關注數學思考讓運籌優化思想落地生根

蘭子君執教 張麗穎設計整理

議課人員：張麗穎名師工作室 蘭子君 郭海燕 道盛琴 馮玉嬌 秦桂霞 王麗霞 田 璐 王麗媛 劉 麗 高 燕

指導專家：秦皇島市海港區教師發展中心 張麗穎

課堂展示

一、游戲引入（說反話游戲）

師:同學們喜歡玩游戲嗎？今天我們玩個“說反話”的游戲。

（師生輕松愉快地玩起游戲，忽然教師故意大聲地說：“我是男的。”）

生:（憋了半天）我是女的。（笑聲四起。）

師:誰愿意再來和老師比試比試？（氣氛開始活躍，教師有意找了個女生。）

師:我越長越漂亮。

生：（很無奈地）我越長越丑陋。

師:剛才同學們都笑了，但笑過以后要有思考。你們有沒有發現，剛才的游戲在玩的過程中有一個人始終占著便宜。是誰呀？（生齊喊：老師！）

師:剛才都是老師先說，這樣很容易把你們逼到不好回答的境地，想不想反一下？

（學生紛紛站起來比拼，屢屢讓老師陷入尷尬境地，學生已相當興奮，完全沒有了課前的緊張。）

師:看來呀，在玩游戲的時候，有時先說和后說結果會截然不同。我們再來玩個游戲，好嗎？

二、探究策略（撲克牌比大小）

1.明確規則。

兩組牌，一組是紅桃9、7、4，一組是黑桃8、5、3，紅桃比黑桃相應的牌稍大些（把牌貼到黑板上）。游戲規則：兩人各選一組牌；每人每次出一張牌，各出三次，每張牌只能出一次，誰出的牌點數大誰贏；第一場誰先出，后面兩場還是誰先出；三局兩勝。

2.獲勝——靠實力。

師:兩組牌，讓你們先選擇，你們選哪組？

（學生異口同聲：“9、7、4。”教師追問：“為什么？”學生回答：“第一組點數大，獲勝機會大。”）

師:果真這樣嗎？我們試一試。

（教師出8、5、3，學生出9、7、4，學生3∶0獲勝。）

師:看來選擇大牌確實占優勢。

3.獲勝——靠對策。

（1）組內比試討論。

師:這次我先選牌，我選紅色的三張大牌，你們拿黑色的三張小牌，還有辦法獲勝嗎？怎樣出牌，才能獲勝？（學生獨立思考。）

師:已經想到小牌獲勝的同學拿小牌，還沒想到的同學拿大牌，同桌之間過過招，在過招的同時互相討論、研究。（同桌比試，思考討論。）

（2）現場比試啟思。

師:現在，哪個同學能夠自信地說“我拿小牌也能打敗對手”，請舉手！請同學們邊見證邊思考：他用什么辦法以弱勝強？

（教師故意設陷阱：“你拿小牌，請你先出，好吧？”學生不中計：“不，請老師先出。”教師出9，學生出3。）

師:第一局你就輸給我了，請問你現在要不要投降？下面的同學有誰知道，他為什么不投降？（學生紛紛舉手發言，表示后面8 比7 大，5 比4 大，三局兩勝。）

師:我明白了，他第一局輸給老師是有目的的，目的是什么？

生:用他最小的牌輸給你最大的牌。之后，他剩下的兩張牌都比你大，就能贏兩局。

師:我拿大牌怎么就輸啦，我不服，我還要跟你再比一場。（教師出4，學生出5；教師出9，學生出3；教師出7，學生出8。學生2∶1獲勝。）

師:明白了，他這叫用最小的代價換取最大的利益。看起來，選擇小牌也能戰勝對手。在對抗競爭中開動腦筋尋求最優方法以戰勝對手，這就是對策！剛才你們用實力弱的小牌戰勝老師，靠的就是對策！

（3）探究以弱制強。

師：剛才以弱勝強的對策中哪一局最為關鍵？為什么這一局最關鍵？最關鍵的這一局厲害在哪兒？（學生一致認為3 對9 最關鍵，只要把大牌的9對掉了，就能2∶1獲勝。）

師：我明白了。當我出9 的時候，你們無論出幾都是輸，所以干脆犧牲最小的3，浪費掉我最厲害的9，用最小的代價損失掉我最強的力量，用暫時的失利換取后兩局的勝利！這就是古人常說的“以弱制強”！

（4）探究后發制人。

師:你們會全盤考慮、以弱制強，就一定能取得整體勝利嗎？

生:我知道，我知道，必須老師先出牌！

師:如果大牌不先出牌，小牌還能以弱勝強嗎？（學生紛紛搖頭，表示小牌先出的話，大牌每一局都可以出一張大過小牌的，大牌肯定完勝。）

師:必須想法讓對手先出牌，然后在知己知彼的情況下，后發制人，取得整體勝利！

（5）探究實力相近。

師:有了知己知彼、后發制人、以弱制強，弱者就一定能取得勝利嗎？如果老師把小的這組牌繼續調小，比如把8、5、3 換成6、5、3，還是大牌先出，小牌還能勝嗎？為什么？（學生悟到只有一張6 大過對方4，無法取勝。）

師:如果非要把小牌調小，你們覺得可以調小幾張？調哪幾張？（學生積極思考，交流并達成共識。明確只能把3 調小，另兩張必須保證大于對方的4和7。）

師:通過剛才的思考，你們覺得要想以弱勝強，除了后發制人、以弱制強這兩招外，弱者還必須滿足什么條件？（學生悟到小牌不能太弱，至少有兩張大于大牌。這就是“實力相近”。）

三、解讀經典

1.引導審題，理解問題解決的條件。

師：老師特別佩服你們，在玩牌游戲中不知不覺就研究了一門重要的學問——對策問題。剛才用小牌戰勝大牌就是對策問題的一種——以弱勝強。對策思想在我國源遠流長，著名的歷史故事《田忌賽馬》就運用了這一思想。下面就讓我們穿越時空，回到二千多年前的戰國時期，去看一看古人是如何運用這一對策的，好嗎？（課件出示《田忌賽馬》課文，學生獨立閱讀。）

師:根據課文提供的信息，你們能用數學符號把雙方的賽馬按照戰力從強到弱進行排序嗎？試一試。（學生獨立嘗試，然后交流。）

生1:齊上>田上>齊中>田中>齊下>田下。

生2:A>a>B>b>C>c。

師:大小寫的字母分別表示什么？A>a，B>b，C>c，是根據什么知道的？a>B，b>C，又是根據什么知道的？（學生結合課文內容分析。）

師:分析問題首先必須明確并理解條件。齊王和田忌六匹馬的戰力排列與我們六張撲克牌的實力排列是一樣的。實力相差不太懸殊，這是孫臏后面決策的前提條件。

2.類比溝通，理解賽馬策略。

師:第二次比賽孫臏戰勝齊王的對策和你們用小牌戰勝大牌的對策有什么相通之處？（因為有前面的閱讀討論，學生很順利做出分析：都是在實力相近的情況下，采用了后發制人、以弱制強的策略，從而取勝。）

3.猜想驗證說理，探究對策是否唯一。

師:假設驕傲的齊王一直按上、中、下的順序出馬，孫臏想到的這種策略是不是唯一能贏齊王的對策呢？（出示對陣表格）

第一場第二場第三場齊王田忌A C B A C B勝負——田忌2勝1負

（學生意見不一。）

師:看來取勝對策是否唯一，大家有不同看法。那么田忌總共有多少種可采用的對策呢？你是怎么想的？（學生出現兩種意見，9種和6種。）

師:到底是9 種還是6 種，只要把各種對策一一寫出來就知道了。聯想搭配知識中的有序思考策略，認真填一填。（學生獨立完成課本中表格，然后交流。課件完成填表。）

4.深度思考，體悟博弈。

師:如果齊王按上、中、下的順序出馬，田忌共有6種應對策略，這6種應對策略中只有一種能贏齊王。也就是說田忌獲勝的可能性只有六分之一。為什么獲勝的可能性很小，孫臏卻胸有成竹呢？

生:因為齊王正在得意忘形之際，以為自己實力強必勝，還是按上中下的順序出馬。

師:這就叫知己知彼。就好比玩“石頭、剪刀、布”，田忌看到了對方出什么才出手。（學生笑了起來。）

師：問題又來了——如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎？贏的可能性有多大呢？我們來試一試。（將上面表格的第一行改成C、B、A，根據學生回答完成填表。）

師:齊王按下、中、上的順序出馬，田忌按方案3出馬可以獲勝，獲勝的可能性還是——

生（齊）:六分之一。

師:像這樣在了解對方出馬順序的前提下，按順序列出自己可以采用的所有方案再一一進行分析，從中找到能夠戰勝對手的最合理行為方案也就是最優方案的過程，就是優化！沏茶問題我們研究的是程序的優化，烙餅問題我們研究的是空間的優化，而今天的田忌賽馬我們研究的是出馬順序的優化。數學學習就是不斷尋找解決問題方法，并努力尋求最優解決方法的過程。

四、應用拓展

1.拍球比賽。

（教材107頁第3題）學生獨立思考后交流。

2.游戲——取撲克。

游戲說明：10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取2 張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝。請仔細思考必贏策略，并用你喜歡的方式表示出來。

改變游戲規則：10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取1 張或2 張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝。（先獨立思考，再同桌過招，最后學生打擂，啟發思考，發現規律。）

議課現場

議題一：《田忌賽馬》這節課的教學內涵是什么？

張麗穎：要上好課，首先必須把握教學內容的數學本質。今天我們就子君老師《田忌賽馬》一課，談談這節課的教學內涵是什么？

蘭子君：《田忌賽馬—對策問題》是人教版小學數學四年級上冊第八單元數學廣角的第三課時。本單元共編排了3個例題。例1沏茶問題，思考怎樣合理安排沏茶的各個環節才能讓客人盡快喝上茶，其中“合理”“省時”是優化沏茶各程序的思考角度；例2 烙餅問題，在探究烙3 張餅怎樣省時的基礎上，探索烙更多張餅的最優方法和策略，探究其中的規律且明確道理；本課時“田忌賽馬”是歷史上“以弱勝強”的經典案例，它是在學生學習數學廣角“搭配”的基礎上進行教學的，意在引導學生通過簡單的事例，借助有序思考尋找多種解決問題的方案，之后探尋最佳策略，體會運籌優化思想在解決實際問題中的作用。

王麗霞：本單元的副標題“優化”，本是各行各業的共同追求，在數學中“優化”也具有非常豐富的含義，本單元集中體現運籌學的“最優化”思想。3 個例題各有側重，其中例1 沏茶問題、例2 烙餅問題運籌內涵屬于規劃論。例3“田忌賽馬”以弱勝強通常被認為是博弈論問題。3 個例題的核心目標都是讓學生感受并初步理解運籌優化思想。運籌是優化的前提，運籌的本質是各種數量關系和空間形式的分析、梳理、統籌與推理建模的過程。因此，本單元的教學對于培養學生的推理能力與模型思想也是極為有益的。

王麗媛：“數學教育既要使學生掌握現代生活和學習所需的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的作用。”這樣的描述明確了我們作為數學教師的任務，也指出了數學教學的本質。《田忌賽馬》學習后要給學生留下些什么呢？是從不同角度分析問題、周密思考的思維品質，是在所有可能采取的策略中甄選最優策略的能力，是對運籌優化思想的感悟和理解。

議題二：如何讓《田忌賽馬》這節課上得既有意義又有意思？

張麗穎：關于《田忌賽馬》，歷來有兩種設計：一是遵循教材，由田忌賽馬的故事（大多是視頻）引入，然后圍繞“田忌采用的策略是否是唯一能贏齊王的策略”這一核心問題展開探究，分析策略，體會優化思想，有味道但容易陷入單薄枯燥；二是創設撲克牌比大小的游戲情境，然后圍繞“小牌如何戰勝大牌”，讓學生在玩中尋找對策，體會優化，有意思但容易陷入膚淺熱鬧。那么，如何讓這節課既有意義又有意思呢？

秦桂霞：讓數學課既有意思又有意義，是我們一直的追求。結合這節課，我想從“游戲與經典完美結合，讓有意義與有意思和諧統一”這個角度談談我的想法。田忌賽馬是學生耳熟能詳的經典故事，可是對四年級的學生來說，他們的關注點是有趣的故事情節，若揉碎情節談策略的選擇，探究必定索然無味。本節課從師生共玩說反話游戲開始，同學們在興趣盎然的游戲中體悟到了處于主動地位的優勢；緊隨其后的撲克牌游戲，學生全程參與，經由一系列有意思的比拼，大家經歷了優化策略及策略有效前提的探索過程；隨后田忌賽馬故事的重溫，讓同學們體會古人對策略的應用，經歷策略產生的過程。這樣讓游戲與經典完美結合，在有意思中體會有意義的思想，可謂潤物無聲。

蘭子君：我同意秦老師的看法。這節課突破以往設計的窠臼，將經典與游戲完美結合，起到了“攝人魂魄”的效果。“田忌賽馬”的故事學生并不陌生，在平時的課堂中，學生經常會出現“策略皆知”和“知其然而不知其所以然”的現象。為了激發探究興趣，教師創造性地使用教材，以“撲克牌比大小”的游戲貫穿前半節課，從靠實力到靠對策，從組內比試到現場比拼，給抽象的思想賦予形象化的情境，使其在動腦、動手、動口中主動參與，自主建構，體驗、領悟數學思想方法。最后教師又回歸經典，將“田忌賽馬”與撲克牌游戲進行類比，引導學生抓住它們之間的本質聯系。在驗證唯一性之后，教師再次引導學生思考“如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎”，將學生的思維觸角向深處延伸，深刻感悟優化思想，帶來認識上的再突破。整堂課將游戲與經典完美結合，好玩有趣又充滿濃濃的數學味。

田璐：數學是思維的體操，思維是智力的核心。我覺得本節課在“關注數學思考，讓思維在生動中走向深刻”這點上做得也非常有特色。前半節課，教師引領學生在撲克牌游戲中層層深入地挖掘獲勝策略——在實力相近的情況下，以弱制強、后發制人，實現整體勝利。后半節課在解讀經典中引導學生將撲克牌游戲中獲得的體驗有效遷移，認知前后貫通，理性提升，由對陣策略提升為一種對策思想。整節課學生自始至終一直在思考。

郭海燕：我同意田璐的看法。沒有數學思考，就沒有真正的數學學習。撲克牌游戲探究策略環節，從“獲勝靠實力”到“獲勝靠對策”，再到探究“以弱制強”“后發制人”“實力相近”，不停地將學生帶到疑惑的邊緣，幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考。而游戲過后，回歸經典，從“引導審題、理解問題解決的條件”，到“類比溝通、理解賽馬策略”，再到“猜想驗證說理、探究對策是否唯一”，學生對運籌優化的理解從淺顯逐步走向深刻。這無疑也是思考的力量。

道盛琴：“田忌賽馬”是我國民間流傳的經典故事。本身極具趣味性又具有訓練智能的現實價值。在本案例中，教師以“說反話”游戲為學生的“說”搭好臺子，用“撲克牌游戲”為學生的數學思考提供熟悉生動的素材。學生經歷獨立的思考，體驗“以弱勝強”的快樂，思考制勝的秘訣。思維在不斷變化的情景中，圍繞如何求勝而步步深入，智慧在互動中自然生長。

劉麗：數學是思維的體操，數學教學最基本的目標就是發展數學思維。如何才能讓學生真實地思考？我覺得“設計有價值的問題，讓問題引領探究”十分重要。本節課以“核心問題+不斷追問”的形式，通過問題鏈不斷把學生的思考引向深入，讓學生經歷了找尋獲勝方法、感悟獲勝策略、升華對策思想的全過程，特別難能可貴。

馮玉嬌：我繼續劉麗老師的話題。課堂中，教師用兩個核心問題（小牌如何戰勝大牌、田忌的策略是否是唯一的）引領教學，牢牢把準學生的思考方向。而游戲與閱讀經典中通過問題鏈引導策略形成，又引發了學生對策略產生過程的探索及策略有效條件的感悟，拓展了學生的思維廣度，提高了學生的思維深度。

高燕：本節課練習環節“游戲——取撲克”中，問題也是以問題鏈的形式出現的：“每次只能取2張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝，怎么取？”“10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取1 張或2 張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝，怎么取？”圍繞訓練目標精心設計的問題，不斷將探究引向深入，最終實現自我建構。

專家指導

抓住數學本質 體悟運籌優化

張麗穎

數學教育的基本目標是“努力提升學生核心素養”。要提升素養，首先要做的是讓學生學得進去，其次是讓學生學得深入、深刻。因此小學數學教育應該努力讓“有意義”變得“有意思”，用“有意思”來表達“有意義”。

本次觀課議課活動，工作室選取《田忌賽馬》作為研究內容，我們想與更多的教師探討：如何抓住數學本質，讓學生在深入的思考中體會理解運籌優化思想？如何讓這節傳統的數學課有味道而且有意思？

一、凸顯數學味道

語文有同題課文《田忌賽馬》，教學中分析得非常透徹，故事蘊含的各種道理幾乎都講到了。數學課若講哲理，發揮空間不大。鑒于數學的學科性質，我們應當著重引導學生以數學的眼光透視故事，并將其數學化。

1.引領學生從數學角度去分析歷史事件。

“根據課文提供的信息，你們能用數學符號把雙方的賽馬按照戰力從強到弱進行排序嗎”，引導學生用數學的眼光尋找故事背后的數學信息，將語文課形象化的“馬速排行榜”用數學符號表示:設齊王上、中、下等馬的速度為A，B，C，田忌上、中、下等馬的速度為a，b，c，則A>a>B>b>C>c。明確馬的實力相差不太懸殊，是孫臏后面決策的前提條件。

2.引導學生運用數學方法尋找、分析最優策略。

教學中，教師以“孫臏戰勝齊王的對策和你們用小牌戰勝大牌的對策有什么相通之處”為引領，讓學生通過類比分析，真正理解田忌“以弱勝強”所采用的策略；再通過“假設齊王一直按上、中、下的順序出馬，孫臏想到的這種策略是不是唯一能贏齊王的對策”引導學生聯想搭配知識中的有序思考，通過一一排列，找全田忌的6 種不同對策，發現只有一種對策能夠三局兩勝，既經歷了田忌對策產生的過程，積累了相應的基本活動經驗，同時更深刻地體會了“謀略在先、以弱勝強”的不易，感悟到“優化”的魅力。

3.指導學生分析實施“最優策略”的基本條件。

理解田忌實施最優策略的基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟對策論的思想。本節課無論是導入環節通過說反話游戲讓學生體會“先說和后說結果會截然不同”，還是撲克牌比大小游戲中，讓學生抽絲剝繭領會只有在大小牌實力相近的前提下，讓大牌先出牌，小牌才能后發制人，以弱勝強，乃至閱讀經典之后的戰力分析、出牌與出馬策略的類比、孫臏胸有成竹原因的思考，其目的都是為了讓學生知道：“最優策略”能順利實施并取得“以弱勝強”的結果需要滿足以下前提條件：一是實力相近，二是齊王先出，三是全盤考慮，以弱制強。

4.合理延伸，體會博弈。

通常在小學教學“田忌賽馬”，只講齊王固定出馬順序，田忌共有6 種對策，只有一種能使田忌三局兩勝，到此為止。如此教學充其量只是講解了一個決策論故事，構不成真正的博弈論問題。因為博弈問題最基本的特征是“策略互相牽制對抗”，通俗的說就是雙方同時決策。這節數學課，教師在解讀經典之后，以“如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎？贏的可能性有多大”這一問題為載體，把田忌賽馬擴展為一個博弈論問題，即假設比賽之前，齊王和田忌互相不知道對方賽馬的出場順序，兩人都可以自由選擇己方賽馬的出場順序。通過再次列表分析，得出只要保證讓齊王先出馬，不管齊王怎樣出馬，田忌的出馬方案總是6 種，其中只有用“下對上、中對下、上對中”，才能夠三局兩勝。這樣，使數學模型更加精準，讓運籌思想以更加立體的形態植入學生心中。

二、選擇合適的教學策略

1.游戲中感悟，閱讀中理解，在探究類比中循序漸進地理解運籌優化。

教師通過有趣的游戲，把學生不知不覺地帶入研究對策論的數學世界，讓學生在游戲中思考，在思考中感悟，在感悟中學習。首先，簡單有趣的說反話游戲不僅符合學生的天性，更重要的是瞬間就吸引住了學生。學生被教師逼得“狼狽不堪”，而在“反攻戰役”中，學生迸發的聰明智慧又令教師“招架不及”，師生在歡聲笑語中很快達到了情感的交融，奠定了整節課良好互動的基礎。但游戲如果僅僅是游戲，就失去了意義。教師一句“笑過后要有思考”的提醒，其實已把本節課的核心策略之一——“先說或后說”的種子悄無聲息地種在了每名學生的心田，為后面的探究做好了堅實的鋪墊。

接下來的撲克牌比大小游戲，核心在于必勝策略的探究，這也是本節課的核心所在。如何讓每名學生都能主動參與探究建構？如何讓每名學生都能尋找到思路的突破口？如何讓每名學生都能體驗到成功的喜悅……顯然，教師站在學生的角度，經過了精心地思考。第一輪比試證明選擇大牌占優勢之后，出示問題“你們拿黑色的3張小牌，還有辦法獲勝嗎？怎樣出牌才能獲勝”，先獨立思考，再同桌比試研究，有了初步的輸贏體驗后，組織全班交流。而師生打擂的交流方式，不僅有看點，且非常符合學生爭強好勝的天性。師生高昂的斗智過程，吸引了所有人的眼球，在此過程中教師一個個看似輕描淡寫、其實是非常適時和重要的“明知故問”，一層層撥開迷霧，學生順藤摸瓜，輕松自如地發現了必勝的策略——以弱制強。

兩次打敗教師的經歷，學生不僅充分享受到了勝利的愉悅，更重要的是在不斷的思考中，切身體會到運籌策略在解決實際問題中的重要作用。游戲之后關于后發制人的探究因為有了說反話游戲做鋪墊，自然水到渠成；而最后借助“把8、5、3 換成6、5、3，小牌還能勝嗎？為什么？”“如果非要把小牌調小，你們覺得可以調小幾張？調哪幾張”兩個問題，讓學生在余興未消之時進行深入思考，不僅訓練了思維，更讓學生對“實力相近”這一實施“最優策略”的基本條件有了實實在在的體會。

激烈的游戲環節結束后，課堂回歸《田忌賽馬》經典本身。在這一環節，教師要求學生靜靜閱讀，靜靜思考，在類比中不僅打通了游戲和經典的聯系，進一步體會了實力相近、以弱制強，而且經歷了探究策略產生的過程，做到了知其然并知其所以然，豐富了數學活動經驗。

本課中的撲克游戲與解讀經典本質都是對策的探究，課堂表現上是一動一靜，而教學目標上各有側重。前者重在探究必勝方法，達成知識技能目標；后者重在感悟必勝策略，體會運籌優化思想，體現深度學習之魂。兩者相輔相成，珠聯璧合，實現了有意思與有意義的和諧統一。

2.問題驅動教學，思考引領建構，在深入的思考中體會運籌優化的味道。

用“生動”來詮釋“深刻”，用“有意思”來表達“有意義”，追求“生動且深刻”的小學數學活力課堂，是小學數學教育觀的具體表現，而“問題驅動”則是為實現這一教育觀而提出的方法論。通過一系列的“問題鏈”，引發學生主動積極的數學探究活動，使學生在研究與解決問題的過程中持續獲得數學素養的提升與發展。

田忌賽馬的故事膾炙人口，加以多地語文課教學在先，學生對孫臏的取勝策略可謂一清二楚，沒有新奇感，教師也賣不了關子。于是，本節課采用游戲在先、解讀經典在后的方式，利用游戲激趣，在有意思的游戲中通過一個個問題不斷引發學生的思考。讓學生在討論“專家贏大牌的策略厲害在哪”“有了以弱制強就一定能贏嗎”“有了以弱制強、后發制人就一定能以弱勝強嗎”一系列問題的過程中，從“實力相近、以弱制強、后發制人”三個維度真正地理解“以弱勝強”的對策。

在此基礎上出示原文，并再次通過一連串的問題，啟發聯想、引發深度思考：“故事和游戲有什么相通之處”“田忌共有多少種可采用的對策，孫臏想到的是不是唯一能贏齊王的對策”“孫臏為什么胸有成竹”“如果齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎”……如此一套組合拳，既巧妙地將游戲與經典完美結合，又彌補了游戲只尋找對策沒有驗證說理的缺憾，實現了既知其然又知其所以然的文化點撥，完成了對有序思考的回顧重溫，體驗了解決問題策略的多樣化，凸顯了“對策論”的應用價值。問題引領，不斷引發學生思想的碰撞，學生在不斷地質疑解疑中思考越來越清晰、越來越深入，切實體會到了“運籌優化”的味道。