線性需求下鐵路客運差別定價模型研究

朱穎婷，單杏花

（中國鐵道科學研究院集團有限公司 電子計算技術研究所，北京 100081）

我國鐵路客運旅客群體龐大，客流表現(xiàn)出明顯的季節(jié)性特征，往往在節(jié)假日等客運高峰期出現(xiàn)一票難求的現(xiàn)象，而在淡季時部分列車可能出現(xiàn)席位閑置的現(xiàn)象。在出發(fā)時間上，旅客也更喜歡選擇白天出發(fā)、白天到達的車次出行，一些開車時間在清晨或到達時間在深夜和凌晨的車次，客座率往往較低，客運淡季時尤為明顯。列車席位資源利用率不均，在一定程度上影響了鐵路運營部門的收益，降低了旅客出行的舒適度和便捷性。

不少學者將上述問題歸結于我國鐵路客運票價制度，認為調整票價策略可以改善鐵路旅客出行體驗，并提高鐵路運營部門的收益。票價調整的一個重要策略是差別定價，差別定價是指銷售商在銷售完全相同的產(chǎn)品或者有細微差別的同一產(chǎn)品不同款式時，對不同顧客制定不同價格的行為。它根據(jù)客戶選擇行為或者產(chǎn)品特征做市場細分[1]，對高支付意愿的顧客收取高價，對低支付意愿的顧客收取低價[2]。航空、酒店等行業(yè)通常根據(jù)用戶對企業(yè)的貢獻不同，將用戶劃分成不同用戶群，對不同用戶群采用不同的價格，以培養(yǎng)穩(wěn)定的用戶群，從而獲取額外利潤[3-5]。文獻[6]和[7]分別采用動態(tài)規(guī)劃Bell-man最優(yōu)化原理和最大凹向包絡定理研究了我國鐵路客運最優(yōu)票價策略；文獻[8]從季節(jié)和列車開行區(qū)域2方面分析了我國鐵路客運采用差別定價的可行性；文獻[9]～[13]討論了對我國鐵路客運做市場細分、進行差別定價的可行性。但是上述文獻僅僅論證了對我國鐵路客運進行差別定價的意義，均未對差別定價模型作量化研究分析。

國外針對鐵路客運的票價策略研究較為實用。在應用上，日本、德國等國家針對不同用戶采用靈活的動態(tài)票價折扣策略[14]。在理論研究上，Ngostino依據(jù)旅客出行可能考慮的各種因素（如列車開點、到達時間、出行距離）建立了消費者行為選擇模型，以此來確定鐵路客運票價策略[15]；Sidbari等人將時間以天為單位離散化，介紹了4種動態(tài)鐵路客運票價策略：動態(tài)規(guī)劃模型，短期策略，靜態(tài)票價啟發(fā)式策略，隨機動態(tài)啟發(fā)式策略[16]；Bharill根據(jù)印度鐵路公司一趟快速列車的3種席別在9周內的訂票數(shù)據(jù)，分析票價和需求間的關系，預測未來的訂票需求量及退票數(shù)，最終達到提高收益的目的[17]。

本文為提高席位資源利用率，以收益最大化為目標，研究了我國城際鐵路（只途經(jīng)2個車站）在客運淡季時的差別定價模型，確定旅客群的最優(yōu)細分數(shù)目，以及每個旅客群的最優(yōu)票價。

1 基于完全價格歧視策略的收益分析

1.1 模型假設

本文的模型基于以下假設：

（1）當旅客認為其得到的消費者剩余最大時，才購買相應時段的車票出行；

（2）每位旅客每次只能購買一張車票，旅客的購票需求為其最大支付意愿與票價的線性函數(shù)，且最大支付意愿服從均勻分布；

（3）在規(guī)定時間段內，不考慮旅客需求轉移的情況，如高支付意愿旅客購買低價車票等。

1.2 模型概述

令最大支付意愿w∈[0,b]，且w服從均勻分布，旅客購買價格為p的車票的需求概率為q(w,p)=max{0,(w–p)}，從而每位旅客為鐵路運營部門帶來的期望收益r(w,p)為：

根據(jù)經(jīng)濟學中對完全價格歧視的定義，若壟斷者能夠使相同產(chǎn)品對不同用戶采用不同的價格策略，就能夠獲取所有用戶的消費者剩余，從而獲得最大收益。若不考慮黃牛倒賣車票、旅客退票改簽等行為，根據(jù)式（1）可知，當p=w/2時，r(w,p)取得最大值w2/4，當在鐵路客運淡季運能充足時，能夠完全滿足旅客購票需求，則最大收益為：

但完全價格歧視是一種極端情況，鐵路客運運營部門需要知道每一位旅客的最大支付意愿，以此確定各時間段列車票價，這在現(xiàn)實中是不可能的。因此，可采用市場細分的策略，對不同子市場制定不同的票價，以此調整鐵路客流，將支付意愿較低的旅客吸引至客流閑時乘車出行，在提高鐵路客運資源利用率的基礎上，增加鐵路運營部門的收益，提升旅客出行的舒適度。

2 線性需求下鐵路客運差別定價模型

2.1 模型定義

假設某城際鐵路客運起止點（OD，Original–Destination）在一段時間內的所有旅客Ak可以被劃分成k個子市場，Ak={A1，A2，…，Ak}，旅客只能在經(jīng)過該OD的n趟車中選擇某1趟車出行，則1 ≤k≤n，子市場Ai對應票價為Pi（i=1，2，…，k），票價集合Pk={P1，P2，…，Pk}，對應的可售出席位數(shù)為Ck={C1，C2，…，Ck}。在某一段時期內，所有旅客能夠被細分，即每位旅客僅屬于一個子市場Ai，在購票時只能按照唯一票價Pi購票。若最大支付意愿為xim和xin（xim＜xin）的兩名旅客均屬于子市場Ai，那么當旅客a的最大支付意愿xi∈[xim，xin]時，旅客a也屬于子市場Ai。旅客的最大支付意愿xi服從均勻分布，最大支付意愿集合Xk={0，x1，…，xi，xi+1，…，xk–1，b}，且 0＜x1＜…＜xi＜xi+1＜…＜xk–1＜b，則各子市場定義為：

從旅客的角度分析，旅客出行時票價必定滿足如下2個條件：

最大支付意愿越小的旅客出行時所能接受的票價越小，且當票價小于最大支付意愿，即旅客的消費者剩余大于0時，旅客才會選擇乘車出行。

根據(jù)上述分析，得到子市場Ai的累計購票需求為：

Ai的收益為：

總收益R(k)為：

以收益最大化為目標，得到本文提出的鐵路客運差別定價策略優(yōu)化模型為：

其中，0＜P1＜…＜Pi＜Pi+1＜…＜Pk＜b；Pi≤xi（i=1，…，k）；xk+1=b；且Qi(Pi)≤Ci。

2.2 最優(yōu)差別定價分析

可證明目標函數(shù)R(k)為凹函數(shù)，下面重點分析淡季時最優(yōu)票價和市場細分數(shù)應該滿足的條件。

（1）在客運淡季，旅客購票需求明顯小于可售席位數(shù)，即無論如何細分及調整價格，都滿足Qi(Pi)≤Ci的約束，上述最優(yōu)化問題可被看作無約束最優(yōu)化問題，為了便于計算，令b=1，根據(jù)無約束優(yōu)化的一階條件可知：

顯然，Pi+1–Pi＞0，xi+1–xi＞0，根據(jù)式（7）和式（8）可得到：

（2）市場細分數(shù)目k越大，旅客群的劃分越平滑，將最優(yōu)解xi*和Pi*代入式（1），得到總收益為：

可證明R*(k)是關于市場細分數(shù)目k的凹函數(shù)。從經(jīng)濟學角度看，隨著k無限增大（k→∞），票價策略逐漸趨于完全價格歧視，鐵路運營部門可以獲得每個旅客的全部消費剩余，進而獲得最大收益R*。但完全價格歧視是一種極端現(xiàn)象，現(xiàn)實中很少發(fā)生。由于鐵路客運用戶群龐大，鐵路運營部門不可能對每一位旅客制定完全有差別的票價，且鐵路部門在我國還承擔著社會公益性角色，不可能采取完全價格歧視的定價策略。我們觀察k值增大時，R*(k)及其與R*比值的變化規(guī)律，如表1所示。

表1 R* (k)關于k值的變化規(guī)律列表

從表1可以看出，當k=1時，代表采用固定票價的策略，此時收益最小，僅為完全價格歧視下收益的88.9%；當k=3時，R*(k)/R*達到98%；當k=5時，R*(k)/R*已經(jīng)達到99.2%；隨著k繼續(xù)增大，R*(k)/R*增大的速率降低，R*(k)/R*趨于100%。

因此，客運淡季時市場細分數(shù)目和旅客人數(shù)多少無關。進行差別定價時，從實際應用的易操作性看，將旅客劃分為3～5個子用戶群即可。根據(jù)式（9）和式（10）可以得到市場細分的最優(yōu)支付意愿劃分范圍，以及各個子用戶群相應的票價。在淡季時采用差別定價策略更容易估計其期望收益，降低了實施差別策略的風險性。

3 結束語

本文假設旅客需求和最大支付意愿為線性關系，研究了城際列車淡季時的差別定價模型，該模型可同時求解最優(yōu)票價等級個數(shù)及各級最優(yōu)票價，對鐵路運營部門實行差別票價策略具有一定的理論指導意義。其中的難點在于分析旅客的最大支付意愿分布，以及旅客需求在何種情況下發(fā)生轉移，這需要開展大量科學、合理的鐵路旅客出行需求調查，分析旅客出行需求偏好，從而進一步優(yōu)化鐵路客運差別票價模型。