線性代數在幾何研究中的應用探究

劉明昊 朱莉媛 王曉曼 李之健

摘? 要：本文對目前高校幾何課程的教學和研究與線性代數理論之間的聯系進行了分析。在多年對代數與幾何學習研究的基礎上，探究了線性代數的理論如何給幾何問題的研究帶來便利，對如何改變線性代數與幾何學課堂教學的現狀和提高教學效果有一定的啟發，對提高學生對代數與幾何的理解與關聯以及培養高校學生創新意識和發散性思維有著非常重要的意義。

關鍵詞：線性代數? 矩陣? 解析幾何? 高等幾何? 微分流形

中圖分類號：0151? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2020）09（c）-0215-03

Abstract： The authors analyze the relationship between the current teaching and research of geometry courses in colleges and the theory of linear algebra. Based on years of research and learning of algebra and geometry， we have explored how the theory of linear algebra can bring convenience to the study of geometric problems. It has some inspirations on how to change the current status of classroom teaching on linear algebra and geometry and improve teaching effect. It is of great significance for undergraduates to cultivate the innovative consciousness and divergent thinking.

Key Words： Linear algebra; Matrix; Analytic Geometry; Higher geometry; Differential manifold

目前，線性代數是各大高校理工科、經濟學等專業的大學生需要學習的重要公共基礎課程之一。它的基本知識和理論在解決我們生活中的問題，特別是線性問題時，有很多重要的應用。作為大學數學的基礎課程之一，線性代數的傳統教學模式是從抽象的定義出發，給出定理和推論的證明，然后使用定理的結論去做形式計算與推導。由于它的概念和定理具有高度抽象性，使得很多同學只停留在邏輯推理和形式計算能力層面的提升中，對概念和知識點的整體性把握不強，在學習中猶如盲人摸象，容易產生困惑迷茫，從而逐漸喪失學習的興趣和動力;無法去深入了解線性代數中概念和定理的淵源，也更不能體驗和感受它抽象的美。

為了改變這種教學弊端，很多高校教師在線性代數教學中嘗試采用幾何直觀化教學方法。因此，線性代數的基本概念及定理與幾何直觀之間的聯系也逐漸成為諸多高校教師教學研究的焦點。這種方法在一定程度上確實有意義，直觀模型便于學生對知識點的理解，從而既提高了教學效果，也使學生更好地把握住知識點。但是，對一門課程的學習不能僅僅滿足于學懂，學習知識的最高層次應該是使用知識。因此，在課堂教學中注重線性代數的應用是非常必要的。這和高校培養人才的目標也是一致的，高校培養大學生的目的是為社會提供服務。盡管目前社會對人才的需求具有多樣性，但無論是通才教育還是專業型人才培養，人才最終都要面向社會，應用所學知識為社會服務。要把知識變成源泉和力量，就要不斷地去實踐，去應用所學的知識，在應用中嘗試、突破和創新。

通過幾何專業課程的學習研究，我們注意到線性代數的理論已經滲入幾何學中的每個角落。事實上，代數和幾何兩個學科間的淵源很深，就如拉格朗日所說：“只要代數和幾何沿著各自的途徑去發展，它們的進展將是緩慢的，它們的應用也是很有限的。但是，當這兩門學科結成伴侶，它們都將從對方身上獲得新鮮的活力，因此，以快速的步伐猛進，趨于完美。”隨著知識應用意識的增強，學科與學科之間進行聯系教學勢必成為當前教學研究的熱點。下面我們就對幾何學中如何運用線性代數的理論，作幾點簡單的探索與思考。

1? 線性代數在幾何中的應用

1.1 線性代數是幾何教材中常用的語言工具

我們在學習線性代數抽象概念時喜歡引入幾何直觀化解釋，這樣可以有助于深刻理解線性代數中的抽象概念。反過來，掌握了線性代數的知識，對我們后面大學高年級和研究生幾何課程的學習也是很有幫助。事實上，二者相輔相成，幾何學也離不開代數學。線性代數也是幾何教材里常用的語言工具，幾何學里的很多概念的描述離不開線性代數。通過線性代數的基本概念和理論可以很好地去理解掌握幾何中很抽象生澀的概念。

例如，微分流形上的一點的切空間和余切空間都是向量空間，流形之間光滑映射的微分就是從一個向量空間到另一個向量空間的線性映射;還有，像黎曼流形（M，g）上的黎曼度量張量g，其實是以光滑依賴于流形每點的方式讓每點的切空間成為歐式向量空間，就可以把它理解成光滑依賴于流形每點的切空間上的一個內積，選定好局部坐標系后就看成光滑且正定的一個矩陣值函數。如果將光滑依賴改為解析依賴，對應的正定矩陣還滿足Hermit矩陣條件時，對應的流形我們就稱為Hermit流形。再如，解析幾何中的仿射變換、不同坐標系之間的坐標變換關系式和正交變換都是一些可逆的線性變換;射影平面上的射影變換在齊次坐標下也是一個非退化的線性變換;射影平面上二階曲線的代數定義就是線性代數中我們常見的一個三元的二次型。在解析幾何、高等幾何、微分流形和黎曼幾何等幾何課程里還有許多像這些離不開線性代數語言的概念。可見，熟練掌握線性代數的概念和理論對幾何課程中的幾何概念的深刻理解很有益處。

1.2 線性代數可以用來簡化幾何問題

眾所周知，線性代數里的很多概念都有它的幾何背景，比如二階行列式可以理解成平行四邊形的有向面積，三階行列式可以看成三維歐式空間中平行六面體的有向體積等。因此，幾何問題自然就成為線性代數理論得以充分發揮的用武之地。適當地運用線性代數的理論可以使得幾何問題化繁為簡。

例如，線性代數中的矩陣理論常常和幾何中局部化方法能結合起來處理幾何問題。由于微分流形的局部微分同胚于歐式空間的局部，局部化方法是微分幾何和微分流形學習中我們常常用到技巧。應用正定矩陣和單位矩陣的合同關系，就可以在微分流形上每點的領域內選取恰當的局部坐標系，使得黎曼度量在該點處為單位矩陣，這樣的局部坐標系就是所謂的自然標架，利用自然標架使得黎曼流形上很多與局部坐標系選取無關的幾何量計算變得簡單。還有，在射影幾何中，我們常常關心的點共線和線共點問題，可以通過向量的線性相關性去解釋。在射影平面上三點的齊次坐標構成的向量組線性相關時，這三點就是共線關系;同理，當三條直線的齊次線坐標構成的向量組線性相關時，這三條直線一定相交于同一個點。利用射影變換在射影坐標系下的系數矩陣的特征值和特征向量，我們可以很容易求出射影變換的不變元素。射影平面上的二階曲線的定義和二次型對應起來，利用二次型的標準型理論，從而得到它的退化就等價于它所對應的系數行列式為零。再比如，利用二次型的標準型理論，可以把解析幾何中二次曲線和二次曲面的方程進行分類化簡;通過坐標系的變換，我們常常會將二次曲線和二次曲面變成標準方程去處理，從而使得相關的復雜問題計算起來簡化。特別是，在解析幾何中二次曲線方程中的不變量常常寫成矩陣的跡和行列式，就會讓我們便于記憶。

正如我國著名數學家華羅庚所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”許多幾何中的問題在線性代數的理論照射下便清晰透徹了，變得不再那么晦澀，不再那么難于下手。

1.3 線性代數也是幾何研究中常見的技巧

線性代數的理論和方法不僅僅只是用來化簡幾何中的問題，它在幾何專業的學術論文中也常常看到它的身影。下面我們來看兩個巧妙地使用矩陣不等式解決幾何問題例子。

第二個例子是曹懷東在1992年證明凱勒里奇流的Harnack不等式的論文[12]里的引理4.1：設A、B和C是n階實矩陣，滿足矩陣是對稱且半正定的，則。（注：引理4.1事實上是在莫毅明的論文中證明過。本文使用的表述和證明是哈密爾頓在多年前給出的）。利用該不等式可以證明文中一個很重要的不等式：，從而拋物方程的最大值原理得以使用，最終完成主要定理的證明。事實上，論文中在引理4.1下面也聲明了同樣的矩陣不等式已經多次在幾何專業論文中使用過。

可見，線性代數的方法和理論對幾何學家在做學術研究時也是一個很得心應手的工具。正如法國數學家達朗貝爾所說：“代數學是慷慨大方的，它給予人的往往比人們對它所要求的還要多。”

2? 結語

關注交叉學科之間如何聯系與影響的教學方式越來越成為當今大學數學教學研究的重點。線性代數課堂教學中運用幾何直觀化教學方法是目前高校教學中常見的技巧。但是，如果我們多從幾何學的教學與研究中去追溯線性代數理論的應用，研究線性代數在幾何學中的應用技巧，更能具體地反映代數學與幾何學的歷史淵源。一方面，我們可以借助幾何直觀的概念和方法來解決線性代數的相關問題;另一方面，也可以用線性代數的理論去解決幾何研究中的一些問題。將教學的重點放在數學知識的運用上，可以彌補高校數學傳統教學模式的不足，培養學生的發散性思維和創新能力。希望本文能對今后線性代數與幾何學課程的教學模式改革及研究能起到一個拋磚引玉的作用。

參考文獻

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