高中數學解題中轉化思想的應用研究

劉海濤

(新疆哈密第十三中學 839000)

轉化思想是重要的解題策略，能夠化未知為已知，將復雜知識轉化為簡單的知識，有利于拓寬學生的思維.高考中大部分的題目都用到了轉化思想，特別最后的幾個大題中，考查的是學生對數學知識的綜合運用能力.因此在高中數學教學中，教師要提高學生的轉化能力，促進學生將轉化思想運用到解題中，培養學生自主運用轉化思想的能力和意識，從而提高學生的解題效率.

一、代數與幾何圖形間的轉化

高中數學知識大部分的內容都需要用到數形結合思想，解答代數問題時需要學生具有較強的邏輯思考和抽象思維能力，解答圖形問題時需要學生具有較強的圖形理解能力，高考中考查的通常是這兩者的結合，用圖形的方式簡化復雜的代數問題，找出圖形中存在的數量關系，能起到快速解題的作用.日常教學活動中，教師要提高學生數形結合思想的運用能力，使學生能正確使用轉化思想，迅速找到解題的突破口.比如解答函數的單調性與最大最小值的問題中，通過觀察圖象的方法，直觀地概括出函數的增減性質，完成直觀到抽象的轉變.高中生已經在初中階段學習了一次函數、二次函數、反比例函數的圖象，教師可畫出幾個函數的圖象，讓學生觀察在某一個區間函數圖象的變化規律，之后引導學生畫出函數y=x2的圖象，讓學生判斷其中某一個區間為遞增函數還是遞減函數，解題時可設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于區間上任意兩點x1及x2，當x1f(x2)，則稱函數f(x)在區間I上是單調遞減的.當學生掌握了函數單調性的知識后，為后面學習函數的其他性質奠定了基礎，這個過程中有效地滲透了數形結合的思想，那么在遇到判斷函數單調性的問題時可運用圖象法來解決.

二、逆向思維的轉變

很多高中數學題目從正面的角度很難快速解答，而且解題過程復雜容易混亂，如果從反方向入手，那么問題就會變得簡單化，能有效節省解題的時間.而逆向思維是高中生比較缺乏的，他們習慣了遵循一般的解題形式，往往思考良久依然不能給出答案.因此高中教師要發展學生的逆向思維，將這種正向與反向的轉化滲透到學生的思維中，提升學生的轉化能力.逆向思維在一些證明題和概率的解答中比較常見.比如遇到求至多或者至少類型的題目時，運用逆向思維能將問題簡單化.例題：某商場的有獎銷售中， 購買滿100元商品得到1張獎券，多購多得，1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.先求出三個獎項的概率，A：1/1000，B：1/100，C:1/20，設一張獎券不中特等獎且不中一等獎的事件為N，則事件N與“1張獎券中特等獎或者中一等獎”為對立事件，P(N)=1-P(A∪B)=1-(1/1000+1/100)=989/1000.通過找對立事件的方式就能得出最后的答案.逆向思維的方式雖然簡便，但也容易出錯，需要學生明確事件的互斥與對立關系，因此在解題過程中，教師要引導學生靈活地使用逆向思維，確保解題的準確性.

三、復雜到簡單的等價轉化

一般高中數學題目中會出現很多條件，而一些條件是用不到的，容易混淆學生的視線，給他們造成解題的誤區，教學中教師要引導學生掌握正確篩選出有用條件的能力，即進行復雜到簡單的轉化，在不改變原本題意的前提下進行等價轉化，這樣整個題目就會清晰明了，但要注意的是轉換后的語句必須是互為充分必要條件，這樣的轉換才是有效的，否則就會出現錯誤的解題思路.例如解不等式(2x2-5x-1)/(x2-3x+2)>1,解題過程中首先轉化成右端為0的分式不等式，然后再等價變形為整式不等式來求解，[(2x2-5x-1)/(x2-3x+2)]-1>0,通分整理得(x2-2x-3)/(x2-3x+2)>0，等價變形為(x2-2x-3)(x2-3x+2)>0即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0，再結合數軸標根法可得所求不等式的解集為：{x|x<-1或13}.這個題目檢查的是學生對一般分式不等式的轉化能力，解這類題目的基本思路是將二次項系數變為正的，確定不等式對應方程根的情況，結合圖象寫出不等式的解集，完成分式不等式到整式不等式的轉化，既鍛煉了學生的等價轉化思想，又滲透了數形結合思想.

四、特殊值法的運用

解答高中數學題的過程中，通常會出現這樣的現象：采取直接的方式會使得解題過程更加的復雜，而從特殊入手，就能簡化解題步驟，并且能快速找到答案，而運用特例解題的過程就用到了一般向特殊的轉化思想，這種方式運用到選擇題中能節省作答的時間，將答案直接代入到題目中求解，看是否會與原來的題意相背離.已知y=log2(2-ax)在[0，1]上為減函數，則a的取值范圍為( ).A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2，+∞).解題思路：因為a>0且a≠1，則由函數為減函數的形式和確定a的范圍，排除干擾項，運用取特殊值的方式找到正確的選項，由a>1可排除A和C，再將a=2代入函數解析式的log2(2-2x)定義域為(-∞，1)，不滿足在[0,1]上有定義的題設條件，可排除D，答案選B.

轉化思想的運用不僅能提升高中生解答數學問題的速度，還讓學生掌握了各種解題技巧，強化了學生對數學知識的靈活運用能力，有效地幫助學生構建了數學意識，進而提高了他們的數學綜合能力.