二維路面不平度的分形構(gòu)造方法

張寶振， 王漢平， 張哲， 程夢(mèng)文

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院， 北京 100081)

0 引言

路面不平度是分析路面與車(chē)輛耦合作用的基礎(chǔ)，而重構(gòu)準(zhǔn)確、可信的路面數(shù)字化模型是車(chē)輛與路面耦合仿真、車(chē)輛動(dòng)力學(xué)性能預(yù)測(cè)與分析評(píng)價(jià)的關(guān)鍵[1]。國(guó)內(nèi)外研究路面不平度的模型種類(lèi)繁多，主要有頻域模型、功率譜分析模型、時(shí)間序列分析模型等。Liu等[2]基于隨機(jī)振動(dòng)理論和隨機(jī)信號(hào)分析提出了一種構(gòu)建路面不平度的新方法，將路面不平度分解為原始不平度和擾動(dòng)不平度，然后基于逆快速傅里葉變換(IFFT)方法，借助功率譜密度函數(shù)和左右輪轍的相干函數(shù)來(lái)獨(dú)立生成原始不平度和左右擾動(dòng)不平度，最終疊加得到左右輪路面不平度。夏均忠等[3]從平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩方面對(duì)各類(lèi)模型進(jìn)行了歸納，并指出分形理論在路面不平度激勵(lì)模型中的應(yīng)用尚處于起步狀態(tài)。

Mandelbrot于20世紀(jì)創(chuàng)建的分形理論現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于分析和處理具有復(fù)雜細(xì)節(jié)特征的自然現(xiàn)象，為人們借助事物內(nèi)部的自相似性來(lái)洞察隱藏于混亂現(xiàn)象中的精細(xì)結(jié)構(gòu)提供了新途徑[4]。分形理論對(duì)描述具有標(biāo)度率特點(diǎn)的自然現(xiàn)象具有很好的適用性[5-6]，由于路面不平度具有統(tǒng)計(jì)自相似性和標(biāo)度不變性[7]，可用分形理論對(duì)路面不平度進(jìn)行分析。Berry等[8]從純數(shù)學(xué)角度研究了Weierstrass-Mandelbrot(W-M)分形函數(shù)各參數(shù)對(duì)該函數(shù)性質(zhì)的影響，并給出基于W-M分形函數(shù)的連續(xù)形式和離散形式的功率譜密度函數(shù)表達(dá)式。Majumdar等[9]對(duì)比分析了W-M分形函數(shù)和傳統(tǒng)諧波疊加法在構(gòu)造粗糙表面時(shí)的不同之處，認(rèn)為W-M分形函數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)的不同之處在于組分中的相位，W-M分形函數(shù)的相位因依靠?jī)缂?jí)數(shù)調(diào)節(jié)而更具有隨機(jī)性，但為確保W-M分形函數(shù)在定義域內(nèi)任意點(diǎn)處的相位都具有隨機(jī)性且不重合，文獻(xiàn)[9]中添加了約束條件:輪廓的位置坐標(biāo)x≠0且分形尺度參數(shù)γ=1.5. 文獻(xiàn)[10-11]介紹了求分形維數(shù)的功率譜法、半方差法、變差法、結(jié)構(gòu)函數(shù)法、均方根法、域重新標(biāo)度法，并對(duì)各種方法求解出的分形維數(shù)精確度進(jìn)行了比較分析，認(rèn)為結(jié)構(gòu)函數(shù)法是計(jì)算表面輪廓曲線分形維數(shù)的有效方法。Chen等[12]分別利用結(jié)構(gòu)函數(shù)法、均方根法、變差法、三點(diǎn)彎曲(TPS)法計(jì)算分形維數(shù)，并從擬合精度、計(jì)算精度、計(jì)算穩(wěn)定性3個(gè)方面對(duì)上述4種方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)，認(rèn)為T(mén)PS法是最適合且最可靠的提取粗糙表面輪廓分形維數(shù)的方法。黃華等[13]提出育苗法來(lái)確定無(wú)標(biāo)度區(qū)間，進(jìn)而求得分形維數(shù)，認(rèn)為育苗法求取分形維數(shù)的誤差較小。袁俊[11]、魯植雄等[14]和趙蘭英[15]基于實(shí)測(cè)路面不平度數(shù)據(jù)，利用分形插值函數(shù)建立路面不平度的分形插值模型，并將仿真實(shí)驗(yàn)與實(shí)測(cè)路面數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證了所建模型的可靠性。不足的是，這種方法依賴(lài)于道路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，無(wú)法對(duì)一類(lèi)路面進(jìn)行模擬。王若平等[16]提出利用分形維數(shù)、路面不平度的幅值系數(shù)作為描述路面不平度統(tǒng)計(jì)特性的方法，分析了W-M分形函數(shù)的功率譜性質(zhì)，并建立了W-M分形函數(shù)的功率譜與路面不平度功率譜的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了A、C等級(jí)路面不平度和實(shí)測(cè)路面不平度的再現(xiàn)；但未從數(shù)學(xué)理論角度推導(dǎo)功率譜密度表達(dá)式，而是對(duì)空間頻率進(jìn)行了平均處理。

綜上所述，在利用W-M分形函數(shù)模擬路面不平度的文獻(xiàn)中，多集中于對(duì)分形參數(shù)的求解以及求解精度的研究，均令分形尺度參數(shù)γ=1.5，而未說(shuō)明具體原因且未論述γ的取值對(duì)選取空間頻率的影響，也未明確給出由W-M分形函數(shù)推導(dǎo)路面功率譜密度表達(dá)式的步驟，同時(shí)還未考慮W-M分形函數(shù)各組分取值的隨機(jī)性，只是模擬了單側(cè)路面輪廓曲線。

本文改進(jìn)了W-M分形函數(shù)，使改進(jìn)后W-M分形函數(shù)的各組分取值均具有隨機(jī)性；以此為基礎(chǔ)，從理論上推導(dǎo)出考慮輪轍相干性的左右輪路面不平度的解析表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)了諧波疊加法與基于左右輪相位角相干關(guān)系的分形模型在一定條件下的等價(jià)性；借助不同輪轍功率譜密度陣的Cholesky分解，得到白噪聲濾波的傳遞函數(shù)矩陣，進(jìn)而利用W-M分形函數(shù)構(gòu)造出更具普遍意義的左右輪路面不平度曲線，并推演出基于相位角相干性構(gòu)造的分形模型僅是該方法的一個(gè)特例。

1 基于組分相位角相干性的二維路面分形構(gòu)造法

1.1 基于分形理論的路面不平度

Mandelbrot對(duì)Weierstrass函數(shù)進(jìn)行推廣得到的原始W-M分形函數(shù)形式[4]如下：

(1)

式中：Z(x)為路面位移x處的路面不平度；G為路面輪廓的幅值系數(shù)，其值與路面等級(jí)有關(guān)；D為分形維數(shù)，表示函數(shù)Z(x)在所有尺度上的不規(guī)則性，11，n為整數(shù)。

W-M分形函數(shù)是處處連續(xù)、處處不可微分且具有自仿射分形特征的理想曲線，該函數(shù)能夠?qū)β访娴裙こ瘫砻孑喞M(jìn)行模擬。在利用W-M分形函數(shù)構(gòu)建路面不平度的文獻(xiàn)中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者均采用的是為適合工程表面而修正的W-M分形函數(shù)：

(2)

式中：γn∈[Ωl,Ωu]，Ωl、Ωu為空間頻率取值的下限和上限，空間頻率的范圍取決于研究對(duì)象的頻率范圍；nl=「lnΩl/lnγ?；nu=「lnΩu/lnγ?。

(2)式表示的路面不平度在x=0 m處不具備隨機(jī)性，因此考慮在余弦函數(shù)中添加隨機(jī)分布的初相位角θn，改進(jìn)后的路面不平度表達(dá)式為

(3)

式中：θn為均勻分布的隨機(jī)數(shù)，θn∈[0 rad,2π rad]。

1.2 左右輪分形模型組分相位角相干性

由于路面譜是單邊功率譜，利用(3)式描述的路面不平度函數(shù)Z(x)，可推導(dǎo)出路面功率譜密度函數(shù)：

(4)

式中：Ω為空間頻率(m-1)；R(τ)為路面不平度函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，τ為位移差；I為虛數(shù)單位；L為選取的路面長(zhǎng)度；Z(x+τ)為路面位移x+τ處的不平度。

假設(shè)左右輪的路面不平度函數(shù)分別為Zl(x)、Zr(x)，

(5)

(6)

式中：θln、θrn分別為左、右輪路面不平度函數(shù)的初相位角。

相應(yīng)的自功率譜密度分別為Gll(Ω)、Grr(Ω)，

dxe-2πΩτIdτ=

(7)

(8)

同理，

(9)

式中：Rrr(τ)為右輪路面不平度函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。

左右輪路面不平度的互功率譜密度函數(shù)為

(10)

式中：Rrl(τ)為左、右輪路面不平度函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)。

相干函數(shù)描述了兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的頻率相關(guān)性，且路面不平度是具有零均值的、各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則相干函數(shù)的平方等于互功率譜模的平方除以?xún)蓚€(gè)單側(cè)自功率譜的乘積，即

(11)

式中：γrl(Ω)為相干函數(shù)。

文獻(xiàn)[17]經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)給出了一種描述不同路面和輪距的路面不平度相干函數(shù)：

(12)

式中：ρ為與路面有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)值；B為左右輪的輪距。

由此可知左右輪相位角的相干關(guān)系為

θln=θrn+sign(α)arccos (coh(Ω))=
θrn+sign(α)arccos (e-ρΩB)，

(13)

式中：α為均勻分布的隨機(jī)數(shù)，α∈[-0.5,0.5]。顯然，(13)式與文獻(xiàn)[18]推導(dǎo)出的諧波疊加組分相位角的解析相干關(guān)系具有一致性。

1.3 左右輪路面不平度

根據(jù)國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO 8608機(jī)械振動(dòng) 路面輪廓 測(cè)量數(shù)據(jù)的報(bào)告和中國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 7031—86 車(chē)輛振動(dòng)輸入 路面平度表示方法，路面不平度的功率譜密度Gz(Ω)可用(14)式表示為

(14)

式中：Ω0為參考空間頻率，通常取0.1 m-1；Gz(Ω0)為參考空間頻率下的路面不平度系數(shù)，對(duì)于不同等級(jí)的路面，其取值不同；w為頻率指數(shù)，在路面功率譜密度和空間頻率的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中表示直線斜率的相反數(shù)，通常情況下取值為2.

將推導(dǎo)的自功率譜密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)路面功率譜密度函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，故分形維數(shù)按照功率譜法進(jìn)行計(jì)算，即

5-2D=w，

(15)

(16)

(17)

(18)

1.4 路面分形模擬法與諧波疊加法的關(guān)系

由于頻率Ωn=γn，則ΔΩn=γnlnγΔn，而在W-M方程中Δn=1，故(17)式可寫(xiě)為

(19)

顯然，(19)式在形式上與傳統(tǒng)的利用諧波疊加法生成的路面不平度相同。不同之處在于，諧波疊加法中空間頻率是按等距選取的，而在W-M分形函數(shù)中空間頻率是等比例選取的，且比例因子γ>1. 當(dāng)γ→1時(shí)，傳統(tǒng)的諧波疊加法與基于相位角相干性構(gòu)造的分形模擬路面不平度是一致的。

2 基于不同輪轍路面譜陣Cholesky分解的路面分形構(gòu)造方法

對(duì)不同輪轍路面譜陣進(jìn)行Cholesky分解，得到

(20)

(21)

式中：S(Ω)為雙輪轍路面的功率譜陣；A=cosβ，B=sinβ，C=cos (β+sign(α)arccos (coh(Ωn)))，D=sin (β+sign(α)arccos (coh(Ωn)))，β為均勻分布的隨機(jī)數(shù)，β∈[0 rad,2π rad]。

構(gòu)造兩個(gè)相互獨(dú)立、譜值為1的白噪聲w1(x)、w2(x)，其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換為W1(Ω)、W2(Ω)，假設(shè)不同輪轍的譜陣是兩個(gè)白噪聲經(jīng)H(Ω)的濾波生成的，則

(22)

依據(jù)W-M分形函數(shù)，即可構(gòu)造如下左右輪路面不平度分形模型：

(23)

(24)

式中：θn,1、θn,2為初相位角。由(23)式可以看出，當(dāng)β=0 rad且θn,2=π/2+θn,1時(shí)，采用不同輪轍路面譜陣的Cholesky分解構(gòu)造的分形模擬模型與基于相位角相干性構(gòu)造的分形模擬模型是完全相同的。由此可知，基于相位角相干性所構(gòu)造的分形模擬模型只是基于路面譜陣Cholesky分解的分形模擬模型的特例，基于路面譜陣Cholesky分解的分形模擬模型具有更普遍的意義。

3 仿真分析和對(duì)比討論

3.1 路面不平度的仿真模擬

利用MATLAB軟件編寫(xiě)二維隨機(jī)路面不平度生成程序，通過(guò)對(duì)不同等級(jí)的路面進(jìn)行模擬，得到的模擬路面功率譜密度、左右輪相干性均與對(duì)應(yīng)的參考曲線吻合較好，篇幅所限，不一一列出。本文僅按ρ=1、γ=1.002，對(duì)給定空間頻率范圍0.011～2.83 m-1、長(zhǎng)度為2 048 m、寬度為2.5 m的C級(jí)標(biāo)準(zhǔn)路面進(jìn)行模擬。

圖1所示為兩種方法生成的左右輪轍路面不平度曲線，路面的縱向長(zhǎng)度L=2 048 m，輪轍距離B=2.5 m，路面等級(jí)為C級(jí)，空間頻率范圍從0.011～2.83 m-1，路面不平度均值為0 m. 其中，模型Ⅰ是指基于不同輪轍相位角相干性的分形模擬模型，模型Ⅱ是指基于不同輪轍功率譜陣Cholesky分解的分形模擬模型。

圖1 兩種分形模型仿真生成的左右輪路面不平度曲線(C級(jí)路面，B=2.5 m，ρ=1)Fig.1 Roughness curves of road surfaces with left and right wheelmarks generated by two fractal models(C-grade road，B=2.5 m，ρ=1)

3.2 功率譜及相干函數(shù)的對(duì)比及分析

圖2和圖3分別為左右輪輪轍功率譜密度和相干函數(shù)的仿真曲線與對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)參考曲線的對(duì)比。從圖2和圖3中不難看出，兩種模型的仿真輪轍自功率譜與標(biāo)準(zhǔn)路面功率譜在較高頻區(qū)域略有差異，在其余頻率范圍內(nèi)擬合效果較好。這是因?yàn)閃-M分形函數(shù)對(duì)頻率的選取呈冪級(jí)數(shù)分布，較高頻區(qū)相鄰頻率的間隔相對(duì)于中、低頻區(qū)的頻率間隔較大，即高頻區(qū)的頻率點(diǎn)分布比較稀疏。圖3表明不同輪轍間的相干函數(shù)也與參考相干函數(shù)符合較好，從而驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的左右輪輪轍相位角的相干性關(guān)系以及由左右輪輪轍功率譜陣Cholesky分解得到的傳遞關(guān)系是合理可信的。圖3中兩模型的仿真相干性與指定參考曲線，以及兩模型得出的仿真相干性均存在一定差異，其原因在于兩模型都是隨機(jī)模擬，在相干性方面確實(shí)容易出現(xiàn)離差，這是隨機(jī)模擬無(wú)法規(guī)避的問(wèn)題。

圖2 左右輪路面不平度功率譜密度函數(shù)對(duì)比(C級(jí)路面，B=2.5 m，ρ=1)Fig.2 Simulated PSD of road roughness for left and right wheelmarks(C-grade road，B=2.5 m，ρ=1)

圖3 左右輪路面不平度相干性對(duì)比(C級(jí)路面，B=2.5 m，ρ=1)Fig.3 Coherences of left and right road roughnesses (C-grade road，B=2.5 m，ρ=1)

3.3 γ取值對(duì)仿真精度的影響及分析

由于W-M分形函數(shù)對(duì)頻率的選取呈冪級(jí)數(shù)分布，分形尺度參數(shù)γ的取值決定著所選取的頻率點(diǎn)數(shù)量和頻率值，進(jìn)而影響著擬合精度。下面以模型I為例，研究分形尺度參數(shù)γ的取值對(duì)路面譜仿真擬合精度的影響。

圖4為不同γ取值下模擬功率譜密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)路面功率譜的對(duì)比圖。從圖4中可以看出：當(dāng)分形尺度參數(shù)γ的取值較大時(shí)，左右輪的模擬功率譜密度與標(biāo)準(zhǔn)C級(jí)路面功率譜密度有較大的差異；隨著分形尺度參數(shù)逐漸趨近于1，左右輪功率譜密度擬合效果很好、精度很高。這是因?yàn)樵谟邢蘅臻g頻率范圍內(nèi)，若分形尺度參數(shù)γ取值較大，則使得選取的頻率點(diǎn)較少，無(wú)法很好地?cái)M合標(biāo)準(zhǔn)功率譜密度；分形尺度參數(shù)γ取值越接近于1，選取的頻率點(diǎn)數(shù)量就越多，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)功率譜函數(shù)的擬合效果就越好、精度也越高，但同時(shí)計(jì)算量也越大。

圖4 不同γ取值的功率譜對(duì)比Fig.4 Comparison of PSDs with different values of γ

4 結(jié)論

本文基于W-M分形函數(shù)，分別利用相位角相干性和不同輪轍路面譜陣Cholesky分解，推導(dǎo)出左右輪路面不平度分形模型的解析表達(dá)式，并得到不同輪轍組分相位角的解析關(guān)系。通過(guò)對(duì)比不同方法推導(dǎo)出的路面不平度解析表達(dá)式，得到如下主要結(jié)論：

1)當(dāng)分形尺度參數(shù)γ→1時(shí)，基于W-M分形函數(shù)推導(dǎo)出的路面不平度與傳統(tǒng)諧波疊加法所構(gòu)造的路面不平度是等價(jià)的；基于相位角相干性構(gòu)造的分形模擬模型是基于不同輪轍路面譜陣Cholesky分解構(gòu)造的分形模擬模型的特例。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)基于路面譜陣Cholesky分解的分形模擬模型具有更一般、更普遍的意義。

2)仿真結(jié)果表明：當(dāng)W-M分形函數(shù)中的γ→1時(shí)，兩模型中左右輪轍的自功率譜密度與標(biāo)準(zhǔn)功率譜密度吻合較好，左右輪轍間的相干性也與參考模型具有較好的一致性，從而驗(yàn)證了基于左右輪相位角相干關(guān)系的分形模型和基于功率譜密度陣Cholesky分解的分形模型具有較高的精度和可信性，它們都能很好地用于二維路面不平度的數(shù)字模擬。

3)分形尺度參數(shù)γ的取值對(duì)仿真精度有明顯的影響，γ取值越接近于1，路面譜的擬合精度就越高。