年打井為1、2、4、6、7號井，第二年打第3號井，后三年不打井，同時管道的設計容量為100萬噸，此時全局最優(yōu)解為169.22，由于保證投入費用為整數(shù)，則投入應當為170萬元，前三年打井費用總和小于（180-P），則此時為最優(yōu)方案。

綜上所述，最優(yōu)方案為：第一年打1號、2號、4號、6號、7號井，費用為26萬元，第二年打3號井，費用為5萬元，后三年均不打井，此時可得管道設計容量為100萬噸，前兩年打井總費用為31萬元，維修管道費用138.22萬元，在前三年撥款180萬的情況下完全符合費用的限制要求，求出的最優(yōu)解為169.221，所以共需要投入170萬元。

4 結語

本題以模擬退火的思想為切入點，通過回歸迭代的方法，將復雜的水資源分配問題簡化成了多因子遍歷的問題。在很多方面，諸如資源分配等均可以采用多因子回歸迭代分析模型。另外，我們探究的打井與鋪設管道的水資源問題所采用的方法，還可以廣泛運用于其他設計中，例如車輛調(diào)度或者外界對該模型產(chǎn)生某種影響的產(chǎn)品設計能夠起到很好的舉一反三作用。

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