應(yīng)用橢圓中的焦點(diǎn)三角形為直角三角形解題

岳昌慶

本文中的焦點(diǎn)三角形指橢圓或雙曲線上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1,F2所組成的△PF1F2.

關(guān)于焦點(diǎn)三角形的面積及內(nèi)切圓的性質(zhì),已在拙文《淺議焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓》(《高中數(shù)理化》2016年第11期)及《淺議焦點(diǎn)三角形的面積》(《中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版)》2016年第11期)中做了相應(yīng)的研究.本文僅討論當(dāng)橢圓中的焦點(diǎn)三角形為直角三角形時(shí),直角頂點(diǎn)在哪兒，需要滿足什么條件，并通過(guò)歷屆高考題對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的考查,得出一個(gè)一般性結(jié)論.

圖1

(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;

(2)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.

(2)由于16=b2tan 45°,所以b=4,c2=a2-16.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,在Rt△F1PF2中,有∠F1PF2=90°,

m+n=2a,

①

m2+n2=4(a2-16),

②

由①得n=2a-m,代入②整理得

2)橢圓上滿足PF1⊥PF2的點(diǎn)P有時(shí)也被稱為“焦垂點(diǎn)”,見(jiàn)練習(xí)1.

2)本題中的點(diǎn)P的坐標(biāo)是可求的,若不加“|PF1|>|PF2|”的限制,本題點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)該有8解.類似題目,見(jiàn)本文練習(xí)2及練習(xí)3.

3)這類題目,如果命制巧妙,也可能出現(xiàn)點(diǎn)P的坐標(biāo)有6解的情況,見(jiàn)練習(xí)4.

鏈接練習(xí)

鏈接練習(xí)參考答案