基于格林函數的半導體橋三維非穩態傳熱模型

孫遠， 張良， 鄧有杞， 李宋， 張淇媛， 張威

(北京大學 信息科學技術學院， 北京 100871)

0 引言

半導體橋(SCB)因具有體積小、發火能量低、作用速度快、可大量同時使用、同步性好[1]等優點，近年來逐漸成為點火器技術的研究熱點。SCB的主要工作原理是將電能轉化為熱能，因此其溫度特性對其發火性能有著重要影響。

在對SCB進行熱響應分析時所建立的模型可分為集總模型和穩態傳熱模型。強濤等[3]利用集總模型對器件的安全電流進行了預測，但是該模型比較簡單，不能預測橋區溫度的非穩態響應，且集總熱散失系數對其影響較大，而熱散失系數與溫度有關，因此通以不同的電流時該模型偏差較大。楊貴麗等[4]通過穩態半球傳熱模型分析了恒流激勵下SCB的能量傳遞原理以及實驗現象，確定熔點是恒流激勵時SCB的爆發點，得出了臨界發火電流的理論計算公式。但其將圓柱形陶瓷塞簡化成半球形以簡化邊界條件，假設藥劑、SCB和陶瓷塞的接觸面溫度相同，與實際情況相差較大。Lee等[5]建立了穩態傳熱時SCB的安全電流模型，將橋區視為點熱源，因為橋具有低導熱性，所以主要考慮熱量散失到等效半球形的基底中，但其考慮邊界條件時認為基底半徑無窮大處溫度等于室溫，未考慮實際封裝尺寸。

由于集總模型和穩態模型不能體現升溫速度等結果，本文提出一種基于格林函數的SCB三維非穩態傳熱模型，對于印刷電路板(PCB)封裝的SCB器件，考慮其6個散熱面均處于第三類邊界條件，利用格林函數求解SCB在恒流激勵下的溫度響應，并與實驗結果對比，具有較好一致性。

1 基于格林函數的三維非穩態傳熱模型

1.1 格林函數

格林函數法是求解線性熱傳導問題的經典方法。對于非穩態熱傳導問題，格林函數描述了非穩態局部熱脈沖引起的溫度增量。

對于求解線性熱傳導問題，如本文要討論的SCB傳熱問題，格林函數有以下優點[6]：

1)對于長方體PCB封裝，每兩個對稱散熱面的邊界條件所產生的溫度增量相加后抵消，使用溫度增量替換溫度值可使初始狀態產生的溫度增量為0，因此只需考慮內部熱源即SCB熱源產生的影響；

2)PCB的6個散熱面具有相同的第三類邊界條件，通過建立直角坐標系，可以查找相應的特征函數和特征根；

3)在建立直角坐標系后，可將PCB的3個方向邊界條件的一維格林函數相乘，得到整個傳熱系統的三維格林函數。

1.2 物理模型及基本假設

采用的SCB器件結構如圖1所示，電流經鋁電極流入SCB橋區并產生焦耳熱，橋區向塑封殼、二氧化硅層、硅基底傳熱至PCB散熱板，同時整個器件向空氣散熱。由于SCB橋區、二氧化硅層、鋁電極、硅基底和塑封殼相對于PCB而言太小，尺寸相差2～3個數量級，同時紅外測溫實驗觀察到上述小尺寸區域的溫度一致，溫降主要發生在PCB區域，因此忽略橋區、二氧化硅層、鋁電極、硅基底以及塑封殼的傳熱過程，將散熱視作由PCB完成。建立直角坐標系如圖2所示，其中：z軸為厚度方向，x軸為長度方向，y軸為寬度方向，H為PCB在z軸方向的長度即厚度；W為PCB在y軸方向的長度即寬度；L為PCB在x軸方向的長度即長度；L1為熱源在x軸方向的下邊界；L2為熱源在x軸方向的上邊界；W1為熱源在y軸方向的下邊界；W2為熱源在y軸方向的上邊界；H1為熱源在z軸方向的下邊界；H2為熱源在z軸方向的上邊界。為了簡化邊界條件，將橋區因焦耳定律產生的熱量視為由一個長方體均勻熱源產生，該長方體熱源位于PCB內部靠近表面處，與PCB共用z=0 mm平面，即圖2模型示意圖中的紅色部分。

圖1 SCB器件結構示意圖Fig.1 Structure of semiconductor bridge device

圖2 模型示意圖Fig.2 Model

由于PCB體積相對于SCB特別大，邊界條件只考慮PCB與空氣的對流散熱，共歸納為4條基本假設。

1)將熱源部分簡化為長方體，熱流密度q=I2R/V，其中V為長方體體積，I和R分別為電流和電阻；

2)PCB所有界面均處于第三類對流散熱邊界條件；

3)僅考慮熱傳導一種傳熱方式，忽略其他傳熱方式，例如熱輻射；

4)傳熱過程中PCB的導熱系數、密度、比熱容等均不隨溫度變化。

1.3 求解過程及結果

在圖2坐標系下建立方程(1)式～(5)式，其中：(1)式為PCB模型的熱傳導方程；(2)式～(4)式為PCB 3個方向上的邊界條件；(5)式為初始溫度條件。

(1)

(2)

(3)

(4)

T(r,t)=T0,t=0.

(5)

令ΔT=T-T0，進行變量替換，最終只需將溫度增量ΔT加上初始溫度T0，即可得到實際溫度。引入格林函數對模型進行計算，則上述公式轉變為以下形式：

(6)

(7)

(8)

(9)

G(r,t|r′,τ)=0,t<τ.

(10)

式中：G為格林函數；δ為沖激函數；r′為熱源處的空間三維坐標；τ為r′處熱源產生熱量的時刻。類似地，(6)式為該模型格林函數形式的熱傳導方程，(7)式～(9)式為邊界條件，(10)式為初始條件。根據格林函數推導過程，最終溫度分為3個部分產生影響的和[6]：

T(r,t)=ΔTi(r,t)+ΔTg(r,t)+ΔTb(r,t)，

(11)

式中：ΔTi(r,t)為初始溫度的影響；ΔTg(r,t)為內部熱源的影響；ΔTb(r,t)為邊界條件的影響。對于等號右邊第1項，由于已經使用ΔT=T-T0進行了變量替換，相當于使初始溫度等于0 ℃，因此ΔTi(r,t)為0 ℃；對于第3項，由于所有邊界條件均為第三類邊界條件，同一方向上兩側邊界條件的影響相加后抵消，因此ΔTb(r,t)也為0 ℃. 從而這個模型的最終溫度增量僅需考慮內部橋區長方體熱源的影響，即

(12)

式中：v表示整個體積；v′表示體積微分元。

對于直角坐標系，(12)式中的r可替換為x、y、z且對3個坐標軸方向分別進行積分后再相乘，即

(13)

式中：x′、y′、z′為熱源坐標；(x′,t|x′,τ)為τ時刻x′處的點熱源對t時刻x處溫度產生的影響，(y′,t|y′,τ)、(z′,t|z′,τ)類似；Gx為x軸方向的格林函數；Gy為y軸方向的格林函數；Gz為z軸方向的格林函數。由(13)式可分別獲得3個坐標軸方向的格林函數方程，根據理論計算與總結可得到這些方程的解[6]。由于所有邊界條件均為第三類邊界條件，因此計算過程類似。例如在x軸方向上，當x=0 mm和x=L時，均處于第三類邊界條件，此時x軸方向的格林函數解為

(14)

式中：m為特征根序號；kx為x軸方向的熱傳導系數；特征根βm為以下超越方程的根，

(15)

同樣，y軸和z軸方向的解也有類似形式，不一一寫出。

考慮硅的電阻率會隨著溫度升高產生變化，最終影響焦耳效應的產熱量，由假設(1)式，長方體熱源的單位體積熱功率為

(16)

式中：R0為初始電阻；a為溫度系數；ΔT為溫度增量。由(16)式可以看出，單位體積熱功率q可以分為兩部分，其中：第1項I2R0/V為常數，代表由初始電阻產生的熱量；第2項與溫度增量ΔT有關，設T0為初始電阻產生的溫度增量，該部分溫度增量造成的電阻變化產生的溫度增量為T1，最終溫度增量為這兩部分的和，即最終溫度增量為

ΔT(x,y,z,t)=T0(x,y,z,t)+T1(x,y,z,t)，

(17)

式中：

(18)

(19)

事實上，溫度增量T1造成的電阻變化進而可以導致溫度增量T2，T2造成的電阻變化進而可以導致溫度增量T3，依此類推。這里為簡化計算，只考慮初始電阻對溫度增量造成的影響即T0和T1，最終結果與實驗數據較為符合。聯立(12)式～(19)式，可獲得SCB在不同時刻的溫度增量。本文使用計算軟件Maple聯立公式并得出溫度值。模型中涉及到的關鍵參數取值如表1所示。

表1 關鍵參數取值

因為PCB板在x軸、y軸、z軸方向的熱傳導系數不一致，因此在計算熱擴散系數α時，使用導熱系數的幾何平均值k[10]，即k=(kxkykz)1/3,則α=(kxkykz)1/3/(ρc)。

最后所得溫度應為在x軸、y軸、z軸方向上特征根的無限求和，經過實際計算，當m取值到4時，最終溫度的變化不再大范圍波動，因此在此次求解過程中求和至m=4，經過Maple軟件計算，x軸、y軸、z軸方向上的前4個特征根取值如表2所示，結果取3位有效小數，其中γm為y軸方向的特征根；λm為z軸方向的特征根。

表2 特征根取值

最終解出在不同電流激勵下，SCB的最高溫度隨時間變化如圖3所示。取模型橋區表面中點即(L1/2+L2/2,W1/2+W2/2,0 mm)處為溫度最高點位置。

圖3 不同電流下的溫度變化圖(模型計算值)Fig.3 Change in temperatures at different currents (calculated values)

由圖3可知，在不同電流激勵下，SCB在60 s時溫度趨于穩定。

輸入電流為800 mA，時間為120 s時，z=0 mm界面上的溫度分布如圖4所示。

圖4 表面溫度分布圖Fig.4 Surface temperature distribution

由圖4可以看出：時間為120 s時，在z=0 mm界面上，溫度在橋區表面中心處溫度最高；在橋區之外，隨著PCB向邊界傳熱以及從表面向空氣對流散熱，溫度逐漸降低。溫度出現凹坑區域是由格林函數的累加特性導致的，無法避免。圖4較為符合實際情況，進一步說明了本文模型的正確性。

2 紅外攝像儀實驗結果對比

2.1 實驗方法

紅外攝像儀是一種測量物體發出的紅外輻射從而檢測溫度的裝置[11]。測溫時將紅外攝像儀對準SCB，然后設定恒流源電流大小，并在分析軟件中設定觸發條件。由于室溫為20 ℃，設置觸發溫度為25 ℃. 當記錄時間到達150 s時，橋區溫度基本不變，橋區電阻不再變化，此時結束錄制。在對SCB通電的同時開始記錄升溫過程，同時用電壓表測量SCB的電壓。記錄數據時由于發熱部位主要在橋區，因此選取橋區作為主要研究對象，并選擇記錄最高溫度模式，在軟件中觀察到記錄點位于橋區中心,即橋區中心處溫度最高。分析溫度區間設置為0～500 ℃，測溫實驗共采用5支樣品。

2.2 實驗設備及校準

本文采用的紅外攝像儀由北京理工大學提供，按照國家計量技術規范JJF 1187—2008熱像儀校準規范進行示值誤差和測溫一致性校準，其中測溫一致性實驗測溫點分布如圖5所示。

紅外攝像儀型號為美國FLIR SYSTEM公司生產的Thermo Vision SC300-Series，并加配一個22 mm的顯微鏡頭，以便對微米尺寸的SCB進行測量。使用配套的分析軟件，直接實時地對溫度進行記錄并分析。實驗裝置示意圖如圖6所示。

圖6 實驗裝置示意圖Fig.6 Experimental equipment

2.3 實驗結果

以樣品1為例，在400 mA、500 mA、600 mA、700 mA、800 mA的恒流激勵下，樣品的最高溫度隨時間變化如圖7所示，實驗時發現最高溫度出現在橋區表面中心區域。

圖7 樣品1在不同電流下的最高溫度變化圖(實驗值)Fig.7 Change in temperatures at different currents (experimental values)

由圖7可見：橋區的最高溫度隨著電流激勵的增大而增大，因為在這段時間內，電流通過SCB產生的焦耳熱大于SCB通過自身和PCB板向空氣散失的熱量；60 s左右，電流產生的熱量與散失的熱量達到動態平衡，最后溫度穩定在最高溫度，不再增加；當電流激勵增大時，熱動態平衡所需的時間更長。

同樣地，其余4支樣品具有相同的變化趨勢，其最高溫度如表3所示。

表3 不同樣品在不同電流激勵下的最高溫度

從表3中的標準差可以看出，隨著電流的增加，SCB的最高溫度偏差增大，因此在大電流激勵下，樣品最高溫度的差異性更明顯。這是因為每個SCB的工藝加工環境不完全相同，導致其電阻溫度系數不同，在大電流下，積聚熱量越多，其溫度系數造成的溫度變化更明顯。

2.4 理論模型與實驗數據對比

選取樣品1且施加電流為800 mA的典型情況，對施加相同電流時的模型仿真溫度變化曲線與實驗溫度響應曲線進行對比分析，結果如圖8所示。

圖8 溫度仿真值與實驗值對比Fig.8 Comparison between simulated and experimental temperatures

由圖8中兩條曲線對比可知，仿真與實驗的溫度變化趨勢一致，在60 s后溫度都基本穩定，但是實驗值始終大于仿真值，尤其在初始階段的相對誤差較大。分析原因有：該模型將熱源置于PCB內部，相當于等效加強了SCB與PCB的傳熱效果，實際上SCB附著在PCB表面，從橋區熱源傳熱到PCB存在延遲，因為紅外測量的最高溫度是橋區表面溫度，所以會使得實際升溫速度始終略高于模型；實驗時由于紅外攝像儀自身發熱，測量低溫時，紅外傳感器接收到鏡頭部分的紅外輻射，導致測量得到的溫度略高于橋區的實際溫度，對后續傳熱過程也有影響，但隨著橋區溫度的升高，這部分影響逐漸減小至忽略不計。

將施加不同電流時實驗的最高溫度與仿真的最高溫度進行對比分析，如表4所示。

表4 對比模型與實驗在不同電流下的最高溫度

由表4可見，模型仿真所得最高溫度與實驗最高溫度的最大溫度差不超過4 ℃，在300 mA時偏差百分比最大，隨著電流的增大，溫度偏差百分比越來越小，這與紅外攝像儀的測溫原理有關：紅外攝像儀由傳感器從鏡頭接受物體的紅外輻射后進行信號處理得到溫度，在橋區表面溫度較低時，紅外攝像儀的自身發熱使得鏡頭溫度升高，最終傳感器接收到的紅外輻射中，鏡頭部分的影響不可忽略，使得最終的測量值偏高，當橋區表面溫度升高時，鏡頭部分的影響迅速減小，因此該非穩態傳熱模型對于預測在較大電流下的溫度變化更為準確。

3 結論

對于PCB封裝的SCB傳熱問題，本文將格林函數法應用于建模過程，提出一種SCB三維非穩態傳熱模型。進行了SCB測溫實驗，將模型計算結果與實驗數據進行對比后較為一致，驗證了該傳熱模型的準確性。針對長方體形的PCB封裝，使用格林函數法能考慮全部6個散熱面的邊界條件，與半球模型忽略SCB一側散熱平面且將圓柱形陶瓷塞外殼近似為半球形的邊界條件相比，更為接近真實情況。針對PCB封裝SCB的安全電流要求，可使用該模型分析傳熱情況，并結合使用藥劑的熱分解溫度等，對設計起到參考作用。