高考復(fù)數(shù)問題的命題視角

劉勇華

復(fù)數(shù)在歷年各省市高考試卷及全國(guó)卷中均以選擇或填空題的形式出現(xiàn),題目難度不大,考查內(nèi)容主要涉及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)方程及復(fù)數(shù)的應(yīng)用等．本文進(jìn)行舉例說明．

1 考查基本概念

復(fù)數(shù)的概念主要包括:復(fù)數(shù)單位i的性質(zhì),復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等．準(zhǔn)確理解這些概念是求解問題的關(guān)鍵．

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

由復(fù)數(shù)單位的定義i2=-1,i4=1,所以i2 020=1,所以i+i2+i3+…+i2 020=0．

2 考查基本運(yùn)算

復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算包括:加、減、乘、除、相等,求解中要準(zhǔn)確理解、記憶相應(yīng)的運(yùn)算法則．如，復(fù)數(shù)的加、減法則，實(shí)部與實(shí)部相加減、虛部與虛部相加減;乘法法則,按分配律展開求解．除法法則，分母實(shí)數(shù)化．復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等．

3 考查復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,判斷復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是高考常考題型．

A. 第Ⅰ象限 B. 第Ⅱ象限

C. 第Ⅲ象限 D. 第Ⅳ象限

A. (x+1)2+y2=1

B. (x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1

4 考查復(fù)數(shù)方程的根

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),若Δ=b2-4ac<0,則方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有根,但方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)存在虛根．對(duì)于求高次方程的虛根,可通過因式分解、轉(zhuǎn)化等手段,將其化為低次方程求解．

A.p=-4,q=5 B.p=-4,q=3

C.p=4,q=5 D.p=4,q=3

(x2+ax+1)(x2+bx+1),

即

x4+x3+x2+x+1=
x4+(a+b)x3+(ab+2)x2+(a+b)x+1.

由對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得

5 考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用

在某些問題的求解中,復(fù)數(shù)可以作為一種解題工具,即通過構(gòu)造復(fù)數(shù)來解決問題．

證明令z1=x+yi,z2=a+bi,則z1+z2=(x+a)+(y+b)i,由復(fù)數(shù)的性質(zhì)，可知|z1|+|z2|≥|z1+z2|,所以