基于感度分布均值的火工品發火可靠性小樣本評估方法

程立， 董海平， 穆慧娜， 溫玉全， 張浩宇， 汪靖程

(北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室， 北京 100081)

0 引言

火工品是一種含能元器件，每個火工品均存在一個臨界刺激量。當外界施加的刺激量超過臨界刺激量時火工品發火；否則不發火。通常將某刺激量處的發火概率稱為該刺激量處的發火可靠度。火工品是各種武器彈藥的首發元件，發火可靠性指標很高。目前，國內外科研工作者建立起了多種火工品發火可靠性評估方法，如計數法、計量法和計量- 計數綜合法等。

計數法又稱為非參數化方法，是在某刺激量處進行發火試驗并且記錄試驗結果，然后根據二項分布或超幾何分布模型來評估火工品發火可靠性。計數法簡單、直觀，但是試驗樣本量大，試驗成本高、試驗周期長。計量法又稱為參數化方法，它先利用感度試驗數據來估計感度分布參數(均值和標準差)，然后基于火工品的感度分布特性推斷火工品在某刺激量處的發火可靠性。計量法與計數法相比，由于利用了火工品感度分布特性，能極大地降低樣本量，一般利用幾十發的樣本進行試驗就可以推斷火工品可靠度為0.999的發火可靠性指標。相對計數法所需的大樣本量，計量法也被稱為小樣本方法。目前常用的計量法有升降法[1-2]、蘭利法[3]、OSTR法[4-5]、Wu[6]方法、D-最優化法[7]和三步優化設計法[8-9]等。這些計量法在進行火工品發火可靠性的推斷過程中，都需要根據感度試驗估計感度分布參數。但是，標準差估計通常都是有偏的[10]，而且計量法對發火可靠性推斷結果缺乏驗證。

為了克服計數法和計量法的缺點，學者們開展了計量- 計數綜合評估方法的研究，試圖在小樣本的條件下提高火工品發火可靠性評估結果的精度。田玉斌等[10]、蔡瑞嬌等[11]、董海平等[12]開展了大量關于計量- 計數綜合評估方法[13]的理論和試驗研究。他們首先利用升降法估計感度分布參數，并應用糾偏系數[14]或Bootstrap方法[15]對標準差進行糾偏，然后基于信息量等值原理計算某低刺激量，接著在該低刺激量處進行少量樣本的計數發火試驗，最后根據計數試驗結果評估工作刺激量處的發火可靠性。與計量法相比，計量- 計數綜合評估方法在樣本量稍許增加的情況下提高了火工品可靠性的評估精度。

但是計量- 計數綜合評估方法仍需要依賴感度分布模型參數的估計值。統計理論認為，計量感度試驗方法對均值的估計是無偏的，但是對標準差的估計是有偏的。即使對標準差的估計進行了糾偏，也無法保證完全消除了標準差的估計偏差對火工品發火可靠性評估結果的影響。

為了完全消除標準差的估計偏差對火工品發火可靠性評估結果的影響，本文基于應力- 強度干涉理論，提出一種基于感度分布均值的火工品小樣本發火可靠性評估方法。該方法只依賴火工品感度分布的均值估計，就可以在置信水平不變前提下，通過在低刺激量處進行少量的計數試驗，來評估火工品在工作刺激量處的發火可靠性。

1 基于感度分布均值的火工品小樣本可靠性評估原理

1.1 火工品發火的應力- 強度干涉模型

在進行火工品發火試驗時，輸入刺激量通常被認為是一個確定的值，然而實際上它會有一個不可控的小的變化。例如機械火工品受到撞擊作用起爆，雖然設計的撞擊力是個定值，但是由于設備、環境、材料以及人為因素等影響而造成每一次撞擊的力度都不同；再如電火工品受電激勵起爆，由于電源輸出在設計時本身存在不穩定性，且隨著環境和存儲時間的變化，輸出電壓或電流也會發生波動。因此，在某個標稱值條件下的外界刺激量實際上是會波動的，即具有隨機性，輸入刺激量可視為隨機變量。火工品的臨界刺激量是它的固有屬性，即使對于同一型號同一批次的火工品，也會因藥劑顆粒度、敏感雜質、裝配工藝等原因[16]而具有一定的隨機性。因此臨界刺激量是隨機變量，在火工品行業，臨界刺激量的分布稱為感度分布。針對這種外界刺激(應力)與火工品本身的固有屬性(強度)之間的作用過程，可以采用應力- 強度干涉模型[17]來描述。

分別建立外界輸入刺激量和臨界刺激量的分布，然后利用應力- 強度干涉模型來研究火工品的發火可靠性[18]。設X為輸入刺激量，相應的概率密度函數為f(x)，Y為火工品的臨界刺激量，相應的概率密度函數為f(y)，x、y均為刺激量；當X>Y時火工品發火，否則不發火?；鸸て钒l火的應力- 強度干涉模型如圖1所示。圖1中，μY為火工品感度分布均值，μX2為刺激量X2的分布均值，μX1為刺激量X1的分布均值。

圖1 火工品發火應力- 強度干涉模型Fig.1 Stress-strain interference model of explosive initiator

1.2 基于感度分布均值的火工品小樣本可靠性評估方法

火工品常見的感度分布有正態分布、對數正態分布、邏輯斯諦分布和對數邏輯斯諦分布等。通?？砂褜嫡龖B分布和對數邏輯斯諦分布分別轉化成正態分布和邏輯斯諦分布來處理。因此，火工品的感度分布可歸納為F(x；μ,σ)=G((x-μ)/σ)[19]，其中F是火工品在刺激量x處的發火可靠度，μ是感度分布均值，σ是感度分布標準差，G是分布類型。

對于隨機變量Z，當μZ不變時，發火可靠度R隨σZ增加而單調下降。因此，當σZ取上限值σU,Z時，對應的發火可靠度為下限值，即

(1)

用計量- 計數綜合評估方法進行可靠性評估時，先用計量法將刺激量X1處的可靠性指標RL,1轉化為刺激量X2處的低可靠性指標RL,2，然后根據計數法在X2處在相同置信水平下進行一定量的發火試驗來驗證火工品可靠性是否達到RL,2，從而驗證火工品是否滿足可靠性指標RL,1.

設工作刺激量x1是刺激量X1的觀測值，低刺激量x2是刺激量X2的觀測值。假設火工品發火可靠性指標為：在工作刺激量x1處置信水平為γ時的可靠度下限為RL，1.根據計量法，由(1)式得刺激量為X1、X2時的發火可靠度下限分別為

(2)

(3)

驗證試驗時，在相同置信水平下，在低刺激量x2處進行n2發試驗，失效數記為f2.根據經典可靠性評估方法(計數法)，有

(4)

當無失效即f2=0時，

(5)

(2)式中可靠性指標RL，1是已知的，(3)式中低可靠性指標RL，2是給定的，μZ1、σU,Z1和σU,Z2可以通過感度試驗獲得。

火工品可靠性驗證試驗中，一般要求零失效。將RL，2、σU,Z代入(3)式和(5)式即可得到刺激量μZ2對應的試驗樣本量n2. 但是由于σU,Z是估計值，是有偏的，即使采用一些方法進行了糾偏，也無法保證完全消除了偏差對計算結果的影響。

為了獲得更精確的計算結果，消除標準差估計值偏差對可靠性評估結果的影響，將(2)式和(3)式取反函數并結合(5)式，得

(6)

從而可以得到可靠性驗證試驗時在給定低刺激量x2下對應的樣本量n2為

(7)

當(7)式中的分布采用正態分布時，正態分布函數為F(x；μ,σ)=Φ((x-μ)/σ)，其反函數用Φ-1(·)表示，(7)式可寫為

(8)

當(7)式中的分布采用邏輯斯諦分布時，邏輯斯諦分布函數為

(9)

其反函數有顯式形式，(7)式可寫為

(10)

對于火工品可靠性評估，一般都要求無失效；如果允許失效，給出失效數f2，用(4)式代替(5)式，同樣可以得到刺激量和試驗樣本量之間的函數關系。

2 應用實例和大樣本對比驗證

為了驗證本文提出的火工品小樣本可靠性評估方法的合理性，選擇常用的兩類火工品即機械激發火工品和電激發火工品進行大、小樣本對比試驗。首先采用升降法試驗獲得感度分布均值，其次根據本文所提基于感度分布均值的小樣本可靠性評估方法確定驗證試驗的刺激量及對應的試驗樣本量，然后進行小樣本發火試驗，獲得可靠性評估結果。接著進行大樣本步進法試驗，檢驗感度分布模型并估計感度參數，得到最小全發火刺激量，獲得大樣本可靠性評估結果。最后將大、小樣本試驗的可靠性評估結果進行對比，驗證小樣本方法的合理性。

2.1 針刺雷管大小樣本對比試驗

某型針刺雷管的可靠性指標為γ=0.90、R≥0.999，發火能量為球質量7 g、落高8 cm.

根據國家軍用標準GJB 6478—2008火工品可靠性計量- 計數綜合評估方法[20]，針刺雷管屬于機械激發類火工品，其感度一般服從對數正態分布。對該針刺雷管進行一組升降法試驗，樣本量為50發，試驗數據如表1所示。

表1 某型針刺雷管升降法試驗數據

利用極大似然估計原理對表1中針刺雷管的升降法數據進行處理，求出均值參數估計值(對數值)為=0.795. 按文獻[21]的要求，火工品驗證試驗樣本量在置信水平0.90時不應少于45發，機械類火工品散差比較大，驗證試驗樣本量不應過少，因此用樣本量n2=90的針刺雷管進行發火試驗。通過(8)式計算出低刺激量x2，如果全發火則證明該針刺雷管滿足可靠性指標。試驗中取刺激量靈敏度δ為0.02 cm，則有δ/exp (μX)<1%，因此可以忽略刺激量分布模型的影響，即有lnx1≈μX1，lnx2≈μX2. (8)式中，RL,1=0.999，γ=0.90，n2=90，μX1=ln8，μY=0.795，則可計算出μX2=1.607 8，從而可以得到低刺激量x2=exp(μX2)=4.99 cm. 取90發樣品在4.99 cm處進行了發火試驗，全部發火，判定落錘的落高為8 cm時該針刺雷管發火可靠性達到置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標。

為了驗證小樣本方法的合理性，進行大樣本步進法試驗，調節落錘高度作為刺激量，試驗數據如表2所示。

表2 某型針刺雷管步進法感度試驗結果

從表2中可見，刺激量大于8個，發火率滿足0=r1

表3 某型針刺雷管χ2檢驗結果

利用表2中的數據，采用極大似然原理對感度分布的參數進行估計，得到極限百分位點的區間估計xU,0.999=5.13 cm.發火工況8 cm>5.13 cm，由此可以判定落錘的落高為8 cm時該針刺雷管發火可靠性達到置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標。

2.2 電點火頭大小樣本對比試驗

某電點火頭的可靠性指標為γ=0.90、R≥0.999，發火刺激量60 V.

根據國家軍用標準GJB6478—2008火工品可靠性計量- 計數綜合評估方法，電點火頭感度一般服從邏輯斯諦分布。對電點火頭進行升降法試驗，樣本量為50發，試驗數據如表4所示。

表4 某電點火頭升降法試驗數據

利用極大似然估計原理對表4中電點火頭的升降法數據進行處理，求出均值參數估計值=36.93V.

根據文獻[21]，火工品驗證試驗樣本量在置信水平0.90時不應少于45發，電火工品一致性好、散差小，因此用樣本量n2=45的電點火頭進行發火試驗。通過(10)式計算出低刺激量x2，如果全發火則證明該電點火頭滿足可靠性指標。試驗中，刺激量靈敏度δ為0.1 V，則有δ/μX<1%，因此可以忽略刺激量的分布模型，即有x1≈μX1，x2≈μX2.(10)式中，RL,1=0.999，γ=0.90，n2=45，μX1=60 V，μY=36.93 V，則可計算出μX2=46.78 V，則低刺激量x2=46.8 V. 取45發樣品在46.8 V處進行發火試驗，結果是全部發火，由此可以判定發火刺激量為60 V時該電點火頭發火可靠性達到了置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標。

為了驗證小樣本方法的合理性，進行大樣本步進法試驗，調節電壓作為刺激量，試驗數據如表5所示。

表5 某電點火頭步進法試驗數據統計

從表5中可見，刺激量大于8個，發火率滿足r1

根據國家軍用標準GJB/Z 377A—94感度試驗用數理統計方法，利用χ2檢驗確定該型電點火頭感度分布類型，檢驗結果如表6所示。從表6中可知，4種火工品常見分布假設都不能通過χ2檢驗。根據GJB 6478—2008火工品可靠性計量- 計數綜合評估方法，如果火工品有多種感度分布模型通過χ2檢驗或者4種分布模型都沒有通過χ2檢驗，則選擇χ2值最小的分布作為該火工品最接近的感度分布模型。表6中邏輯斯諦分布假設計算得到的χ2最小，因此可認為該電點火頭的感度最接近服從邏輯斯諦分布。

表6 電點火頭χ2檢驗結果

利用表5中的數據，采用極大似然原理對感度分布的參數進行估計，得到極限百分位點區間估計的置信上限為U,0.999=49.66 V. 發火工況60 V>49.66 V，由此可以判定發火刺激量為60 V時該電點火頭發火可靠性達到了置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標。

上面兩個實例中，本文提出的小樣本方法采用了更少的試驗樣本量并且與大樣本步進法的可靠性評估結果一致，都驗證了文中針刺雷管和電點火頭滿足可靠性指標，表明本文提出的小樣本評估方法是可行的、合理的。

3 結論

本文在計量- 計數綜合評估方法的基礎上，結合應力- 強度干涉模型，提出了基于感度分布均值的火工品小樣本可靠性評估方法。該方法與計量法或計量- 計數綜合評估方法相比，不依賴火工品感度分布的標準差，不需要對刻度參數進行糾偏，僅利用感度分布均值就可進行可靠性評估，操作更簡單，試驗樣本量少。對于機械類火工品，最少僅需140發樣本量就能對0.999(置信水平0.90)的可靠性指標進行評估；對于電火工品，最少僅需95發樣本量就能對0.999(置信水平0.90)的可靠性指標進行評估。