動水力簡化計算方法對圓形橋墩傳遞函數的影響

郭 婕，趙 密，王丕光，杜修力

(北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京100124)

與陸地結構相比，水中結構物存在著水_結構相互作用，由地震動引起的水對結構物的動力相互作用力稱為地震動水力。已有的理論和試驗的研究結果均表明，地震動水力對水中結構物動力響應的影響不可忽略[1－4]，同時也獲得了一些重要的研究成果[5－10]。

從連續介質動力學的角度，水體作為擾動的傳播介質，表現出一定的體積變形能力時稱為可壓縮水體。可壓縮水體動水力相應的動力剛度是頻率相關的，Du和Wang等[11－12]提出了將其時域化的方法。但許多研究者發現，在橋墩、樁等相對細柔的結構物的動力分析中水體的可壓縮性可忽略[13－14]。此類問題中將水體作為不可壓縮體考慮是合理的[15]。針對不可壓縮無粘性水體中的圓柱墩，可根據水體輻射理論得到動水力的精確解，此解可表示為附加質量的函數形式[16]，但由于自由度的相關性，精確解的直接應用比較困難，因此需要尋找計算精度較高的簡化計算方法。

現有可供工程應用的不可壓縮無粘性水體的動水力的簡化計算模型可分為2大類：一種從動力學角度基于一定的簡化條件和理論基礎得到相應表達式；另一種為借鑒波浪力學中的經驗公式。

對于第1類計算模型，代表性工作又可細分為以下2種。第1種從水體輻射理論出發，通過一定的簡化條件得到，代表性工作包括：Liaw和Chopra[13]基于不可壓縮無粘性水體的輻射理論得到了剛性懸臂圓柱體假設下的非均勻動水力，文中稱此方法為剛性柱法，Li和Yang[17]、Jiang等[18]、Wang等[19]基于此解析法擬合得到了表達更簡潔的計算公式。第2種方法從動水力附加質量的概念出發，根據柔性柱體有水工況相對無水工況中1階固有頻率的改變率，求得相應動水附加質量，代表性工作包括：Han和Xu[20]提出了計算動水附加質量的頻率近似法，Yang和 Li[21]通過大量參數的分析，擬合得到了覆蓋范圍較廣的基頻近似法的經驗公式。

在波浪力學中，為計算小直徑柱體的水平波浪力，假設柱體的存在對波浪場的影響可忽略，Morison等[22]提出了半經驗半理論的Morison方程，之后Penzien和Kaul[23]將其引入計算結構的地震動水力，由于公式形式簡單且具有一定的精度而得到廣泛應用[24－26]，此方法被稱為莫里森(Morison)法，為第2類計算模型。

上述2類模型中的3種簡化方法，包含了對柱體剛度從剛性到真實柔性再到完全柔性的假定，覆蓋面較廣，具有一定代表性。然而，針對上述簡化方法在求解圓形橋墩動力響應時計算精度的研究還比較缺乏。筆者在前期工作中，通過對圓柱體模型在144種工況條件下的地震動響應，在時域中分析了幾種簡化方法的計算精度并獲得了一些對宏觀結果的認知[27]。但時域響應同時受到輸入荷載和結構特性的影響，且峰值響應的誤差是對眾多影響因素的宏觀表現，如在不同頻譜成分的地震動作用下，結構響應可能有很大差異，所以時域分析不能從細部上研究誤差來源。頻域傳遞函數包含了系統所有動力特性參數，能深入分析結構在不同頻率下的動力響應特性[28]。基于傳遞函數，將輸入和系統分開，從能量分布的角度分析各因素對系統的影響是一種有效的手段。如Goyal和Chopra[29]通過頻域傳遞函數研究了動水力和結構_地基相互作用對水塔動力特性的影響。因此，本文仍然以圓形橋墩為研究對象，從頻域傳遞函數的角度，再研究3種動水力簡化方法的計算精度。

1 地震動水力計算方法簡介

針對浸沒于水中的懸臂圓柱體，簡要說明基于水體輻射理論得到的不可壓縮無粘性水體的精確解及上文所提3種簡化方法：剛性柱法、莫里森法和基頻近似法。

1.1 水體輻射理論法

1.1.1 不可壓縮無粘性水體的精確動水力解

圖1所示坐標系中，不可壓縮無粘性水體的深度為H，彈性懸臂圓柱體半徑為R、高度為h。假設地基剛性水平，忽略水體自由表面波條件，由動水壓力p(t)表示的水體控制方程為：

通過控制方程和邊界條件可知，桿件單元在深度z處的單位高度的精確動水力解為[16]：

式中：ρ為水體密度；其中λ＝為第 2 類第 1 階修正Bessel函數；為結構在高度z處的絕對運動加速度，由圖1可知，u=us+ug，因此不可壓縮無粘性水體的精確動水力是與結構變形相關的函數。通過有限元法離散圓柱體，得到動水力向量：

其中：

式中：N為形函數矩陣；上標T為矩陣或向量的轉置。假定水體深度與墩高相等，由此得到考慮不可壓縮無粘性水體的精確動水力影響的結構運動方程：

式中：Ms、Cs、Ks分別為結構的質量、阻尼和剛度矩陣；us為結構相對變形向量；為結構變形的速度和加速度向量。

圖1 受水平地震作用的水中圓柱體Fig.1 Cylinder in water subjected to horizontal earthquake

1.1.2 剛性柱法

假設結構為剛體，由式(2)得到剛性柱法相應的附加質量為[16]：

為方便工程使用，Wang等[19]擬合得到下式：

其中：

式中，L為結構直徑和水深的比值，即L=2R/H，稱為寬深比。

下文剛性柱法計算中采用式(9)的形式。

1.2 基頻近似法

基于基頻近似法的思想，Yang和 Li[21]通過大量計算，擬合得到動水附加質量的計算公式：

式中：ρc為橋墩所用混凝土密度；Cm2＝

1.3 莫里森法

將Morison方法用于計算地震引起的結構動水力時，假定水體靜止，非線性阻尼項對一般橋梁結構地震響應的影響可忽略[30]，此時方程簡化得到的附加質量為[23]：

式中：ρ為水體密度；為單位長度柱體的排水體積；Cm1為附加質量系數，與形狀相關，圓柱體取1。

將上述4種方法所得動水力應用于結構運動方程，形成類似式(6)的總方程，再通過求解總方程便可得到考慮動水力影響的結構動力響應。

2 計算工況

采用上述4種方法分別考慮動水力對結構響應的影響。各方法附加質量是半徑R、寬深比L或水深H的函數，又由于L=2R/H，實際僅兩參數獨立，因此本文選取L和H為參數。算例中水深與墩高相等，共設計84種尺寸的橋墩，L和H的取值范圍和橋墩材料參數取值見表1(橋墩為混凝土構件并保持彈性)。為考慮橫向剪切變形的影響，橋墩采用Timoshenko梁單元模擬。輸入荷載為狄拉克脈沖，其位移時程曲線及相應Fourier譜見圖2。

表1 參數及其取值[31]Table 1 Parameters and values[31]

圖2 輸入脈沖的位移時程及其Fourier譜Fig.2 Displacement time-history and Fourier amplitude spectrum of input impulse

3 頻域傳遞函數

多自由度體系結構的動力運動方程為：

由式(14)可看出，頻域傳遞函數在頻域ω內建立了系統反應和激勵之間的映射關系。而反應和激勵選擇不同的物理參數，將出現多種含義的頻域傳遞函數。如當外荷載為地震動(可表示為結構質量矩陣和輸入地震動加速度向量積的形式)，此時，選擇輸入荷載的位移為激勵，結構的相對變形為系統反應，因此得到的位移頻域傳遞函數的計算公式為：

本文采用了3種傳遞函數做分析，分別為位移、剪力和彎矩傳遞函數。而剪力和彎矩傳遞函數較難得到類似式(15)的表達式解，因此本文基于數值分析結果計算3種傳遞函數。其中位移傳遞函數的解同式(15)所得的解是一致的，另外剪力和彎矩傳遞函數的激勵均為輸入荷載的加速度，反應分別為橋墩的剪力和彎矩響應。

4 結果分析研究

4.1 頻域傳遞函數對比

提取各工況中橋墩頂部節點的位移傳遞函數、底部節點的剪力和彎矩傳遞函數。

圖3為工況H=80 m、L=0.2時各方法所得相應傳遞函數。通過圖3可看出，不同方法的結果的差異集中在共振峰附近，尤其是1階、2階共振峰，體現在共振峰幅值和共振頻率的差異。

因此，提取各工況在上述傳遞函數的 1階、2階共振峰幅值和共振頻率。將精確法所得結果作為標準，求得3種簡化方法的位移、剪力和彎矩共振峰幅值的相對誤差和共振周期的相對誤差。其中不同傳遞函數得到的共振頻率是一致的，因此共振周期的相對誤差也是相同的。相對誤差(其中X=U、F、M或T，分別代表位移、剪力、彎矩和周期；n=1或2，分別代表1階和2階)定義為：(簡化法值-精確法值)/精確法值×100%。由上式定義的誤差有正負之分，誤差值的絕對值越大，計算精度越低；誤差值為負時說明該方法的結果相對精確法結果偏小。

圖3 工況H=80 m、L=0.2各方法的頻域傳遞函數曲線Fig.3 The frequency domain transfer function of each method in case H=80 m , L=0.2

4.2 共振周期的誤差

84種尺寸的橋墩工況下剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的1階、2階的共振周期誤差分別如圖4、圖5和圖6所示。各方法的誤差范圍和極差統計于表2。

基頻近似法的誤差在±3%內變化，且1階誤差多為正，2階誤差多為負。隨著寬深比增大，誤差趨于穩定；誤差在寬深比等于0.25時較小，在寬深比等于0.05或0.7時較大。隨著水深的增大，誤差先減小后穩定，水深20 m時誤差較大。莫里森法的1階、2階誤差分別在9%、6%內變化，誤差值均為正值。隨著寬深比增大，誤差不斷增大但增速減緩，寬深比等于0.05時誤差最小。隨著水深的增大，誤差僅在寬深比較小(小于0.2)時有一定程度的波動，其中水深120 m時誤差最小。

圖4 剛性柱法的共振周期誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.4 The resonant period errors of the rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖5 基頻近似法的共振周期誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.5 The resonant period errors of a method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖6 莫里森法的共振周期誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.6 The resonant period errors of Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

剛性柱法和莫里森方法的周期誤差均為正，表明Mrw和MM對結構1階、2階振動的質量貢獻大于Mw的貢獻。

在每種工況下比較各方法誤差絕對值的相對大小，所得最小值對應的方法見圖7，每種方法在圖7中所占比例見表2。剛性柱法在1階72%、2階2%的工況中值最小，1階時主要分布在寬深比大于0.35的工況，2階時僅分布在寬深比小于0.1且水深等于20 m的工況。基頻近似法在1階27%、2階98%的工況中值最小，1階時該方法分布于寬深比小于0.4且水深大于20 m的大部分工況。莫里森法僅分布在1階的個別工況。

4.3 位移共振峰的幅值誤差

剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的 1階、2階位移共振峰幅值誤差分別如圖8、圖9和圖10所示，各方法的誤差范圍和極差統計于表2。

剛性柱法的前兩階誤差均在±2%內變化，且基本是負值誤差。

基頻近似法的1階、2階誤差分別在±4%、±12%內變化且幾乎均為負。隨著寬深比的增大，誤差絕對值先增大后減小并趨于穩定。寬深比等于0.05時誤差絕對值最小，寬深比在0.4附近誤差絕對值較大。對水深變化而言，誤差絕對值隨著水深的增加先增大后減小并趨于穩定(除寬深比等于0.05時)，水深20 m時誤差最小。

莫里森法的誤差在±6%內變化。1階誤差基本為正值，各水深條件下，誤差均隨寬深比的增大呈線性增大的趨勢。2階誤差基本為負值，誤差絕對值隨著寬深比的增大，先增大后減小。寬深比在0.05時1、2階誤差均較小，寬深比等于0.3和0.7時誤差較大。

在每種工況下比較各方法誤差絕對值的相對大小，所得最小值對應的方法如圖11所示，每種方法在圖中出現次數占總工況數的比例統計于表2。剛性柱法的占比在93%~95%。莫里森法的占比在4%~7%，1階時出現在寬深比等于0.5且水深等于20 m~60 m的工況，2階時出現在寬深比大于0.65的工況。基頻近似法僅出現在1階時水深為20 m且寬深比為0.1的工況。

由表３可以看出，在95%的置信水平下，值小于0.05，可以驗證月消費水平與所選擇的外賣價格之間是相互關聯的，月消費水平與選擇外賣的價格不是相互獨立的，即大學生的月消費水平與選擇外賣價格之間具有一定的相關性．

圖7 絕對最小共振周期誤差對應的方法Fig.7 Method corresponding to absolute minimum resonance period error

表2 各方法的誤差范圍、極差和各方法在絕對誤差最小值分布圖中所占比例Table 2 The scope and range of the error, and the proportion of each method in the distribution of absolute minimum error

圖8 剛性柱法的位移共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.8 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖9 基頻近似法的位移共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.9 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖10 莫里森法的位移共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.10 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖11 絕對最小位移共振峰幅值誤差對應的方法Fig.11 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of displacement

4.4 剪力共振峰的幅值誤差

剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的剪力共振峰幅值誤差分別如圖12、圖13和圖14所示，相應誤差范圍統計于表2。與位移誤差相比，各方法的誤差范圍和變化趨勢都有一定程度改變，其中基頻近似法的差異相對較小。

剛性柱法的剪力誤差在±3%內變化。隨著寬深比的增大，各水深下的1階誤差由正變負，誤差絕對值先減小后增大并趨于穩定；2階誤差均為正，誤差先減小后增大并趨于穩定。

基頻近似法的 1、2階誤差幾乎均為負，分別在±8%、±11%內變化。隨著寬深比增大，誤差絕對值先增大后減小(除水深20 m時)，寬深比等于0.05時誤差絕對值較小，寬深比在0.3附近時誤差絕對值較大。隨著水深增大，誤差絕對值先增大后穩定(除寬深比等于0.05時)，水深20 m時誤差最小。

莫里森法的1、2階誤差均為正，分別在21%、16%內變化。各水深條件下，誤差均隨著寬深比增大呈線性增大的趨勢。結合誤差隨水深變化的規律，寬深比等于0.05、水深等于120 m時誤差最小。

各工況誤差絕對值最小時對應的方法如圖15所示，每種方法在圖中所占比例見表2。從圖15可以發現，1階誤差和2階誤差的方法分布相同。其中，剛性柱法的占比為93%。莫里森法的占比為5%，并分布在寬深比為0.05且水深為60 m~120 m的工況?；l近似法的占比僅為2%。

4.5 彎矩共振峰的幅值誤差

剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的彎矩共振峰幅值誤差分別如圖16、圖17和圖18所示，誤差范圍統計于表2。與位移、剪力誤差相比，各方法的誤差區間和變化趨勢均有一定差異。

剛性柱法的誤差在±5%內變化，且誤差值基本為正。隨寬深比增大，1階誤差不斷減小并趨于零，2階誤差先減小后增大。

基頻近似法的誤差在±7%內變化，且誤差幾乎都是負值。隨著寬深比增大(除水深20 m時)，誤差絕對值先增大后減小。寬深比等于0.05或0.7時，誤差絕對值相對較小，寬深比在0.2附近時誤差絕對值較大。隨著水深增大(除寬深比等于0.05和0.7時)，誤差絕對值先增大后趨于穩定，水深20 m時誤差最小。

圖12 剛性柱法的剪力共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.12 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖13 基頻近似法的剪力共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.13 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖14 莫里森法的剪力共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.14 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖15 絕對最小剪力共振峰幅值誤差對應的方法Fig.15 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of shear force

圖16 剛性柱法的彎矩共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.16 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

莫里森法誤差在 24%內變化，且誤差均為正值。1階、2階誤差均隨著寬深比增大呈線性增大的趨勢，即寬深比越大，誤差越大。結合誤差隨水深變化的規律，寬深比等于0.05、水深等于120 m時誤差最小。

各工況誤差絕對值最小時對應的方法如圖19所示，每種方法在圖中所占比例見表2。剛性柱法在1階86%、2階61%的工況中值最小?；l近似法在1階11%、2階37%的工況中最小。莫里森法在1階3%、2階2%的工況中最小，分布在寬深比為0.05且水深大于80 m的工況。

圖17 基頻近似法的彎矩共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.17 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖18 莫里森法的彎矩共振峰幅值誤差(實線柱：正值誤差；虛線柱：負值誤差)Fig.18 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖19 絕對最小彎矩共振峰幅值誤差對應的方法Fig.19 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of bending moment

4.6 誤差綜合分析

結合位移、剪力、彎矩共振峰幅值誤差和共振周期誤差的分析，從誤差絕對值的角度，剛性柱法的極限誤差最小，且隨著各參數變化，誤差變化平緩；基頻近似法的極限誤差次之，隨著參數變化，誤差變化較平緩；莫里森法的極限誤差最大，且隨參數變化，誤差改變劇烈。

結合各方法的簡化依據可知，剛性柱法根據解析公式并作結構剛性假定得到，考慮了動水力沿高度的分布，所以各工況下誤差均較小，但在小寬深比情況下，即結構相對柔的情況下，誤差相對較大。

基頻近似法基于橋墩真實柔性得到，因此計算共振周期時誤差相對較小；但該方法計算得到的各種響應的共振峰幅值偏小，這主要是由于該方法低種響應的共振峰幅值偏小，這主要是由于該方法低估了地面剛性運動引起的動水力附加質量。此時結構的響應將被低估，因此將該方法用于結構設計時結果是偏于不安全的。

莫里森法是基于柱體存在對波浪場影響可忽略的假定得到的經驗公式，出現了隨寬深比增大，誤差也增大的現象。且各響應的共振峰幅值和共振周期總被過大估計。此時結構的響應多將被高估，因此將該方法用于結構設計時結果將偏于保守。

通過在每種計算工況下比較各方法所得誤差的絕對值后發現，在1階共振周期計算中，剛性柱法在寬深比大于0.4的工況中有絕對優勢，基頻近似法在小寬深比條件下具有明顯的優勢；在2階共振周期計算中，基頻近似法有絕對優勢。在位移和剪力計算中，剛性柱法的結果占有絕對優勢，93%以上的工況中誤差絕對值都是最小的;莫里森法和基頻近似法僅在寬深比小于0.1的工況中有分布(除位移的2階誤差)，且莫里森法的分布多于基頻近似法。彎矩誤差中，基頻近似法的分布增多，剛性柱法的分布相對減少，莫里森法僅分布在寬深比小且水深大的個別工況。

結合位移、剪力、彎矩共振峰幅值誤差和共振周期誤差的分析，與水深變化相比，各方法誤差對寬深比變化更敏感。對水深變化而言，基頻近似法較其余兩方法更敏感。

5 結論

針對不可壓縮無粘性水體，本文通過各方法所得頻域傳遞函數的對比分析得到以下結論：

(1)所選參數范圍內，從共振周期的角度，基頻近似法和剛性柱法誤差的變化幅度小，莫里森法誤差變化區間較大；從共振幅值的角度，剛性柱法誤差的變化幅度最小，基頻近似法次之，莫里森法誤差變化區間稍大。

(2)對比各方法所得誤差的絕對值可發現，在計算各響應的共振峰幅值時，剛性柱法具有較明顯的精度優勢；而在共振周期計算中，基頻近似法的優勢更明顯。

(3)與精確解所得結果相比，基頻近似法所得共振峰幅值大多偏小，用于結構設計時偏于不安全；莫里森法所得共振峰幅值和周期大多偏大，用于結構設計時偏于保守。結合共振周期和峰值的計算精度，推薦使用剛性柱法。