從“混”問(wèn)到“清”

陸友娉

摘 要：一年級(jí)開(kāi)始學(xué)習(xí)連加或連減，從左往右計(jì)算就成了默認(rèn)的順序，二年級(jí)開(kāi)始接觸兩步計(jì)算運(yùn)算順序，學(xué)生定勢(shì)后很難認(rèn)同先乘除后加減，因此學(xué)生產(chǎn)生了困惑也成了教學(xué)難點(diǎn)。如何讓學(xué)生內(nèi)化，需要更理性思考，本文嘗試讓學(xué)生理解認(rèn)同規(guī)定的知識(shí)。

關(guān)鍵詞：運(yùn)算順序; 教學(xué)設(shè)計(jì)思考

中圖分類號(hào)：G623.5? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ?文章編號(hào)：1006-3315（2020）1-045-001

一、《混合運(yùn)算》研究緣起

有老師反映二年級(jí)上《表內(nèi)乘法（二）單元評(píng)價(jià)卷》的口算題部分，出卷老師粗心混進(jìn)了一道3+2×9。這個(gè)單元中，學(xué)生只學(xué)習(xí)了乘加乘減，而且都是乘在前的情況，乘在后的還沒(méi)有教學(xué)，結(jié)果農(nóng)村小學(xué)三個(gè)班學(xué)生94人，從左到右順序計(jì)算錯(cuò)誤79人，錯(cuò)誤率84%。城鎮(zhèn)小學(xué)中有一個(gè)班45人，錯(cuò)44人，對(duì)1人，錯(cuò)誤率高達(dá)97.7%。老師們抱怨出卷老師，可我卻獲得了意外的驚喜，學(xué)生在此處肯定會(huì)有疑問(wèn)。

二、追根溯源：為什么要先乘除法后加減法

到底為什么要乘法先算呢？老師們，你們想過(guò)嗎？于是翻閱各類資料，得到的解釋為：首先，在生活應(yīng)用過(guò)程中，如“去菜場(chǎng)買菜，買了2捆青菜，每捆1元;買了3斤魚，每斤5元。一共要付多少錢？”這類情況比較多，先算每樣物品的錢，然后再加起來(lái)，才比較簡(jiǎn)便。如果規(guī)定“先加減后乘除”的話，在很多計(jì)算中都必須使用小括號(hào)。為了減少使用括號(hào)的麻煩，還是規(guī)定“先乘除”比較好。其次，從運(yùn)算效率上來(lái)看，乘除比加減快捷，為了達(dá)到在計(jì)算上迅速、方便的目的，人們就規(guī)定了“先乘除后加減”，也就是乘除法更高級(jí)的意思。

那么，怎么用學(xué)生易于接受的方法去解釋，讓學(xué)生能理解乘法是高級(jí)運(yùn)算，所以要先算呢？前面乘法的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，學(xué)生理解乘法求相同加數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算方法，但到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的時(shí)候，讓學(xué)生用高級(jí)與低級(jí)來(lái)區(qū)分，這是學(xué)生理解的難點(diǎn)，教師很是無(wú)奈，教學(xué)中也很無(wú)力。我們以往一般的做法就是直白地告訴學(xué)生：“同學(xué)們，數(shù)學(xué)家是這樣規(guī)定的：‘在沒(méi)有括號(hào)的算式里，如果有乘、除法，又有加、減法，要先算乘除法，后算加減法。”讓學(xué)生被動(dòng)地接受順序，再進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，現(xiàn)場(chǎng)效果確實(shí)很好，可是時(shí)間長(zhǎng)了又忘記了，就產(chǎn)生了歷史遺留問(wèn)題。

由此我們想到，這其實(shí)是告知與體驗(yàn)的差異，這個(gè)規(guī)定的背后到底有什么科學(xué)道理呢？如果在課堂上有機(jī)會(huì)可以辨一辨，就能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)內(nèi)化過(guò)程，真正地明白其中的道理了。那么，這樣的教學(xué)是不是會(huì)更有效呢？于是我們?cè)O(shè)想抓住這個(gè)核心關(guān)鍵“乘法的便捷性”去設(shè)計(jì)教學(xué)。

三、“問(wèn)”穿課堂，變順序的“混”為意義的“清”

基于先前的數(shù)據(jù)與根源的分析，教學(xué)時(shí)，老師們都想改變以往常規(guī)的教學(xué)方式，給孩子們一個(gè)容易理解的超常規(guī)方法，可是多位老師束手無(wú)策。經(jīng)過(guò)多次討論，我們打算采用“以問(wèn)引學(xué)”的方式推進(jìn)整節(jié)課的教與學(xué)。

1.“混沌”中升騰起第一個(gè)大問(wèn)號(hào)——為什么從左到右計(jì)算是錯(cuò)的呢？

課始，出示加減混合兩步計(jì)算式題，學(xué)生計(jì)算核對(duì)后歸納得出：加減混合，從左往右算。然后出示一組4×3+2=和2+4×3=，第一小題結(jié)算結(jié)果毫無(wú)疑問(wèn)是一樣的。第二小題出現(xiàn)了兩個(gè)不同的答案14和18，當(dāng)然14為多數(shù)，11為少數(shù)或者沒(méi)有，開(kāi)門見(jiàn)山地直接暴露矛盾。通過(guò)解讀，學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)一個(gè)算式怎么會(huì)有兩種不同的結(jié)果呢？原來(lái)是運(yùn)算順序不同引起的。這時(shí)，孩子們心中立刻升騰起一個(gè)大問(wèn)號(hào)，哪個(gè)是對(duì)的呢？到底先算加還是先算乘呢？在雙方的激烈辯論中，公說(shuō)公有理婆說(shuō)婆有理，課堂氣氛高漲。

2.“解惑”中升騰起第二個(gè)大問(wèn)號(hào)——為什么要規(guī)定乘法先算呢？

“乘法和加減法混合，先算乘法。”這個(gè)規(guī)定背后有兩層含義。對(duì)二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解與感受是比較難的，特別是第一層原因，難度非常大。而二年級(jí)孩子剛學(xué)習(xí)了乘法，對(duì)于第二層原因中乘法的快捷性是完全可以理解的，也就是這個(gè)規(guī)定所隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)是值得我們帶領(lǐng)孩子深入探究的。

我們?cè)噲D讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中，感受乘法其實(shí)就是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，先算乘法更快捷。力求讓學(xué)生在對(duì)比中感受，在對(duì)比中達(dá)到真理解。

教師出示情境操場(chǎng)運(yùn)動(dòng)圖（如右圖），老師按右圖中（1）-（2）-（3）-（4）的順序，分四步呈現(xiàn)完整圖畫，讓學(xué)生一步一步地列出算式：①2+4+4+4，到呈現(xiàn)完整圖后學(xué)生就自然優(yōu)化算式得到②4×3+2，學(xué)生自然選擇乘法來(lái)優(yōu)化連加的表達(dá)，從而感知乘法的快捷。這就高度認(rèn)同乘法要先算了，因?yàn)轶w驗(yàn)到了乘法是加法的簡(jiǎn)便計(jì)算。還可以怎么列呢？③2+4×3，此處質(zhì)疑②號(hào)算式乘法在前要先算，③號(hào)算式乘法在后，為什么也要先算呢？進(jìn)一步讓學(xué)生理解“乘法是加法的簡(jiǎn)便計(jì)算”，因此不管乘法在前還是在后都應(yīng)該先算乘法再算加法，由此理解乘法要先算，至此疑問(wèn)得到徹底解決。

此處的三個(gè)算式，在學(xué)生內(nèi)化高級(jí)運(yùn)算要先算的過(guò)程中舉足輕重，①號(hào)連加算式是最原始也是最本質(zhì)的做法，通過(guò)乘法進(jìn)行改良成為②號(hào)③號(hào)算式，于是出現(xiàn)了三個(gè)算式。在溝通過(guò)程中，讓每個(gè)算式都有了存在的價(jià)值與意義。溝通三個(gè)算式之間的關(guān)聯(lián)，都是表達(dá)了3個(gè)4和2相加，讓學(xué)生感悟到幾個(gè)相同加數(shù)的和寫成乘法先進(jìn)行計(jì)算，然后再和不同的加數(shù)相加，這樣計(jì)算顯得更快捷和方便，即現(xiàn)實(shí)的需要才讓人們規(guī)定要先算乘法后算加法，也就是這個(gè)規(guī)則是怎么來(lái)的。

3.“遷移”中升騰起第三個(gè)大問(wèn)號(hào)——乘減混合的算式也先算乘法嗎？

在主題環(huán)節(jié)結(jié)束時(shí)，教師適時(shí)小結(jié)，又給一次提問(wèn)機(jī)會(huì)：乘加一起要先算乘法的原因我們搞清楚了，學(xué)到這里你又想到什么？又想問(wèn)什么？學(xué)生能自然生成問(wèn)號(hào)：那乘減在一起呢？到底先算什么？于是課堂轉(zhuǎn)入第三個(gè)環(huán)節(jié)，自主遷移。

本節(jié)課教師根據(jù)“規(guī)定”背后的原因設(shè)計(jì)教學(xué)素材，讓學(xué)生在真實(shí)的生活情境中去感受乘法先算的便捷，從而接受規(guī)定性的知識(shí)，提高接受認(rèn)同度。