四說微積分學中的這個重要函數

摘?要：在《微積分學中一個重要函數》[1]一文中，討論了f（x）=sinxx的許多簡單、顯見的特性。《再說微積分學中的這個重要函數》[2]一文從該函數的導數計算入手，進行微積分中有關知識點的討論。《三說微積分學中的這個重要函數》[4]是討論了無窮小量等價代換。本文則是該函數進行高階導數計算，仍可作為教材的補充。

關鍵詞：函數;導數;高階導數;極限;冪級數;羅必達法則

在《微積分學中一個重要函數》一文中，我們對第一個重要極限limx→0sinxx=1中的函數f（x）=sinxx 進行了一系列的討論，指出了一些顯著的特點，其中討論到f（x）在x=0點處為可去間斷點，于是有連續(xù)函數F（x）=f（x），?x≠0

1，x=0。

下面就對F（x）進行逐階求導。

一、關于f（x）的導數計算

使用導數基本公式和法則可以得到：

f′（x）=sinxx′=xcosx-sinxx2，

f″（x）=（2-x2）sinx-2xcosxx3，

f（x）=3（x2-2）sinx+（6x-x3）cosxx4，

f（4）（x）=（24-12x2+x4）sinx+（4x3-24x）cosxx5，

……。

可見f（x）導數階數越高，計算越繁瑣，也沒顯著規(guī)律;在x=0點處不連續(xù)，也就不可導，但也僅在x=0點處不可導。

二、關于F（x）的導數計算

（1）當x≠0時，F′（x）=f′（x），F″（x）=f″（x），…，F（n）（x）=f（n）（x） n∈Z+。

（2）當x=0時，F（x）的導數，即F′（0），可以用二種基本方法計算：

方法一，用導數定義計算：

F′（0）=limx→0F（x）-F（0）x=limx→0f（x）-1x=limx→0sinx-xx2

=limx→0cosx-12x=limx→0-sinx2=0

方法二，用導函數的極限（連續(xù)性）計算：

F′（0）=limx→0f′（x）=limx→0xcosx-sinxx2=limx→0（xcosx-sinx）′（x2）′

=limx→0-sinx2=0

計算說明：①二種方法都用到了羅必達法則，方法一中用了二次;

②可以看出直接通過函數恒等變形求這類極限是不可取的;

③因為函數式中有減法，所以等價代換也是不可取;

④兩種計算方法也證明了F′（x）在x=0點處連續(xù)，從而F′（x）是連續(xù)的。

所以，F（x）的連續(xù)導函數為：

F′（x）=xcosx-sinxx2，?x≠0

0，x=0

（3）當x=0時，F（x）的二階導數F″（0）同樣可以這二種方法計算：

方法一，用導數定義計算：

F″（0）=limx→0F′（x）-F′（0）x=limx→0f′（x）-0x=limx→0xcosx-sinxx3=limx→0-xsinx3x2=-13

方法二，用導函數極限（連續(xù)性）計算：

F″（0）=limx→0f″（x）=limx→02-x2sinx-2xcosxx3=limx→0-cosx3=-13

計算說明：①仍用到了羅必達法則計算極限，但方法二中是借用方法一的極限計算;

②函數可導即意味著Δy與Δx是同階或高階無窮小，而本題中的Δx就是x，即有：

xcosx-sinx～-13x3

（2-x2）sinx-2xcosx～-13x3;

③兩種計算方法也證明了F″（x）在x=0點處連續(xù)，從而F″（x）是連續(xù)的。

于是，就有：

F″（x）=2-x2sinx-2xcosxx3，?x≠0

-13，x=0

（4）運用與（二）、（三）中類似的方法計算，可以得到：

F（x）=3x2-2sinx+6x-x3cosxx4，?x≠0

0，x=0

F（4）（x）=24-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5，?x≠0

15，x=0

……

F（n）（x）=f（n）（x），?x≠0

An，x=0?????n∈Z+

A1=0，A2=-13，A3=0，…

雖然可以逐階求出F（x）更高階的導數，但演算是相當繁瑣的，且沒有簡單顯然的規(guī)律。這就有尋找簡捷有效的計算方法的必要。

三、利用冪級數解決問題

∵sinx=x-x33！+x55！-x77！+…?-SymboleB@

∴F（x）=1-x23！+x45！-x67！+…?-SymboleB@

通過等式兩邊同時求導和冪級數逐項求導法則，可得：

∴F′（x）=-2x3！+4x35！-6x57！+…，?A1=F′（0）=0

∴F″（x）=-23！+12x25！-30x47！+…，?A2=F″（0）=-13

∴F（x）=24x5！-120x37！+…，?A3=F（0）=0

∴F4（x）=4！5！-360x27！+…，?A4=F4（0）=15

……

∴F（n）（x）=1-x23！+x45！-x67！+…（n），

An=F（n）（0）=0，???n為奇數

（-1）n2n+1，n為偶數

利用冪級數可以很方便地求出F（x）的各階導數！然而，對于x≠0時的各階導數值計算反而是不方便的。

四、三組間接結果

（一）一組函數的冪級數展開

（1）xcosx-sinxx2=-2x3！+4x35！-6x57！+…?（x≠0）

（2）2-x2sinx-2xcosxx3=-23！+12x25！-30x47！+…?（x≠0）

（3）3x2-2sinx+6x-x3cosxx4=24x5！-120x37！+…?（x≠0）

（4）24-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5=15-360x27！+…?（x≠0）

……

（二）一組極限計算（多項式函數與三角函數組合函數）

（1）limx→0x-sinxx3=16

（2）limx→0sinx-xcosxx3=13

（3）limx→0x2-2sinx+2xcosxx3=13

（4）limx→03x2-2sinx+6x-x3cosxx5=15

（5）limx→024-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5=15

（6）limx→0x3+3x2-2sinx+6xcosxx5=310

（三）一組等價無窮小

（1）6（x-sinx）～x3

（2）3（sinx-xcosx）～x3

（3）3x2-2sinx+2xcosx～x3

（4）53x2-2sinx+6x-x3cosx～x5

（5）524-12x+x4sinx+4x3-24xcosx～x5

（6）10x3+3x2-2sinx+2xcosx～3x5

參考文獻：

[1]陸宗斌.微積分學中的一個重要函數[J].當代教育實踐與教學研究，2017.9.

[2]陸宗斌.再說微積分中的這個重要函數[J].知識文庫，2018.14.

[3]左元武，陸宗斌.高職數學[M].北京：北京理工大學出版社，2014.8.

[4]陸宗斌.三說微積分中的這個重要函數[J].科學技術創(chuàng)新，2019.25.

課題：2018年度教育類教指委課題“互聯(lián)網+”背景下高職數學課程混合式教學模式的研究與實踐，（2018GGJCKT142）主持人繆燁紅

作者簡介：陸宗斌（1962-），男，漢族，江蘇太倉人，南京工學院數學學士，副教授，研究方向：高職類數學教學。