淺析結構隨機性分析常用方法

(華南理工大學 廣東 廣州 510640)

一、引言

由于結構的設計、施工和使用過程中存在大量的隨機不確定性因素，因此需要采用結構可靠度理論研究結構的可靠性問題。結構的可靠性是指結構在規定時間內、規定條件下完成預定功能的能力。結構的安全性、適用性和耐久性構成了結構的可靠性。而結構在規定時間內、規定條件下完成預定功能的概率，稱為結構的可靠度。與結構可靠度密切相關的是結構的可靠指標和失效概率。下文將闡述在靜力可靠度范圍內計算結構構件可靠指標β和失效概率pf的常用方法：一次二階矩法[1]、高次高階矩法[1-3]、響應面法[1,4-5]以及蒙特卡洛模擬[1]。

二、常用可靠度分析方法

(一)一次二階矩法

1.中心點法

將非線性功能函數Z在均值點μX展開成Taylor級數并取至一次項，并用隨機向量X各分量的均值和方差來計算功能函數Z的前二階矩，進而求解結構的可靠指標β的方法。

存在如下缺點：1)未考慮隨機變量的概率分布；2)當隨機變量不都服從正態分布或不互相獨立時，中心點法計算的可靠指標和失效概率是不準確的；3)由于在Taylor展開時忽略了高階項，功能函數的非線性程度越高，可靠指標的計算精度越低；4)最致命的缺點是同一極限狀態方程的不同表達形式可得到不同的可靠指標，其原因是均值點μX不在極限狀態面上，且在Taylor展開時忽略了高階項，導致用線性化功能函數擬合非線性程度不同的真實功能函數時的精度不同。

2.驗算點法

將功能函數Z的線性化Taylor展開點選在失效面上，并通過迭代計算且不斷更新驗算點位置，逐步求得標準化空間中原點到極限狀態面的最短距離，也就是可靠指標β。

驗算點法考慮了隨機變量的概率分布及其相關性：1)當隨機變量為非正態隨機變量時，可采用JC法或映射變換法進行當量正態化處理；2)當隨機變量相關時，可采用Rosenblatt變換法、正交變換法或廣義隨機空間分析法處理隨機變量的相關性；3)對于相關非正態隨機變量的情況，可采用Nataf變換考慮變量正態化引起的變量相關性的改變。

(二)高次高階矩法

改進的一次二階矩法將結構功能函數在驗算點處展開成Taylor級數并取至一次項，以標準正態空間內坐標原點到極限狀態曲面的最短距離作為結構可靠指標，所對應的是在驗算點處線性化的極限狀態方程(或超切平面)的可靠指標，它沒有反映極限狀態曲面的凹凸性，在極限狀態方程的非線性程度較高時，誤差較大。

針對一次二階矩法的問題，二次二階矩法以一次二階矩法為基礎，對一次二階矩法的計算結果乘一個考慮功能函數二次非線性影響的系數，對其進行二次修正。二次二階矩法通過計算非線性功能函數的二階導數考慮極限狀態曲面在驗算點附近的凹向、曲率等非線性性質，在多數情況下比一次二階矩法有著更好的計算精度。

無論一次二階矩法還是二次二階矩法，當隨機變量分布的概型正確時，才能保證計算結果精度滿足要求，相較于一次二階矩法，二次二階矩法雖然利用數學逼近的原則提高了計算的精度，然而實際工程遇到的問題往往與二次二階矩的基本假定相違背，而且實際上我們遇到的問題可能并不符合數學模型，而是服從某種未知的分布或是由幾種分布組合而成，此時，一次二階矩法和二次二階矩法的計算精度不能得到保證。二次四階矩法和一次二階矩法、二次二階矩法有本質的不同，它的基本思想是從信息論的觀點出發，是一種精度較高的可靠度分析方法。二次四階矩法的核心思想是最大熵原理，即最小偏見的概率分布使熵在已知信息附加條件下最大。

(三)響應面法

對于某些復雜結構系統，隨機變量的輸入與輸出量之間的關系是高度非線性，甚至不存在明確的顯式解析表達式，而是隱式函數關系時，就不能采用上述一次二階矩和高次高階矩方法。若直接采用蒙特卡洛模擬計算結構失效概率，計算工作量則非常大。此時可采用響應面法，即通過輸入隨機變量X的值，經過結構有限元數值模擬或試驗得出結構響應Y，將得到的一系列的點(XiYi)擬合成函數曲線，所得到的函數曲線即為響應面函數，用該響應面函數近似代替真實的功能函數，進而可計算結構的可靠指標和失效概率。響應面法可采用多項式作為響應面函數[1]，也可采用人工神經網絡、支持向量機、Kriging模型等作為響應面函數。

(四)蒙特卡洛法

對影響結構可靠度的隨機變量進行大批隨機抽樣，然后將這些抽樣值一組一組地代入結構功能函數中，統計出令結構失效的樣本數目，從而求得結構失效的頻率。由頻率的穩定性可知，當隨機抽樣數目足夠大時，該頻率將依概率1收斂于失效概率，這就是蒙特卡洛法(Monte Carlo)的理論基礎。

MC法求解結構可靠度的優點是回避了結構可靠度分析中的數學困難，并且不受隨機變量分布形式和功能函數形式的影響，原理簡單，在抽取的樣本數足夠多時其計算結果可以認為是精確的，并因此常被用于各種近似方法計算結果的校核。該法的缺點是計算量大，當缺乏功能函數的顯式表達式而需借助數值模擬試驗(如借助有限元計算等)時，計算量大的缺點尤為突出，這大大限制了其實際應用的范圍和程度。

三、結論

本文對目前可靠度分析領域內發展較為成熟的幾種常用分析方法進行了闡述，分析了一次二階矩法、高次高階矩法、響應面法以及蒙特卡洛模擬法的適用條件及其優缺點，為進一步應用和改進這些方法進行結構隨機性分析提供基礎。