熱致混合式轉子變結構與動力學特性

潘健智，魏大盛，胡偉男

（1.南京理工大學 理學院，南京210094； 2.北京航空航天大學 能源與動力工程學院，北京100083）

大型旋轉機械（如航空發動機、汽輪機等）多在高溫和高壓的環境中高速運轉，并伴有負載較重，但其結構復雜且輕質化的發展趨勢，使得對于運行時振動與抑制振動問題的研究越發成為發動機研發過程中的核心課題之一。根據現有的工作故障數據與相關實驗驗證對比結果顯示，由機組主轉子系統振動直接引發的故障占總故障的半數以上，是誘發機組異常振動的主要因素［1-2］。以航空發動機主轉子結構為研究對象，文獻［3-5］針對發動機整機振動問題展開了詳細的研究，揭示了設計參數與轉子振動特性的關系；Glasgow和Nelson［6］運用復模態綜合法分析了航空發動機支承-轉子-機匣整機系統的動力學特性；Hosseini和Khadem［7］研究了轉子系統的自由振動，并考慮了轉軸曲率和慣性；劉楊等［8-9］研究了故障轉子振動的參數影響規律與抑制；文獻［10］建立了具有復合材料軸-盤-軸承轉子系統的數學模型，揭示了復合材料轉軸對轉子動力學特性的影響。針對航空發動機工況下的復雜結構變化和影響因素，以及誘發異常整機振動，文獻［11］研究了考慮磨損引起的結構變化及產生的附加激勵；文獻［12-14］研究了復雜工況下熱變形誘發的轉子結構變化與運行時的故障振動的參數影響規律。

現有的研究工作多以集中質量方法予以建模及深入研究，對結構參數的影響或是復雜因素影響下結構變化引起的動態特性變化的研究較為少見。發動機作為飛行器的推進系統，其將燃料燃燒產生的化學能轉變為有效的功率并以軸功率形式輸出，最后傳給推進系統。事實上發動機整機工作時，溫度沿主軸方向呈現非均勻分布，渦輪要求的燃氣溫度隨發動機推力需求的變化而變化，不同的性能需求對機組溫升的要求也不盡相同。通常，最高溫度限制在850～1 700℃，具體由渦輪轉子葉片和導向器的材料決定；壓縮過程所做的功已經將空氣加熱到200～550℃，使燃燒過程產生的溫升達到650～1 150℃。鑒于以上研究現狀與研究背景，本文考慮復雜溫度環境引起的熱膨脹及變結構特征，以Jeffcott轉子動力學模型為基礎，以文獻［15］的單厚盤轉子系統模型為主要研究對象，進一步考慮文獻［16］中轉軸熱膨脹特性的理論研究結果，對比數值計算與理論研究，分析厚盤基于熱膨脹沿軸向竄動后轉子系統的動力學屬性與參數影響規律。

1 盤鼓混合式轉子系統建模

針對航空發動機等旋轉機械的旋轉構件結構特點和復雜連接形式，雖然渦輪與壓氣機處轉盤厚薄不同，但兩者的旋轉構件均以復雜的形式連接［17］。本文以盤鼓混合式連接為例，即各級轉盤間以鼓筒連接。

考慮圖1中的盤鼓混合旋轉構件的結構特點：實心圓截面轉軸較為細長，與轉軸相比，鼓筒為相對粗短的薄壁柱殼且空心圓截面軸慣性矩較大，因此整體旋轉構件中鼓筒的彎曲剛度遠遠大于細長的轉軸。將盤鼓混合連接結構剛化為理想剛性圓柱體，并視其為考慮厚度的轉盤（簡稱厚盤）?？紤]各轉盤存在偏心距且質心連線與轉軸平行，鼓筒為薄壁圓柱殼，忽略其質量影響。

圖1 盤鼓混合旋轉構件示意圖Fig.1 Schematic diagram of mixing rotor set with turntable and drum

1.1 理想剛性圓柱體定義

如果圓柱體滿足如下條件：

1）圓柱體的各向彎曲剛度、扭轉剛度和剪切剛度無窮大，其各種形式的變形在理論研究中可忽略不計，即圓柱體為理想剛體。

2）圓柱體沿軸向質量分布絕對均勻，即圓柱體的每根軸向纖維為均勻的質量線。

3）圓柱體沿徑向存在質量偏心量。

則稱其為理想剛性圓柱體，如圖2所示。

1.2 厚盤轉子系統動力學模型

以理想剛性圓柱體為轉盤，用以近似厚度不可忽略的盤鼓混合旋轉構件，圓柱體兩端分別與轉軸剛性連接，且中心軸線和轉軸中心線均與兩支座連線共線；細長轉軸為質量不計的實心圓截面彈性純彎軸；忽略靜置時重力引起的靜變形量；轉子兩端支撐形式簡化為光滑的固定鉸支座和活動鉸支座?；诶碚撗芯?，在微振幅范圍內轉盤偏轉轉角為微小角，即θ≈tanθ≈sinθ，且弧段長度近似等于弦段長，運行狀態下轉子上各點在z軸上投影在未發生熱膨脹變形時近似不變。以l表示轉軸總長度，d表示轉軸截面直徑。

如圖3所示，在直角坐標系A-xyz下，初始靜置狀態下轉子總跨度為AB＝L0，轉盤厚度為2b，左右軸段AO1和O2B長度分別為l10和l20，轉軸總長l0，則存在如下關系：

圖2 理想剛性圓柱示意圖Fig.2 Schematic diagram of ideal rigid cylinder

忽略厚盤熱變形，轉軸發生熱致膨脹后左右段長度變為l1和l2，則轉軸總長度與轉子總跨度變為

轉子以轉速Ω運行時，厚盤的動量矩沿x、y方向的投影Lx和Ly為

式中：θx、θy為轉盤偏角；Jd和Jp分別為厚盤繞截面直徑和中心軸轉動慣量。

由動量矩定理，慣性力矩Mx和My為

圖3 厚盤轉子系統示意圖Fig.3 Schematic diagram of rotor system with thick disk

厚盤的質量為m，且偏心量為ε，則厚盤慣性力在x和y方向的投影分別為m¨xr和m¨yr；系統受到等效黏性比例阻尼的比例系數為β1和β2。依轉子在轉盤處受力（力矩）和位移（轉角）的關系及動力學普遍方程，可得厚盤轉子系統的振動方程為

式中：轉盤坐標X＝（xr yrθxθy）T；質量矩陣M＝diag（m，m，Jd，Jd）；剛度矩陣K＝陀 螺 力 矩H＝；比例阻尼C＝β1M＋β2K；F＝（mΩ2εcos（Ωt）mΩ2εsin（Ωt） 0 0）T為偏心激勵。

如忽略厚盤的偏心量，且引入復變量r＝x＋iy，θ＝θy－iθx，則方程（5）變為

代回方程（6）可得頻率方程為

依方程（8）求解出4個根，即轉子系統存在4個進動頻率［18-19］。

2 轉軸彎曲剛度

轉子系統運行溫度的復雜多變及非均勻特性，使得高速運轉中的主軸產生復雜多變的非均勻溫度應力?？紤]溫度沿軸向的復雜分布規律，進而導致轉盤產生軸向竄動。將轉子材料的熱膨脹系數近似為一常數α，即忽略溫度對材料熱膨脹屬性的影響，并展開熱膨脹對轉子系統影響的研究。

2.1 熱膨脹影響下轉軸軸向竄動規律

當厚盤兩側軸段的溫度由初始溫度T0分別升至工作溫度T1和T2時，厚盤轉子模型的轉軸發生熱膨脹變形后，厚盤沿軸向竄動的示意圖如圖4所示。

熱膨脹引起變形后各軸段長度為

如圖5所示，研究轉軸截面變形，線彈性微小變形范圍內，徑向、軸向應變滿足如下關系：

式中：μ為泊松比；截面直徑d的角標意義與軸段l相一致。

將式（9）代入式（10）整理，可得變形后兩軸段橫截面直徑為

兩軸段截面對其直徑的軸慣性矩為

進一步，即可求得兩軸段熱膨脹后的抗彎曲剛度EI1和EI2（E為材料彈性模量）。

圖4 轉軸軸向竄動Fig.4 Axial movement of shaft

圖5 轉軸軸向竄動變形示意圖（n＝1，2）Fig.5 Deformable diagram of axial movement of shaft（n＝1，2）

2.2 熱膨脹影響下轉軸彎曲剛度

圖6為膨脹后的轉子系統?；诤癖P變形可忽略且兩端都與轉軸剛性連接，如圖7所示，當將，曲線AO1B為一條處處光滑且連續的曲線。

對曲線AO1B在坐標系Arz下進行數值擬合，轉軸上任意一點處的徑向位移r（z）為位置z的三次多項式：

式中：a1、a2、a3、a4為待定系數，可由如下插值條件確定，即多項式r（z）滿足：

將插值條件式（14）代入多項式（13）得

由式（15）可將多項式（13）記為

計算式（16）中矩陣的逆并記為I，選取關于變量z三次Hermite多項式［20］：

則式（16）的形式可記為

式中：z∈［0，l］。

當θ為微小角時，tanθ≈θ，則

兩段轉軸的總彎曲勢能與擬合曲線AO1B的曲率有關，與位置無關，厚盤轉子系統轉軸彎曲勢能ur為

ur為一個關于r（z）的二次泛函，式（20）可退化為線性化表達式：

泛函ur也可以表示為

式中：K r為彈性轉軸兩端固定時彎曲恢復剛度矩陣，即

由于圓截面轉軸截面各向同性，則轉子在置盤處的彎曲恢復力（力矩）和位移（轉角）的關系，即轉子系統的彎曲剛度與恢復力滿足：

圖6 熱膨脹轉子彎曲示意圖Fig.6 Bending diagram of rotor after thermal expansion

圖7 彎曲轉軸的曲線擬合Fig.7 Curve fitting of bending shaft

3 算例與分析

為研究熱膨脹對厚盤轉子系統動力學屬性的影響，針對厚盤轉子系統選取計算參數，如表1所示。

為模擬出復雜溫度環境及溫升過程對厚盤轉子系統的影響，參考大型復雜旋轉機械實際工況特點。當轉子自然溫度T0＝68 K時，分別以速率v1T＝0.8 K／s和v2T＝6 K／s勻速升溫至穩定的工作溫度T1W＝608 K和T2W＝2 192 K；熱膨脹系數α＝4.8μm／mK。此時溫升及軸段長度變化規律分別如圖8和圖9所示。

改革開放40年，黃淮白酒企業經歷了各種波瀾起伏，有過輝煌也有過挫折，有過迷茫也有過希望和成長，時至今日，蘇、魯、豫、皖四省白酒逐漸改變了過去說強不強、說弱不弱的“小而散”的狀態。2017年四省規模以上企業近500家，白酒產量占據全國三分之一，白酒產量位列前五當中，河南、山東、江蘇占據三席，因此，在如今這個重要的發展節點上，如何讓黃淮名酒產區壯大，讓黃淮名酒飄香世界，成為眾多白酒企業思考的新命題。

表1 厚盤轉子系統參數Table 1 Parameters of rotor system with thick disk

圖8 溫升曲線Fig.8 Temperature rising curves

圖9 轉軸長度變化Fig.9 Axial length variation

3.1 熱膨脹影響下彎曲恢復剛度

轉盤厚度2b＝0.2m時，計算對比厚盤轉子系統在不同工作環境中的彎曲恢復剛度，列于表2和表3中。表2為工作溫度T2W＝1652K時，T1W對轉子主剛度的影響；表3為工作溫度T1W＝608 K時，T2W對轉子主剛度的影響。數據顯示了在不同溫度狀態下對厚盤轉子系統彎曲恢復剛度的影響。

表2數據顯示，僅考慮T1W影響時，剛度krr、kθθ均隨T1W增加而不同程度的減小，同時剛度krθ的絕對值也隨之減小。表3數據顯示，僅考慮T2W影響時，剛度krr和剛度krθ的絕對值隨T2W增加而增加，而剛度kθθ隨T2W增加而減小。

研究轉盤厚度的影響時，令初始狀態的自然溫度為T0＝68 K；針對穩定的工作溫度T1W＝608 K和T2W＝2 192 K，計算對比轉子的彎曲恢復剛度列于表4中。由表4數據可見，當轉軸長度不變時，轉盤厚度對彎曲恢復剛度的參數影響規律為：剛度krr不受轉盤厚度參數的影響，而剛度krθ、kθθ的絕對值均隨轉盤加厚而增加。

表2 彎曲恢復剛度受T1W的影響Table 2 Bending restoration stiffness affected by T1W

表3 彎曲恢復剛度受T2W的影響Table 3 Bending restoration stiffness affected by T2W

表4 彎曲恢復剛度受轉盤厚度的影響Table 4 Bending restoration stiffness affected by disk thickness

3.2 熱膨脹影響下轉子進動頻率

由方程（8）求解計算轉子在不同轉速Ω時的4個進動頻率角速度，記ωf1和ωf2為正進動頻率，ωb1和ωb2為反進動頻率。繪制輔助線ωn＝Ω和ωn＝－Ω，由交點確定出厚盤轉子系統在不同工況下的臨界角速度。考慮穩定的工作溫度T1W＝608 K和T2W＝2 192 K，熱膨脹系數α＝4.8μm／mK。當b＝0.1m時求得轉子進動頻率，如圖10（a）所示；當b＝0.2m時求得轉子進動頻率，如圖10（b）所示。

表5為工作溫度T2W＝1 652 K時，T1W對轉子臨界角速度進動頻率的影響。表6為工作溫度T1W＝608 K時，T2W對轉子臨界角速度的影響。

由圖10可見，厚盤轉子系統在發生一定程度軸向熱膨脹后有3個臨界角速度。而ωn＝Ω與ωf2無交點，也可認為ω4＝∞。2個正進動頻率和2個負進動頻率都隨著轉速Ω升高而升高。結合表5和表6數據，對于轉盤厚度較大的厚盤轉子系統，臨界角速度ω1和臨界角速度ω2較小，而臨界角速度ω3則隨著轉盤厚度增加而增加。

圖10 轉子進動頻率Fig.10 Precession frequency of rotor

表5 臨界角速度受T1W的影響Table 5 Cirtical angular velocity affected by T1W

特別當Ω＝0時，ωf1＝－ωb1＝ωα且ωf2＝－ωb2＝ωβ，即為不考慮陀螺力矩時的臨界角速度。依溫升規律（見圖8）和轉軸長度膨脹規律（見圖9）對轉子進行計算，對比仿真溫升過程中ωα、ωβ的變化規律，如圖11所示。

從圖11中可以看出，在0～354 s時間段內，溫度T1和T2均為升溫狀態下，ωα均隨之增加而ωβ隨之減小；在時間段354～675 s內，T2達到穩定的工作溫度T2W而T1仍繼續緩慢升溫，在此時間段內ωα、ωβ均以不同速率減??；在675 s后溫升結束，系統進入穩定的工作溫度，ωα、ωβ保持不變。

表6 臨界角速度受T2W的影響Table 6 Cirtical angular velocity affected by T2W

圖11 臨界角速度ωα、ωβ變化Fig.11 Changes of cirtical angular velocityωα andωβ

3.3 轉軸截面直徑對幅頻特性的影響

如圖12及表7所示，隨著轉軸截面直徑d0增加，幅頻特性曲線的峰值減小，且峰值對應的轉速值變大。當轉速小于383 s－1時，響應幅值隨轉軸直徑在0.04～0.06m范圍內增加而減??；當轉速大于568 s－1時，響應幅值隨轉軸直徑在0.04～0.06m范圍內增加而增加。

圖12 轉軸截面直徑影響下響應xr的幅頻曲線Fig.12 Amplitude-frequency curves of response xr under influence of shaft diameter

表7 圖12中峰值及其對應轉速Table 7 Peak value and corresponding rotation speed of Fig.12

3.4 工況溫度對幅頻特性的影響

為研究工況溫度對厚盤轉子系統的影響，以響應xr為例。首先考慮工況溫度T2W＝1 652 K，轉盤厚度2b＝0.2m，轉軸截面直徑d0＝0.05m，繪制不同工況溫度T1W情況下厚盤轉子系統響應幅值隨轉速的變化曲線，如圖13所示（虛線和點劃線的交點處Ω＝456.6 s－1，實線和虛線的交點處Ω＝459.8 s－1），相應峰值列于表8；其次考慮工況溫度T1W＝932 K，轉盤厚度2b＝0.2 m，轉軸截面直徑d0＝0.05m，繪制不同工況溫度T2W情況下厚盤轉子系統響應幅值隨轉速的變化曲線，如圖14所示（虛線和點劃線的交點處Ω＝457.0 s－1，實線和虛線的交點處Ω＝457.6 s－1），相應峰值列于表9。

如圖13及表8所示，隨著工況溫度T1W增加，幅頻特性曲線的峰值增加，且峰值對應的轉速值減小。當轉速小于456.6 s－1時，響應幅值隨工況溫度T1W增加而增加；當轉速大于459.8 s－1時，響應幅值隨工況溫度T1W增加而減小。

圖13 T1W影響下響應xr的幅頻曲線Fig.13 Amplitude-frequency curves of response xr under influence of T1W

表8 圖13中峰值及其對應轉速Table 8 Peak value and correspond ing rotation speed of Fig.13

表9 圖14中峰值及其對應轉速Table 9 Peak value and correspond ing rotation speed of Fig.14

如圖14及表9所示，隨著工況溫度T2W增加，幅頻特性曲線的峰值減小，且峰值對應的轉速值增加。當轉速小于457.0 s－1時，響應幅值隨工況溫度T2W增加而減小；當轉速大于457.6 s－1時，響應幅值隨工況溫度T2W增加而增加。

3.5 轉盤厚度對幅頻特性的影響

為研究轉軸截面直徑對厚盤轉子系統的影響，以響應xr為例。考慮工況溫度T1W＝932 K，T2W＝1 832 K；轉軸截面直徑d0＝0.05m。繪制選取不同轉盤厚度情況下厚盤轉子系統響應幅值隨轉速的變化曲線，如圖15所示，相應峰值列于表10。

如圖15及表10所示，隨著轉盤厚度的增加，幅頻特性曲線的峰值減小，且峰值對應的轉速值較小。當轉速小于414 s－1時，響應幅值隨轉盤厚度的增加而增加；當轉速大于438 s－1時，響應幅值隨轉盤厚度的增加而減小。

圖15 轉盤厚度影響下響應xr的幅頻曲線Fig.15 Amplitude-frequency curves of response xr under influence of disk thickness

表10 圖15中峰值及其對應轉速Table 10 Peak value and corresponding rotation speed of Fig.15

4 結 論

復雜多變的溫度環境會使轉子系統結構變化，是影響轉子動力學特性及旋轉機械異常振動分析的主要因素之一。本文考慮了轉盤厚度的影響，并開展了厚盤轉子系統建模與熱膨脹變形的研究，針對溫升過程及高溫運行環境，將其影響量化，研究了熱膨脹量對厚盤轉子系統結構與運行特性的影響。通過數值仿真及對比算例，展示了厚盤轉子系統動力學特性受熱膨脹因素的影響規律。

1）從轉軸彎曲恢復剛度分析結果可見，在溫升過程中，厚盤轉子系統以熱膨脹變形規律發生結構變化，其彎曲恢復剛度各項均隨之以不同規律變化，因而熱膨脹變形量引起的厚盤轉子系統結構參數變化是影響彎曲恢復剛度估算的因素之一。

2）從轉子進動頻率和臨界轉速的分析結果可見，當轉軸長度不變而轉盤厚度變化，轉子系統的各階臨界角速度均受影響；當考慮工作溫度環境時，在一定的升溫工作狀態和穩定的高溫工作狀態，熱膨脹變形是影響轉子臨界轉速的主要因素之一。

3）對于產生軸向竄動的厚盤轉子系統，不同的工況所產生的熱膨脹竄動量有所不同，使得相同的厚盤轉子系統在不同的工況下以不同的結構參數運轉，特別在不同的轉軸結構參數下具有不同的彎曲恢復剛度，使得系統的固有頻率和幅頻特性等動力學特性均受到影響。

4）厚盤轉子系統的轉盤厚度也是影響整個轉系統動力學特性的主要因素，即便工況狀態下厚盤轉子系統的轉軸結構參數相同，不同的轉盤厚度使得整系統具有不同的結構特征，使得轉子的彎曲恢復剛度具有差異而間接的影響整個厚盤轉子系統的動力學特性。