多元函數微分學中的一個注記

賈武艷，王慧蓉

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

1 預備知識

定義1設函數y=f（x）定義在點x0的某領域內.當給 x0一個增量 Δx，x0+Δx∈U（x0）時，相應地得到函數的增量為Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。如果存在常數A，使得Δy=AΔx+oΔx，則稱函數f在點x0可微。

定義2設函數z=f（x，y）定義在點P0（x0，y0）的某領域 c 內。對于 U（P0）中的點 P（x，y）=（x0+Δx，y0+Δy），若函數f在點P0處的全增量Δz可表示為：

其中 A，B是僅與點 P0有關的常數，ρ=，則稱函數f在點P0可微。

定義3 設D?Rn為開集，x0∈D，函數f：D→Rm。如果存在線性算子A（只依賴于x0），使得x∈∪（x0）?D 時，有：

則稱函數f在點x0可微。

引理1[1-3]（極限值與函數值的關系）若函數f（x）在點x0處的極限值為A,則存在x0的某領域U（x0）內，有f（x）=A+α，其中α→0（Δx→0）。

引理2若函數f（x，y）在點P0（x0，y0）處的極限值為A，則存在某U（P0），使得在該領域內有f（x，y）=A+α，其中 α→0（Δx→0，Δy→0）。

2 主要結論

定理1函數y=f（x）定義在點x0可微，存在某U（x0），則在該領域內函數增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=AΔx+αΔx其中 A 是常數，α→0（Δx→0）。

證明：若函數y=f（x）在點x0可微，則存在常數A，使得 Δy=AΔx+o（Δx）.下面說明 αΔx=o（Δx），α→0（Δx→0）。事實上，，故 αΔx?o（Δx），另外，任取f（Δx）∈o（Δx），則，根據極限值與函數值的關系可知存在ε→0（Δx→0），使得f（Δx）=εΔx。故αΔx=o（Δx）。證畢

定理2函數z=f（x，y）定義在點P0（x0，y0）可微，存在某P0（x0，y0），則在該領域內函數增量

Δz=AΔx+BΔy+αΔx+βΔy

其中 A，B 是常數，α→0，β→0（Δx→0，Δy→0）。

證明：若函數z=f（x，y）定義在點P0（x0，y0）可微，則存在常數A，B，使得：

下面說明 αΔx+βΔy= （ρ），α,β→0（Δx，Δy→0）。事實上，根據無窮小量和有界量的關系可知，則α?x+β?y?o(ρ)。另外，任取f(?x,?y)∈o(ρ)，則，根據極限值與函數值的關系可

知，存在ε→ 0 (?x,?y→0)，使得

定理3 設D?Rn的為開集，x0∈D，向量函數f：D→Rm在點x0可微，存在線性算子A（只依賴于x0），使得 x∈∪（x0）?D 時，有

再說明一般情況下，設向量函數f：D→Rm在點x0可微，則存在線性算子A（只依賴于x0），使得x∈∪（x0）?D 時，有：

那么，（1）式等價于

由上述m=1情況得知，存在Bi，使得

可知，向量函數f在（1，1）處可微。并且有

3 總結

學生在學習函數微分定義的時候，常常只注重對微分推廣公式[1-3]的應用，卻往往忽略其證明，并且對于高階無窮小量的多種形式欠缺思考，文章通過利用函數值與極限值的關系重新證明函數可微下的一個公式并將其推廣到多元函數的微分學[4]中，并讓學生更加理解高階無窮小量是一個集合并非一個確定的函數。