例談小學數學課堂中的數學化思想

錢張培 劉效麗 李娜

摘 要：數學的教學內容是由數學基礎知識、數學方法和數學思想組成的，將數學與生活聯系是教師上課時都會采用的一種教學方法。但在此過程中，數學課堂還是需要回歸它的本質。通過對數學化思想的解讀，結合教學案例分析數學課堂教學中不可缺少的數學化過程，讓學生在課堂上領會到數學的本質。

關鍵詞：水平數學化; 垂直數學化

中圖分類號：G623.5? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1006-3315（2020）1-063-002

新課程改革提倡關注學生的生活經驗，將數學與生活聯系越來越受到關注，但數學教育生活化只是數學學習的初級階段。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中對數學的定義是：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”同時在義務教育階段數學課程的設計中指出，充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質;在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。1想要達到這些目標，在數學課堂中只聯系生活是肯定不夠的，還需要讓學生學會數學化，讓數學教育走向數學化。

1.“數學化”思想含義

“數學化”思想是由荷蘭數學教育家弗賴登塔爾首次提出，并把它作為數學教學的主要原則之一。他認為用數學方法將實際材料組織起來，這在今天就叫做數學化。數學化是一個過程，只要現實世界在一系列因素的影響下不斷變化、延伸和深化，這個過程就會繼續下去。數學化的過程是一個漸進的過程，逐漸抽象化、形式化到現實世界的場景中。學生應當學習數學化，自然先在最低層次，對非數學的內容進行數學化，使之合乎數學精確性要求以保證數學的應用。接著還應進行到下一層次，至少能對數學內容進行局部組織。2

1.1水平數學化

在弗賴登塔爾的觀點中，把生活世界引向符號世界，把一個實際問題轉化為數學問題，這個過程就是水平數學化。在以水平數學化為主的數學教學活動中，主要運用“歸納推理”的思想來解決問題。學生需要經歷從具體直觀的實例到抽象概括數學知識的過程，在此過程中，他們需要應用相關的思維方法去分析、比較和總結上述實例的共同特點或本質屬性;也就是說，通過這樣的數學化的途徑來進行數學的教學，引導學生把生活經驗上升到數學知識，就能使他們不僅能了解、理解、掌握這些知識，而且能夠進行應用。3

例如，教師在教授“字母表示數”這節課時，可以利用撲克牌中的J、Q、K、A這幾張牌引入，讓學生進行聯想，在撲克牌中這幾個字母分別表示哪幾個數，由此引入新課“用字母表示數”。

1.2垂直數學化

在數學符號世界里，數學符號產生、變化和使用，而且是機械地、全方位地，這就是垂直數學化。在符號世界里，學生所經歷的則是有關數學的抽象。它既可以是對數學知識本身進行深化，也可以是對數學知識進行分類、整理等以此形成系統的數學知識體系。在以垂直數學化為主的數學教學活動中，主要運用“類比推理”的思想去解決問題。通過已有的知識、方法，把握新舊知識的異同，分析比較，構建新舊知識之間的橋梁，通過同化或順應的方法來豐富、發展學生的認知結構。

例如，在教授“乘法分配律”時，教師可以先通過兩個算式“3×6”和“3×5+3×1”，讓學生觀察這兩個等式有什么特點是否相等？若相等可以改寫成哪種算式，從而推出3×（5+1）=3×5+3×1，由此展開教學。

水平數學化和垂直數學化不能簡單地理解為從具體到一般或從一般到具體。如果“具體”指的是現實生活，從現實生活中抽象出數學符號，那么這個過程就是水平數學化;如果“具體”指的是數學模型，那么無論是歸納或是演繹，這個過程都是垂直數學化。4因此水平數學化和垂直數學化之間并沒有明確的界限，同時這也與學習者有關，個人的經歷或常識都有可能會影響其數學化，并不只局限于數學領域知識的運用。

2.教學案例——三角形內角和

2.1教學片斷

師：三角形內角和都是180度嗎？我們先來研究直角三角形，有什么辦法可以來驗證？

生：測量三角形的角。

師：同學們現在就用你們心中的想法來驗證一下，直角三角形的內角和是否等于180度？（同學們動手進行操作）

師：量完了嗎？同學們說說得到了什么結論？

生：一個角90度，另外兩個角分別是53度和38度，加起來是181度。

生：一個角是90度，另外兩個角分別是25度和65度，這個三角形內角和是180度。

師：有的同學量完得到180度，有的同學量完不是180度。老師提供一個方法，我這有一個直角三角形，180度是一個平角，我可以先畫一個平角，然后把角撕下來再拼一下。（請學生上來進行操作）

師：拼完之后你發現什么了？

生：三個角拼在一起和平角重合了，說明這個三角形內角和是180度。

師：剛才我們采用了量的方法又采用了拼的方法。我再提供一個方法，這有三個任意的直角三角形，先看右邊的這個三角形，看我怎么做的？

生：兩個完全一樣的直角三角形拼成了一個長方形。

師：長方形內角和是多少，能借助它來研究三角形內角和嗎？（同學們進行討論）

生：長方形四個角都是90度，它的內角和就是360度，其中一個直角三角形的內角和就是180度。

師：那我們就可以得出結論了，直角三角形內角和是180度。

2.2片斷評析

教師在教學過程中，通過幾個特殊的三角形內角和是180度提出問題，鼓勵學生能夠從生活中很常見的理所當然的事情中提出值得探索的數學問題，通過數學的現實性來實現數學化。教師之后再從簡單的直角三角形入手進行研究，讓學生自己進行動手操作探索，通過量、拼等方法，將直角三角形內角和的問題轉化成了研究平角和長方形，這是因為學生先前已經學過平角是180度、長方形內角和是360度這幾個知識點。其本質就是讓學生把自己已有的知識經驗，轉化為新的數學知識。

在此教學過程中，教師設計了三種相對簡單、不同的數學活動，引導學生用數學的思維思考和總結數學定理，以促進學生的認知發展。在這個過程中，學生們首先從動手操作開始，然后進行歸納，最后得出數學定理。這個簡單的教學過程讓學生的認知經歷了從實踐到概念和方法的不斷發展，它也可以視為是深度垂直數學化的結果，這是數學活動的理想目標。

3.“數學化”課堂教學策略

《義務教育課程標準（2011年版）》在總目標中就明確指出通過義務教育階段的數學學習，學生能體會數學知識之間、數學與生活之間的聯系，運用數學思維方式進行思考。數學是抽象的，這就需要通過“形象直觀”來幫助學生理解，但課堂最終還是需要回歸到抽象的數學上。可見數學教學在聯系生活、創設情境的同時，不能脫離數學本身，兩者不能厚此薄彼。

3.1創設情境抽象出數學問題

小學生的智力發展還未完善，因此數學化的學習，應當從最低的層次開始，即首先對非數學內容進行數學化，與小學生的實際情況相符合。小學生的思維很活躍，但同時最主要的一個問題就是他們的思考都是建立在已有經驗的基礎之上。因此，教師可以在學生開始學習時為學生創設情境，引發學生的思考。

在“字母表示數”的教學中，教師利用“撲克牌”引入課題，將枯燥的數學內容變得有意思起來，也更容易讓學生體會到數學知識其實離生活并不遙遠。在教學中，教師可以將教學內容與生動的學習內容相聯系，不論是呈現學生周圍的生活素材，還是呈現有關數學本身的素材，都要能引起學生的學習興趣，作為開啟學生數學思維的墊腳石。但同時需要注意，不能為了“情境”而造出一個與數學學習內容無關的情境。它必須結合數學知識，突出數學的本質，使學生真正感受到數學源于生活但又高于生活。

3.2將數學問題與情境剝離

一節好的數學課真正打動人心的，應該是數學本身的魅力和力量。張奠宙教授曾說：“數學教育自然是以‘數學內容為核心，數學課堂教學的優劣，自然應該以學生是否能學好‘數學為依歸。”5一節數學課堂少不了情境的設置，但在這之后課堂還是需要回歸到數學本身。

在“乘法分配律”的教學中，課堂可以直接圍繞數學問題展開，通過對多個數學算式的研究，探索其中的運算規律，揭示運算規律的本質。目前，小學數學課堂并不缺乏情境創設，而是缺乏從情境到數學問題研究時的數學化。把數學問題從生活中抽象出來，為數學教學創造了一個良好的起點，學生數學思維發展的一個重要過程是對數學知識的觀察、整理、辨析和聯系，這在數學活動中應得到充分的開展。教師隨著課堂的深入，不能再一味地與生活生硬的聯系，可以直接運用數學符號讓學生進行思考。

3.3回歸實踐中應用數學知識

義務教育數學課程是學生生活、工作、學習的重要基礎，從數學回到實踐是實現這一目標必不可少的過程。學生從物質對象到符號思維的數學化過程只是認知過程的一個方面;另一方面，更重要的是讓學生真正理解數學符號的含義。因為只有當抽象的知識回歸現實，數學才能實現自己的意義。不斷尋求數學符號本身的意義，才有可能激發學生認知動機，提高學生的認知水平。教師在數學課堂中不僅要讓學生學會從自己周圍的生活中提出數學問題，而且要結合現實生活中的實際問題，讓學生用數學知識和數學的思維方法對其進行分析和解答，使學生體驗到數學的價值。培養學生的數學意識，提高學生的實踐和應用能力，讓學生真正認識到學習數學是為了更好地生活。

小學數學學習對促進學生智力發展具有積極作用，數學知識本身在這一過程中尤為重要。在小學數學教學中，教師要注重運用科學的教學方法和理念，增加學生的數學知識，將“數學化”最大化作為數學課堂的主要目標，使學生在數學課堂上的學習更具針對性，體會到數學思考的樂趣，享受數學思維的每一分鐘，實質性的提高學生的數學思維能力。

參考文獻：

[1]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M]北京：北京師范大學出版社，2011

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M]陳昌平，唐瑞芬譯.上海：上海教育出版社，1995

[3]許天送.淺析數學化與數學教學活動的有效性[J]小學數學教育，2014（12）：27-28

[4]郭立軍，劉鳳偉.數學化對學生學習數學概念的影響——以“小數”概念學習為例[J]課程.教材.教法，2018，38（01）：91-96

[5]張奠宙，趙小平.當心“去數學化”[J]數學教學，2005（06）：50

[6]弗賴登塔爾.數學教育再探——在中國的講學[M].劉意竹，楊剛等譯.上海：上海教育出版社，1999

[7]馬茂年，俞昕.課堂教學回歸“數學化”的討論和分析——以高中“數學歸納法”的教學為例[J]數學教育學報，2013，22（03）：80-85

[8]車文勝.凸顯數學本質：走向小學數學課堂教學的“數學化”[J]課程教學研究，2018（08）：65-69

[9]張國祥.數學化與數學現實思想[J]數學教育學報，2005（01）：35-37

[10]劉祥偉.對弗賴登塔爾“數學化”的再認識[J]重慶師范學院學報，2001，18（2）：82-85

[11]白改平.水平與垂直數學化思想蘊涵的數學教學觀及其實施步驟[J]數學教育學報，2009，18（02）：25-27

[12]湯雪峰.數學化與小學數學教學[J]江蘇教育，2007（2）：39-40