數(shù)學(xué)名題：為學(xué)生種下一顆數(shù)學(xué)研究的種子

○蔣守成

主題拓展教學(xué)基于對(duì)教材內(nèi)容的系統(tǒng)把握與對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)的準(zhǔn)確理解兩個(gè)層面，以主題為核心建設(shè)主題課程資源，為學(xué)生提供只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中才會(huì)經(jīng)歷和體驗(yàn)并建立起來的獨(dú)特的思維方式。

數(shù)學(xué)名題中蘊(yùn)含了深厚的數(shù)學(xué)史，隱藏了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，介紹了數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題和研究問題的歷程，具有典型性和廣泛的影響力。因此，我們以數(shù)學(xué)名題為主題，為學(xué)生種下一顆數(shù)學(xué)研究的種子，來激活凝固的書本知識(shí)，使知識(shí)恢復(fù)到鮮活的狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)書本知識(shí)與學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、形成知識(shí)過程相關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)書本知識(shí)與學(xué)生的生活世界和經(jīng)驗(yàn)世界相關(guān)聯(lián)，豐富和拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人資源，全面發(fā)展學(xué)生的思維。

一、解讀教材，拓展數(shù)學(xué)名題的育人價(jià)值

數(shù)學(xué)名題是指在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中形成，并對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)等方面起過或仍起著重要作用的數(shù)學(xué)問題。

例如：楊輝三角、哥尼斯堡七橋問題、哥德巴赫猜想、雞兔同籠……這些著名的數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)家經(jīng)過幾百年甚至上千年的不斷探索與思考的智慧結(jié)晶，在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生較大影響，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有一定的推動(dòng)作用。不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中也都編排了一些數(shù)學(xué)名題，讓學(xué)生經(jīng)歷像數(shù)學(xué)家一樣研究的過程，感受新概念的誕生，體悟新方法的形成，感悟深厚的數(shù)學(xué)文化，體會(huì)數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用。

數(shù)學(xué)名題蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體。例如，“物不知其數(shù)”蘊(yùn)含了同余的思想方法，“七橋問題”不僅是抽象的典型實(shí)例，同時(shí)也蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化的思想方法。因此，我們應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)名題的素養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)價(jià)值進(jìn)行定位，為課程資源開發(fā)和課堂教學(xué)提供幫助。（下表是部分?jǐn)?shù)學(xué)名題的素養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)價(jià)值定位。）

數(shù)學(xué)名題哥德巴赫猜想楊輝三角素養(yǎng)目標(biāo)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)運(yùn)算七橋問題雞兔同籠數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模教學(xué)價(jià)值形成有邏輯的思考問題能力、數(shù)學(xué)推理能力建立數(shù)與形的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力；借助運(yùn)算解決實(shí)際問題形成有邏輯的思考問題能力、數(shù)學(xué)推理能力、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力；利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)；運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維思考問題進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，有效借助數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題

其實(shí)能在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上滲透的數(shù)學(xué)名題還有很多，比如“省刻度尺”“和尚分饅頭”“棋盤上的麥粒”“李白喝酒”“田忌賽馬”“四色猜想”“冰雹猜想”“孿生素?cái)?shù)猜想”……我們進(jìn)行數(shù)學(xué)名題的主題教學(xué)研究，并不是要求學(xué)生做高深的數(shù)學(xué)研究，只是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)可以像數(shù)學(xué)家那樣“想”的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷和數(shù)學(xué)家一樣的研究歷程，感受真理探索的艱辛，幫助他們形成不唯書、不唯師、不唯上的批判性思維，形成獨(dú)立思考、自由探索的數(shù)學(xué)品質(zhì)，拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、整合教學(xué)，放大數(shù)學(xué)名題的教學(xué)價(jià)值

學(xué)會(huì)思維是學(xué)生思維發(fā)展的必由路徑，“學(xué)會(huì)”強(qiáng)調(diào)的是過程，而非結(jié)果，每個(gè)人都要學(xué)會(huì)思維，但學(xué)會(huì)的標(biāo)準(zhǔn)是多元的，學(xué)會(huì)的路徑是靈活的。我們依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，基于教材內(nèi)容，精心選擇開發(fā)了52 個(gè)小學(xué)生能懂的數(shù)學(xué)名題，為學(xué)會(huì)思維提供過程支架，從中年級(jí)的數(shù)學(xué)閱讀和高年級(jí)的名題研究?jī)蓚€(gè)路徑來放大數(shù)學(xué)名題的教學(xué)價(jià)值。

（一）數(shù)學(xué)名題主題閱讀。

我們?cè)谥心昙?jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)名題閱讀欣賞，讓學(xué)生感受名題中的數(shù)學(xué)思想和方法，吸取名題中的數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)精神，提升對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力。例如：我們將數(shù)學(xué)名題改編成數(shù)學(xué)童話，供三四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行閱讀。

時(shí)空穿梭解名題系列之《和尚分饅頭》

點(diǎn)點(diǎn)和芳芳都是數(shù)學(xué)愛好者，她們很想了解古代人是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。一次偶然的機(jī)會(huì)，她們得到了外星人留在地球上的時(shí)空穿梭機(jī)，真的實(shí)現(xiàn)了時(shí)空穿梭，眨眼間便回到了明代。

她們來到一座寺廟前，點(diǎn)點(diǎn)說：“我們進(jìn)去玩玩吧！”可是當(dāng)她們來到寺廟門口便被幾個(gè)和尚攔住了：“寺廟只接待香客，不接待游客！”這時(shí)一位老伯說：“小朋友，如果你們能回答上我的問題，我就分幾炷香給你們。”點(diǎn)點(diǎn)說：“行，什么問題？”老伯說：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？”點(diǎn)點(diǎn)聽得有些摸不著頭腦，便問芳芳：“這是什么意思啊？”芳芳說：“這是明代《算法統(tǒng)宗》中的問題，意思是說一百個(gè)和尚吃一百個(gè)饅頭，大和尚每人吃三個(gè)，小和尚每三人吃一個(gè)，大小和尚各有多少人？”

點(diǎn)點(diǎn)說：“原來是這么回事，這題我會(huì)解。把1個(gè)大和尚與3個(gè)小和尚看成一組，那每組得分4個(gè)饅頭，100÷4=25（組），說明有25 個(gè)大和尚、75 個(gè)小和尚。”

老伯驚嘆地問道：“小朋友好聰明，你叫什么名字？”點(diǎn)點(diǎn)也不客氣地問道：“你叫什么名字啊？”老伯笑道：“我叫程大位。”芳芳吃驚地說：“點(diǎn)點(diǎn)，他就是明代大數(shù)學(xué)家程大位，《算法統(tǒng)宗》就是他寫的！”點(diǎn)點(diǎn)一聽愣住了，老伯笑道：“我們現(xiàn)在就去燒香吧！”

通過數(shù)學(xué)閱讀把抽象、枯燥的數(shù)學(xué)問題加工成有趣且適合閱讀思考的學(xué)習(xí)材料，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化的滲透，將數(shù)學(xué)內(nèi)在的理性精神以一種可以觸摸、可以表達(dá)、可以分享的方式告訴他們，讓他們?nèi)ジ形颍ンw驗(yàn)，去傳承。

（二）數(shù)學(xué)名題研究。

我們?cè)诟吣昙?jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)名題系列研究，從著名的數(shù)學(xué)問題“哥德巴赫猜想”“四色猜想”“冰雹猜想”“孿生素?cái)?shù)猜想”“省刻度尺”“雪花曲線”“楊輝三角”等出發(fā)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化深?yuàn)W為淺顯，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中像數(shù)學(xué)家一樣去工作、思考和交流，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)，讓學(xué)生的思維生長在研究過程中可見。

例如，我們以世界三大猜想之一的“四色猜想”為研究主題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證的過程，體悟推理和模型思想。研究過程分三個(gè)板塊：

板塊一：引導(dǎo)學(xué)生自己提出猜想。

1.解決問題，引發(fā)猜想。呈現(xiàn)江蘇省地圖提出問題：從地圖上我們可以看出江蘇省由13 個(gè)城市組成。如果要把江蘇地圖涂上顏色，并且相鄰兩個(gè)城市要涂不同的顏色來區(qū)分。想一想，可以用幾種顏色？

學(xué)生回答有13種、12種、11種等等，答案不一致，但都能夠區(qū)分。

小結(jié)：看來按這樣的要求來涂色，方法可不止一種。那么到底最少需要幾種顏色就足以保證相鄰的兩個(gè)城市顏色不同了呢？

2.動(dòng)手操作，探尋結(jié)論。按要求給下面3 個(gè)圖形涂上顏色，涂完后說明理由。

（1）每個(gè)圖形中相鄰的兩塊顏色不同。

（2）用的顏色要最少。

學(xué)生匯報(bào)后，教師追問：剛才我們研究的這3個(gè)圖形都被分成了4塊，為什么只有第3個(gè)圖需要4種顏色，而前2個(gè)圖不需要4種顏色呢？

同桌交流后分享：因?yàn)榈谌齻€(gè)圖中的每一塊都和其他三塊相鄰，而前2個(gè)圖形中并沒有這樣。

3.繼續(xù)探索，提出猜想。用你喜歡的方式把下面的圖形任意分成5 塊、6 塊、7 塊，按剛才的要求涂色，你能發(fā)現(xiàn)涂色的規(guī)律嗎？

學(xué)生分享比較發(fā)現(xiàn)：把一個(gè)圖形任意分成4塊、5 塊、6 塊或7 塊，只要用4 種顏色來涂色，就足以保證相鄰的2 塊顏色不同。也有學(xué)生大膽地提出：把一個(gè)平面圖形分成若干塊，只要用4 種顏色涂色，就足以保證相鄰的兩塊顏色不同。這也就是著名的世界三大猜想之一：四色猜想。

板塊二：介紹“四色猜想”的發(fā)現(xiàn)和提出的過程。

1852 年，一位名叫葛斯瑞的英國繪圖員發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：在每幅地圖上只要用4 種顏色來著色，就足以把有公共邊界的國家（或地區(qū)）分開，即把相鄰的國家（或地區(qū)）涂上不同的顏色。如果用數(shù)學(xué)語言來表示四色猜想就是：將一個(gè)平面圖形任意分為大于或等于4 個(gè)的不重疊區(qū)域，只要用1、2、3、4 四個(gè)數(shù)字來標(biāo)記每個(gè)區(qū)域，就可以保證相鄰的兩個(gè)區(qū)域不會(huì)出現(xiàn)相同的數(shù)字。由此可以告訴學(xué)生：數(shù)學(xué)猜想不一定要數(shù)學(xué)家提出來，我們每個(gè)人都可以提出數(shù)學(xué)猜想，然后進(jìn)行驗(yàn)證猜想是否正確，這是一種很好的數(shù)學(xué)思考方法。

板塊三：自己驗(yàn)證四色猜想，感受猜想的奇妙。

提問：讓你來證明四色猜想，你會(huì)怎么做？（舉例）

驗(yàn)證：學(xué)生借助研究單上的地圖（江蘇地圖、北京地圖、寧夏地圖），用數(shù)字表示顏色的方法來驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)都是4種。

追問：我們用了3 幅地圖驗(yàn)證了四色猜想，你覺得這樣的證明夠不夠？這樣的例子還有很多，那科學(xué)家們又是怎樣來證明四色猜想呢？我們一起來了解一下。介紹數(shù)學(xué)家證明四色猜想的歷程，指出1976年9月，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾和哈肯教授，用計(jì)算機(jī)做了100 億次的判斷后，最終完成了四色猜想的證明。

其實(shí)很多猜想就像“四色猜想”一樣來自我們的日常生活，例如“冰雹猜想”就是來自70 年代美國大學(xué)里風(fēng)靡的數(shù)學(xué)游戲。當(dāng)我們經(jīng)常用數(shù)學(xué)的眼光去觀察日常的學(xué)習(xí)和生活時(shí)，也許下一個(gè)提出著名數(shù)學(xué)猜想的人就會(huì)是你！

數(shù)學(xué)名題的研究不僅使數(shù)學(xué)教學(xué)變得有意思，也讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得更有意義，讓學(xué)生不僅僅停留在“知道”層面，更能夠促進(jìn)學(xué)生把問題想得更清晰、更全面、更深刻、更合理，能夠體會(huì)人類認(rèn)識(shí)世界、數(shù)學(xué)化地刻畫世界的過程，體悟到數(shù)學(xué)自身的魅力。