遞歸方法在行列式計算中的應用

任丹丹

摘 要：行列式是大學基礎課程中非常重要的知識點，采用遞歸方法計算行列式，是具有較強技巧性的計算方法，減少了運算量，能夠快速有效地計算出行列式的結果.遞歸方法是非常具有研究意義的解題方法.本文用經典例題闡述常見的遞歸方法在行列式計算中的應用.

關鍵詞：遞歸方法;行列式;遞歸公式

中圖分類號：O151? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2020）01-0018-02

1 引言

行列式是大學基礎課程《線性代數》《高等代數》中一個基礎的知識點，也是非常重要的知識點，它是研究n元線性方程組的解和性質的重要工具.因此研究它的結構和性質對于研究n元線性方程組的結構性質起到了舉足輕重的作用.從《線性代數》教材可知，求解未知量的個數等于方程個數的線性方程組的方法有很多，例如消元法、初等變換、克萊姆法則等方法，其中克萊姆法則是解決n元線性方程組的重要方法.利用克萊姆法則研究方程組的解的情況，不可避免的需要研究系數行列式的非零性，在此基礎上進一步研究解的結構和性質.由此可知，求解行列式的值是非常重要的.雖然求解行列式的方法有很多，例如按行（列）展開法則、歸納法、利用范德蒙德行列式計算的方法等等，但是卻缺少關于利用遞歸方法求解行列式值的總結和歸納，鑒于此，在本文中我們將研究利用遞歸方法求解具有特定性質的行列式.

遞歸方法是研究數學結構的眾多數學方法之一，它是研究數學結構和性質的基本方法.它將復雜的結構簡單化、困難的晦澀的結構容易化，它是數學思維方法的重要構成部分.

2 遞歸方法闡述

具有以下列形式的數列

x1=a，xn=f（xn-1）或x1=a，x2=bxn=f（xn-1，xn-2），（n>2）

被稱為遞歸數列，它的特征是：它的每一項都可由前一項或者是前兩項或者是階數較低的項按照一定的數學結構得到.

這類數列在高中數學和大學數學（包括《高等數學》《線性代數》《高等代數》等等）中都有廣泛的用途，它具有較深的近世代數背景，與代數學中的逐次逼近思想和不變量理論也具有緊密的聯系.

當行列式Dn、Dn-1或者Dn、Dn-1和Dn-2之間的能夠建立形如遞歸數列的代數關系時，我們可采用遞歸方法計算行列式.

由于有些行列式的結構性質比較晦澀，構建遞歸結構比較難以實施，常常使得初學者望而卻步.但是作者發現，由于行列式階數都是正整數，為我們建立遞歸公式提供了可能性，所以遞歸方法在求解具有特定性質的行列式方面具有重要的先天優勢.

采用遞歸方法計算行列式的主要步驟是根據行列式的特征和性質找到遞歸關系式，再根據遞歸關系式的形式，利用已知的數學理論逐次將階數降低至低階行列式，建立Dn與低階行列式之間的關系，最后利用求解出的低階行列式的結果，采用“回代”的方法，最終計算出行列式.

當遞歸公式的形式不同時，遞歸的過程也各不相同.

如果可以建立行列式Dn、Dn-1之間的遞歸關系時，只需將階數降低至一階行列式，即建立Dn與D1之間的關系，將D1代入到關系式中，即可計算出行列式.下面將采用這種方法計算例1中的行列式.

如果行列式Dn、Dn-1和Dn-2之間能夠建立遞歸關系式，常見的情形是三者之間具有線性關系，形如：Dn=pDn-1+qDn-2，n>2，q≠0.由此關系式變形可得

Dn-aDn-1=b（Dn-1-aDn-2），

Dn-bDn-1=a（Dn-1-bDn-2），

其中a+b=p，-ab=q.當a≠b時，由上述兩式可得

Dn-aDn-1=bn-2（D2-aD1），

Dn-bDn-1=an-2（D2-bD1），

顯然可得

當a=b時，則有Dn-aDn-1=an-2（D2-aD1），

顯然可推導出Dn-1-aDn-2=an-3（D2-aD1），

代入前式可得Dn=a2Dn-2+2an-2（D2-aD1），

重復此操作即可得Dn=an-1D1+（n-1）an-2（D2-aD1）.

針對不同的情形，我們將在下文舉例具體說明.

例題

例1 求解n階行列式的值.

分析：在求解行列式的值之前，我們需要觀察行列式所具有的特點，以此為基礎，確定求解方法.鑒于此，觀察得所求行列式具有如下特點：1）行列式除了第二列之外，其余列都是包含兩個非零元素，這決定了我們利用“展開定理”時確定可以按照第一列展開;2）第n行的元素的下標是由左及右是逐次遞減的，這是嘗試使用遞歸方法計算行列式的理由.

解 Dn=x

+（-1）n+1an

=xDn-1+（-1）n+1an（-1）n-1=xDn-1+an

=x（xDn-2+an-1）+an=x2Dn-2+an-1x+an

=x2（xDn-3+an-2）+an-1x+an=x3Dn-3+an-2x2+an-1x+an

=…

=xn-1D1+a2xn-2+…+an-1x+an

=xn-1（a1+x）+a2xn-2+an-1x+an

=xn+a1xn-1+…+an-1x+an.

例2 計算n階行列式

Dn=（a≠b）.

分析：由行列式的元素構成可知：當我們利用行列式“展開定理”對行列式按照第一行展開后發現，第一行中第一個元素a+b對應的n-1階余子式具有與Dn相同的結構形式，即為Dn-1，而且在計算第二個元素對應的n-1階余子式時，按照余子式的第一列展開后，會出現D_（n-2）.于是我們建立了Dn、Dn-1和Dn-2之間的代數關系，也就是建立了他們之間的遞歸公式.

解 將Dn按第一列展開得

Dn=（a+b）Dn-1-abDn-2，即Dn-aDn-1=b（Dn-1-aDn-2），

依次類推可得，

Dn-aDn-1=b2（Dn-2-aDn-3）=…=bn-2（D2-aD1），

又因為D1=a+b，D2=a2+ab+b2，將之帶入上式可得：

Dn-aDn-1=bn.

由于a，b所處的位置具有對稱性，類似可得Dn-bDn-1=an.由上述兩式可解出Dn=

注：注意到例1建立行列式Dn、Dn-1之間的遞歸關系，而例2是對行列式Dn、Dn-1和Dn-2建立遞歸關系式，而且三者之間具有線性關系.

3 結束語

采用行列式的性質和定義對行列式進行處理，常常會極大地增加題目的計算量，與此同時，也會增加解題出錯的概率.采用遞歸方法計算行列式，是具有較強技巧性的計算方法，減少了運算量，能夠快速有效的計算出行列式的結果.由此可知，遞歸方法是非常具有研究意義的解題方法.

參考文獻：

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