腔光子-自旋波量子耦合系統中各向異性奇異點的實驗研究*

2020-02-28 10:58:06張高見王逸璞

物理學報 2020年4期

張高見王逸璞

(浙江大學, 浙江省量子技術與器件重點實驗室, 杭州 310027)

通過耦合三維微波腔中光子和腔內釔鐵石榴石單晶小球中的自旋波量子形成腔?自旋波量子的耦合系統, 并通過精確調節系統參數在該實驗系統中觀測到各向異性奇異點.奇異點對應于非厄米系統中一種特殊狀態, 在奇異點處, 耦合系統的本征值和本征矢均簡并, 并且往往伴隨著非平庸的物理性質.以往大量研究主要集中在各向同性奇異點的范疇, 它的特征是在系統參數空間中沿著不同參數坐標趨近該奇異點時具有相同的函數關系.在這篇文章中, 主要介紹實驗上在腔光子?自旋波量子耦合系統中通過調節系統的耦合強度和腔的耗散衰減系數兩條趨近奇異點的路徑而實現了各向異性奇異點, 具體分別對應于在趨近奇異點時, 本征值的虛部的變化與耦合強度和腔的衰減系數的變化會有線性和平方根不同的行為.各向異性奇異點的實現有助于基于腔光子?自旋波量子耦合系統的量子信息處理和精密探測器件的進一步研究.

1 引言

混合量子系統可以實現在兩個或多個不同量子系統[1,2]之間的信息交換并充分利用不同子系統的獨特屬性而優勢互補, 是實現量子信息綜合處理平臺[3]和量子網絡[4]的基礎.近些年, 基于釔鐵石榴石(yttrium iron garnet, YIG)小球樣品中的集體激發模式(自旋波)和三維微波腔中腔光子耦合形成的混合量子系統吸引了大量研究者的關注[5?13].由于釔鐵石榴石的低損耗、高自旋密度和腔的高品質因子, 使得自旋波量子和腔光子較容易實現強耦合[5?7]甚至超強耦合[14,15], 由于它們之間的強耦合而產生了一種新的準粒子——自旋波量子極化子(cavity magnon polaritons, CMPs)[13,16].此外, 利用該耦合系統的多個可調諧的自由度、較長的相干時間和較小的衰減率等優點, 以自旋波量子為核心已經在實驗上實現了綜合了聲子[17]、超導量子比特[18,19]、腔光子、光學光子[20?23]的耦合雜化系統.該系統也可以作為實現其他一些奇異現象和應用的平臺[24?29], 例如: 基于自旋波量子的梯度信息存儲[30,31]、腔自旋電子學[9,32]、CMPs的雙穩態[33,34]、磁振子?光子耗散耦合[35?42]、微波信號傳輸的非互易現象[43], 另外, 在理論上還證明了可以實現自旋波量子?光子?聲子之間的糾纏[44]和自旋波量子?聲子的壓縮態[45].

在量子力學框架下, 一個封閉量子系統的動力學行為由其厄米的Hermitian(哈密頓量)決定.這里, 哈密頓量的厄米性保證了系統的本征值都是實數.然而, 現實情況下由于系統和環境難以避免的相互作用, 例如探測器對實驗系統的觀測, 原子系統和真空電磁場環境耦合導致自發輻射等, 因此實驗上可以實現并被測量的量子系統都屬于開放系統, 這些相互作用給系統帶來了不可避免的損耗或增益.通常情況下, 大家利用主方程或郎之萬方程研究開放的量子系統, 在相關物理量的運動方程中引入耗散和增益, 同時保持系統哈密頓量仍為厄米的.近年來, 作為厄米量子力學的補充, 非厄米量子力學興起[46].所謂非厄米量子力學就是在系統的哈密頓量中直接引入由環境導致的損耗或增益(一般對應著虛數項), 用這種等效的非厄米哈密頓量[47]來描述所研究的物理系統.求解非厄米哈密頓量的本征值, 本征矢等, 可以快速方便地預測一系列有趣且重要的物理可觀測效應, 因此非厄米物理在理論和實驗上得到了越來越多的關注.腔自旋波量子耦合系統就是一種典型的非厄米系統, 其中光學或者微波腔體都是典型的耗散系統, 自旋波系統有內稟Gilbert損耗[48], 也可以通過平行泵浦[49]產生增益效應.因此, 腔自旋波量子耦合系統可以用來構造和研究在其他非厄米系統中被廣泛研究的非厄米物理現象, 如: 宇稱?時間對稱(parity?time symmetry, PT symmetry)[50]相關的物理現象, 拓撲電荷[51?54]、手性[55?59]、費米弧[60,61]和已經在聲學[58]和光學[62]系統中實現的奇異點[58,62?66].奇異點的概念最初是由 K ato 在1966年提出[67], 它對應著非厄米系統的簡并態, 所謂 n 階奇異點就是一個線性非厄米系統的 n 個本征值簡并, 同時相對應的 n 個本征矢相互平行(即只有一個獨立的本征矢); 當 n =2 時, 稱為二階奇異點也簡稱為奇異點,當 n >2 時, 稱為高階奇異點.之前大量的研究主要集中在各向同性奇異點(isotropic exceptional point, IEP)的范疇, 也就是通過調節參數空間中的參數沿著不同坐標軸趨近奇異點時本征值的變化和參數變化之間有相同的函數關系.然而, 非厄米系統也可以用于研究各向異性奇異點(anisotropic exceptional point, AEP), 也就是沿著參數空間不同方向趨近該奇異點的時候會有不同的的函數曲線, 該現象最先在聲學系統[68]中實現, 各向異性奇異點可以為接下來奇異點附近的拓撲性質、手性和傳感器的研究提供新的平臺.例如, 如果實現了系統對電偶極參量和磁偶極參量變化構成的參數空間中的各向異性奇異點, 當用此系統對未知屬性系統進行探測時, 觀察系統偏離奇異點的路徑函數規律就可以判斷被探測系統是對電場敏感還是磁場更加敏感.系統脫離奇異點的過程, 正是系統退簡并的過程, 這是一種高效、靈敏的探測手段.

本文從理論和實驗上設計并實現了腔? 自旋波量子耦合系統中的各向異性奇異點.在我們的系統中, 系統的耦合強度和腔的衰減系數分別對應一個可調節參數, 耦合強度隨YIG小球位置參數的變化為二次關系, 腔的衰減系數和腔端口墊片數量的變化呈線性變化.理論上可以得到, 在奇異點附近,系統本征值的變化與耦合強度和腔的衰減的變化均近似成平方根函數關系.因此, 當實驗上通過調節YIG小球位置來使系統趨近奇異點時, 本征值的變化隨小球位置的變化是一個線性關系, 而通過改變腔端口的墊片數量來使系統趨近奇異點時, 本征值的變化與之對應的關系的是平方根關系.

2 理論模型

為了得到各向異性奇異點, 我們以腔光子和自旋波量子耦合系統為例, 考慮腔模以及自旋波模式的復本征頻率, 系統的有效哈密頓量可以寫成如下形式:

其中 a?(a) 和 b?(b) 分別表示子系統腔光子和自旋波量子的產生(湮滅)算符, ωc和 ωm分別表示腔光子和自旋波量子的頻率, ? 為約化普朗克常數.κ ≡ κ1+κ2+κint表示腔模的耗散系數, 這里κ1(κ2)是由端口1 (2)引起的衰減, 也即腔體的外部耗散系數, κint是腔的固有衰減.γm表示自旋波量子的耗散系數, 主要是由YIG 小球的晶體缺陷以及表面的粗糙度決定, g 表示的是兩個子系統之間的相干耦合(coherent coupling)強度.由于自旋波量子的頻率和靜磁場的磁感應強度呈線性關系,ωm= γe|B0|+ωm,ani, 這里 γe是電子的旋磁比(gyromagnetic ratio, GR), ωm,ani是由晶體內部各向異性場導致的, 所以通過調節靜磁場 | B0| 的強度使得腔光子和自旋波量子頻率相等(ωc= ωm= ω0),考慮共振情形, 可以得到方程 (1)的本征頻率如下:

這里 κav=(κ + γm)/2 是共振時兩個新形成的極化激元的耗散系數, ? κ=κ?γm是兩個子系統間耗散系數之差.可以看到, 當 ? κ=2g 時系統的本征值會簡并和本征矢會平行而形成奇異點, 這里的?κ和 g 都是系統易于調節的參數, 在實驗部分會介紹具體的調節方法.

當耦合強度固定為 g =g0, 并線性地改變腔模的衰減率, ? κ/2=g0(1? α) , 這里 α 是外部可以調節的參數.由于我們關注的是奇異點附近的效應,調節 α 使 g0(1? α) 趨近 g0, 可以利用的一個近似條件是 α 為一個小量, 進而舍去了 α2項的作用, 因此, 系統的本征頻率的表達式變為 ω±≈ ω0? iκav±從正值變到負值使該系統從嚴格相(exact phase)在 α =0 處經過奇異點而進入破缺相(broken phase).類似地, 把腔模的衰減率固定為 ? κ=?κ0, 如果耦合強度隨另外一個可調參數β也遵從線性變化 g =(?κ0/2)(1?β) , 系統的本征頻率隨可調參數的變化規律依舊是平方根關系.在這種情況下, 該奇異點在參數空間 (α,β) 中為IEP.

如果趨近奇異點時耦合強度 g 與系統可調參數的變化關系為二次關系, 腔模衰減率 ? κ 與另一個可調參數的變化關系為線性關系, 那么 ? κ/2(g) 與可調參數 α (β) 之間的關系可以寫成如下形式:

從方程(3)和方程(4)可以得到系統本征值和本征矢與可調參數 (α,β) 之間的關系為:

同理, 這里也利用了在奇異點附近, β 為小量, 舍去了 β4項的作用.

圖1 (a)歸一化耦合常數 g /g0 和歸一化衰減系數差 ? κ/(2g0) 在參數空間 (α,β) 中分別用黃色和綠色表示, 紅色的實線表示的是奇異點連成的線; (b)系統本征頻率在參數空間中的虛部, 黑色實線交叉的地方就是各向異性奇異點的位置; (c)表示本征頻率的虛部分別沿著 α (β =0) (實線)和 β (α =0) (虛線)方向; (d)表示的是態分別沿著 α (β =0) (實線)和 β (α =0) (虛線)方向的相位信息; 上面的參數為:ω0=1,γm=0,g0=0.5Fig.1.(a) The normalized coupling constant g /g0 and normalized loss difference ? κ/(2g0) in the parameter space (α,β) are shown by the yellow and green surfaces, respectively.The solid red line corresponds to a line of EPs; (b) the imaginary part of the eigenfrequencies in the parameter space as a function of β and α , where the black solid line crossing is the position of the aniso?tropic EP; (c) imaginary part of the eigenfrequencies along α (β =0) adjusting direction (solid line) and β (α =0) adjusting direc?tion (dotted line), respectively; (d) phase rigidity of the corresponding states along α (β =0) adjusting direction (solid line) and β(α =0)adjusting direction (dotted line), respectively.The parameters used are ω0=1,γm=0 and g0=0.5 .

圖1(a)表示的是在參數空間中耦合強度和腔模的衰減率隨參數變化的情況, 其中紅色的實線表示的是在 β2?α=0 的情況下一系列奇異點連成的線.從方程(5)可以知道, 當 α >0 , β2從β2>α到β2<α 導致該混合系統從嚴格相在 β2=α 處經過一個奇異點而進入破缺相.從方程(6)可以知道,該系統在時有兩個具有相同手性的奇異點, 這兩個奇異點具有相同的本征態 (i,1)T.根據方程(5), 在 α =0 時改變 β 從負值變到正值時可以得到系統本征頻率虛部關于 β 變化的線性交叉,如圖1(b)和圖1(c)所示.然而, 固定 β =0 改變 α的值可以得到系統本征值虛部隨 α 呈平方根的變化關系, 如圖1(c) 中的藍色實線所示.

為了驗證各向異性行為, 在圖1(d)中顯示相位剛度[69,70](phase rigidity, PR), 它的定義為對應每個態用 j 表示, 這里表示的是歸一化正交右矢.在厄米系統中, 相位剛度的值恰好是1; 而在非厄米系統中, 相位剛度是不確定的, 在奇異點處相位剛度的值為0, 在奇異點附近的相位剛度和在該參數方向下的本征值和參數之間的函數關系有關.所以, 可以通過相位剛度的值來區分該系統是厄米系統還是非厄米系統以及在奇異點附近的相位剛度變化來判斷并對應出系統參數變化方向.當 α 的值固定等于零而改變β的值, 相位剛度(PR)在 β =0 附近接近各向異性奇異點時的極限值為1, 表示線性行為(虛線所示).當 β 的值固定為零而改變 α 的值時該極限值為1/2, 顯示出平方根行為(實線所示).存在這種各向異性行為的奇異點也被稱為混合奇異點(hybrid exceptional point, HEP).因此, 由以上討論可知,當一個混合系統由兩個不同的子系統構成, 如果它們之間的耦合強度隨可調參數的變化是二次關系,而系統的衰減隨另一個參數變化是線性關系, 在合理的參數范圍內該混合系統存在AEP.基于此理論模型, 我們將在腔光子?自旋波量子耦合系統中構造并實驗演示各向異性奇異點的特性.

3 實驗方法

混合系統的實驗設置如圖2(a)所示, 一個直徑為0.3 mm 的YIG小球放入無氧銅制的三維微波腔內, 該腔的內部尺寸為44.0 mm × 20.0 mm× 6.0 mm, 腔的兩個端口通過SMA接頭與外部測試線路連接矢量網絡分析儀來探測腔傳輸譜的信息, 腔的側面有一個直徑為4 mm 的開孔用于通入粘結YIG小球的玻璃鋼細桿從而調節小球位置,如圖2(b) 所示.玻璃鋼細桿的直徑大約為1 mm,其介電常數較小, 插入腔體后對腔場模式的擾動很小, 可以忽略不計, 該細桿連接一個一維步進平臺來調節YIG小球沿著腔的長邊插入的深度.最初,我們把YIG小球放在腔模 T E102磁場模式密度最大的位置.腔的SMA接頭的天線插入腔體的深度可以通過調節接頭與腔體之間的墊片數量來控制,天線插入腔體的深度決定了腔的外部耗散系數的大小.

在室溫環境下, 包含YIG小球的銅腔樣品放在可高精度調節的雙軛雙調型電磁鐵產生的勻強磁場中(磁感應強度的調節范圍為0—2 T).當調節磁場的大小使得YIG小球中自旋波量子的基態爾模式[71](Kittle mode) 的頻率和腔模 T E102的腔光子共振時, 網絡分析儀掃描得到的傳輸譜出現了明顯的免交叉 (anti?crossing)現象, 如圖2(c)所示, 表明兩個子系統彼此耦合使該混合系統進入了強耦合區域.通過擬合實驗數據結果[33,48]可得自旋波量子和腔光子的相干耦合強度為 g0/2π =8.45 MHz, 腔模的線寬 κ/2π ≡ (κ1+κ2+κint)/2π= 2.66 MHz, 自旋波量子的基態爾模式的耗散系數 γm/2π = 2.86 MHz.本文中所有的線寬數據均是取傳輸譜的半高全寬(the full width at half maximum, FWHM).通過改變實驗參數, 測得一系列傳輸譜, 我們就可以對應耦合強度以及線寬數據.

4 實驗結果

為了實現兩條趨近奇異點的路徑, 我們獨立地調節系統的耦合強度和腔模的耗散系數使系統可以達到并穿過奇異點.具體地, 耦合強度的大小通過調節YIG小球在腔內的位置來改變, 腔模的耗散系數通過微波腔輸入輸出端口的SMA 接頭天線插入腔體的深度來調節, 并且我們這兩個參數在調節過程中與對應的物理量呈不同的函數關系來滿足實現各向異性奇異點的要求.微波腔的TE102模式沿著腔的長邊擁有兩個對稱的腔模磁場模式密度極大值點, 當通入微波時, 此處微波磁場強度也取得極大值.如圖3(a) 所示, 我們的實驗中選取其中一個磁場強度的極大值點的坐標為中心點,當YIG 小球放在該位置時(x = 0), 腔光子和自旋波量子的耦合強度取到最大值 g0.為了得到YIG小球在腔的不同位置耦合強度 g 的大小, 可以利用輸入?輸出理論得到的傳輸系數擬合實驗數據得到,傳輸系數的表達式如下所示(推導見附錄A):

圖2 (a) 腔?自旋波量子系統的實驗裝置圖, 把包含YIG 小球的3D腔放入一個室溫可高精度調節的雙軛雙調型電磁鐵產生的磁場中, 通過網絡分析儀測出腔的透射譜; (b) 表示的是YIG小球黏在一根玻璃鋼棒上, 通過一個4 mm的孔, 在腔的一側插入到3D矩形腔內.端口1和端口2用來得到腔模的傳輸譜; (c) 3D腔的透射譜, 橫軸為電磁鐵線圈的電流(既偏置磁場的大小), 縱軸為探測場的頻率.腔模和Kittle模共振時, 兩子系統間的耦合強度最大為 g0/2π = 8.45 MHzFig.2.Schematic of the experiment setup.The 3D cavity containing the YIG sphere is placed in the static magnetic field gener?ated by a double?yoke double?tuned electromagnet which can be accurately adjusted at room temperature, and the transmission spectrum of the cavity is measured by network analyzer; (b) the YIG sphere is attached to a fiberglass reinforced plastic rod and in?serted into a 3D rectangular cavity through a 4 mm hole on one side of the cavity.Ports 1 and 2 are used to obtain the transmis?sion spectrum of cavity modes; (c) transmission spectrum of coupled system as a function of the current of the electromagnet coil(the magnitude of the biased magnetic field) and the probe field frequency.When the cavity mode and Kittle mode are resonant,the normal mode splitting equals to 2 g0/2π = 16.9 MHz.

通過調節YIG小球在腔里的位置x從—10變到10 mm, 可以得到耦合強度 g 是關于位置x的二次函數.因此, 可以實現耦合強度和可調參數的二次函數關系 g =g0(1?β2) .這里的可調參數也即小球的位置函數, 為了擬合實驗數據, 耦合強度g關于位置x的關系寫成 g =g0(1?ax2) , 這里g0/2π= 8.45 MHz, a = 0.0072, 如圖3(a) 的實線所示,小球的位置參數和耦合強度較為符合二次關系.

為了實現 ? κ 與外部可調參數 α 的線性關系?κ/2=g0(1?α), 我們通過增加輸入輸出端口下方的墊片來減小SMA 銅針天線插入腔體內的深度, 每個紫銅墊片的厚度為0.1 mm.首先, 選取一定長度的銅針插入到腔體內, 得到此時腔模的衰減κ/2π= 26.49 MHz.通過在兩個端口下面輪流增加墊片的數量y并測量腔模的傳輸譜擬合得到一系列腔體的線寬數據點, 我們可以用一個線性方程?κ=25.96?by擬合實驗結果, 如圖3(b)所示,擬合結果為 b = 1.07 是一個線性系數, 明顯地, 腔模的耗散系數隨著銅針插入腔體的深度減小而線性減小.在后續展示各向異性奇異點的實驗中, 我們可以固定耦合強度為 g0而線性地改變腔模的耗散系數使系統穿過EP.為了得到腔的固有衰減,我們增加墊片到一定數量直至腔模的衰減不再減小, 此時腔模的耗散系數便是腔本身的固有耗散,具體方法可以參考文獻[48].

圖3 (a) 系統的耦合強度g和YIG小球在腔中位置x的二次函數關系, 三角形代表實驗得到的結果.黑色實拋物線線是理論擬合實驗數據的結果.其中深紅、黃色和綠色分別表示耦合強度為 8.17, 5.54, 3.47 MHz; (b) 3D腔的衰減 κ 和墊片數量y呈線性函數關系, 品紅色原點代表實驗測量的結果.藍色實線代表理論擬合的結果Fig.3.(a) The coherent coupling strength as a function of the position of the YIG sphere in the cavity, and the tri?angle dots the experimental results.The black solid curve is the result of theoretical fitting of experimental data.Among them, crimson, yellow and green dots indicate the coupling strengthes equal to: 8.17, 5.54 and 3.47 MHz, respectively;(b) the damping rate κ of the 3D cavity as a function of the number of gaskets y between the cavity and SMA con?nector, and the magenta dots represent the measured res?ults.The solid blue line is the theoretical fitting curve.

在該耦合系統中, 我們通過改變端口下方銅針插入腔體的深度和移動YIG小球在腔內的位置來研究奇異點的各向異性行為.我們利用網絡分析儀(vector network analyzer, VNA)得到腔的傳輸譜從而讀取耦合系統的線寬信息, 對應著本征值的虛部.首先, 在端口下加入合適數量的墊片使腔模的總衰減 κ /2π = 15.46 MHz, 此時 ? κ/(2×2π) =6.30 MHz, 接著逐漸移動小球增加系統的耦合強度, 耦合強度的改變如圖2(b)所示.選取其中耦合強度分別為8.17, 5.54, 3.47 MHz的三條傳輸譜(如圖4(a) 中的深紅、黃色和綠色所示).由于κ>g>γm導致腔自旋波量子混合系統進入磁誘導透明區域[7](magnetically induced transparency,MIT), 在傳輸譜中有一個透明窗口, 在腔模的衰減固定情況下隨著耦合強度的的增加使系統趨近奇異點.接下來, 繼續增加腔模的耗散系數 κ /2π 為18.19 MHz (? κ/(2×2π)=7.67MHz) 和21.32 MHz(? κ/(2× 2 π) = 9.23 MHz) 并重復以上改變系統耦合強度的步驟得到的實驗結果如圖4(b)和4(c)所示.隨著腔模耗散系數的增加, ? κ/(2×2π) 也逐漸增加且數值大小處于耦合強度數值可調節范圍內, 因此在連續調節耦合強度的過程中導致系統可以穿過奇異點在嚴格相和破缺相間轉變.

圖4 在腔的三種不同損耗下測得的傳輸譜.所有實線表示應用圖3中得到的系統的耦合強度和腔模的衰減系數實驗值代入到輸入? 輸出理論中得到的, 腔模的衰減系數分別為15.64, 18.19和21.32 MHzFig.4.(a)Transmission spectra measured under three differ?ent damping rates of the cavity.All the solid lines are cal?culated using the input?output theory.The damping rates of the cavity mode are 15.64, 18.19 and 21.32 MHz, respect?ively.

在圖4(a)—圖4(c)中, 實線是利用輸入?輸出理論得到的傳輸系數 S21畫出的理論曲線.利用上面擬合得到的調節參數(小球位置x, 墊片數量y)與耦合強度和腔的線寬的關系式以及方程(2)可以得到系統本征頻率虛部的信息如圖5(a)中的實線所示.實驗得到的傳輸譜如圖4(a)—圖4(c),利用傳輸系數 S21也可以得到參數空間(x, y)中系統本征值的虛部信息, 如圖5(a)中的圓點所示.以上可以看到實驗數據和理論曲線符合得很好.

該系統中存在各向異性奇異點以及它的各向異性行為清晰地展示在圖5(a)中.首先, 固定腔模的耗散系數(通過選擇墊片的數量y)并通過改變YIG小球在腔內的位置x來改變腔光子與自旋波量子的耦合強度.當 ? κ<2g0(y ＞ 6), 可以看到本征值的虛部 I m[ω] 隨著|x| 的增大會有兩個對稱的分叉現象.表明對于一個較小的固定的腔模耗散系數(? κ<2g0)存在一對平方根奇異點, 它們擁有相同的手性.隨著 ? κ 變大, 奇異點將會越來越靠近在耦合強度最大值處出現, 直至當 ? κ=2g0時,這兩個手性相同的奇異點將會合并成為一個奇異點.在我們的系統中, 當 ? κ/2π = 16.90 MHz 時隨著x的改變, 兩個奇異點在x = 0處合并成為一個, 理論曲線如圖5(b)中的黑色點劃線所示.另外, 虛部 I m[ω] 的色散關系在x趨近于零附近近似呈線性行為, 圖5(b)中的綠色圓點是 ? κ/2π =16.68 MHz 時的實驗數據, 可以看到和理論上的各向異性奇異點所處的色散關系符合得很好.當?κ>2g0(y ＜ 6), 虛部 I m[ω] 存在免交叉, 可以看到兩支頻率之間存在一個“間隙”, 如圖5(b)所示.接著我們關注沿著另外一個參數路徑靠近奇異點, 如圖5(c)所示, 當固定x = 0改變 ? κ 的值, 可以看到一個典型的平方根奇異點出現在總墊片數量為6附近, 藍色實線是理論結果、紅色方點是實驗結果.

圖5 (a) 在不同腔模損耗下本征頻率虛部關于YIG小球在腔中位置x的函數關系.實線是利用前面實驗得到的耦合強度和腔模的損耗(參見圖3)計算得到的, 圓點是實驗測得的數據; (b)本征頻率虛部在墊片數量分別為6, 4, 2的時候并分別用點劃線、靛青和藍色實線表示, 點劃線顯示了線性交叉行為; (c) 當系統耦合強度 g0/2π = 8.45 MHz 時, 本征頻率虛部關于腔的端口處墊片數量y(腔模損耗)的關系.實線是理論計算的結果, 品紅色方塊是實驗結果Fig.5.(a) Imaginary part of the eigenfrequencies as a function of the position x of the YIG sphere in the cavity with different num?ber of gaskets.The solid curves are calculated using the coupling strengthes and the damping rates of the cavity modes obtained from the previous experiments (see Fig.3), and the dots are obtained from the experimental data shown in Fig.4; (b) imaginary part of the eigenfrequencies is plotted by black dotted line, indigo line and blue line when the number of gaskets are 6, 4 and 2, re?spectively.The black dotted line shows the linear crossing behavior; (c) when the coupling strength of the system is g0/2π =8.45 MHz, imaginary part of the eigenfrequencies are plotted as function of the gaskets y.The solid line is the result of theoretical calculation and the magenta square dots are the experimental results.

基于以上結果, 我們知道在不同的固定的腔體耗散系數下來觀察系統本征值虛部與YIG小球位置坐標的色散關系時, 系統從擁有相同手性的兩個平方根奇異點(? κ<2g0)到出現本征值虛部色散曲線免交叉 (? κ>2g0) 經過了兩個平方根奇異點合并成為一個奇異點的過程 (? κ=2g0), 并且在合并為一個奇異點的同時, 系統本征值的虛部與小球位置坐標的色散關系為線性.另一方面, 在固定小球位置使耦合強度等于 g0, 改變腔體耗散系數,我們觀察到了一個和腔端口墊片數量相關的平方根奇異點.因此, 我們成功地在自旋波量子?腔光子相干耦合的系統中構造并實現了各向異性奇異點.

5 結論

本文在理論上和實驗上實現了腔光子?自旋波量子耦合系統中的各向異性奇異點, 它擁有在參數空間中沿著不同方向趨近該奇異點時有不同色散曲線的特點.在我們的系統中, 腔光子和自旋波量子的耦合強度和YIG小球在腔中的位置坐標是二次函數關系, 腔模的耗散系數隨著輸入輸出SMA端口處銅針插入的深度呈線性變化.在這個過程中, 我們通過增加端口處的墊片數量來控制銅針的插入深度, 這是一種巧妙的調節腔模耗散系數的方法.腔?自旋雜化系統固有的非厄米性是實驗上觀測到各向異性奇異點的基礎, 我們的實驗方案具有一定的普適性, 各向異性奇異點也可以在其他非厄米系統中實現, 我們的結果將會給其他基于非厄米性的相關物理系統的構造與應用提供參考.此外, 各向異性奇異點的引入為基于奇異點的靈敏傳感器的設計提供了額外的自由度.

感謝浙江大學物理系游建強教授的討論及文章撰寫的建議.

附錄A

對于腔光子?自旋波量子耦合系統的有效哈密頓量如正文中的(1)式所示: