“有理數”單元的“二進制”學習任務設計

鄭子杰/北京市十一學校教師

在2017 版《普通高中數學課程標準》中，把數學學科核心素養概括為：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。雖然在數學課程中或多或少地都體現了這些內容，但是找到落實核心素養的最佳載體則會事半功倍。例如，在初中數學的“有理數”單元，就是落實“數學運算”學科核心素養的一個特別好的載體。

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。通俗地講，培養學生“數學運算”核心素養就是希望學生通過中學數學課程的學習，掌握一些數學中常見數域（如有理數、實數、復數）的基本運算和運算規律，逐步提升數學運算能力，最終能夠有效借助運算方法解決實際問題。

“有理數”單元是學生從小學升入中學后，數學學習的第一個單元。顧名思義，“有理數”單元的學習內容包含有理數、有理數的四則運算以及交換律、結合律、分配律等運算規律。具體而言，“有理數”單元就是將小學的非負數拓展到有理數域。掌握有理數這個新數域所產生的新的運算——負數運算和絕對值，就成了“有理數”單元的重點內容?；谏鲜隼斫?，我們將“有理數”單元的學習目標設計為：理解和熟練掌握負數的運算以及絕對值的運算，并借助數軸輔助運算。

為了幫助學生完成單元的學習目標，我們對于整個單元采用了常規教學與“二進制”拓展學習任務相結合的方式。通過常規教學，學生掌握了負號和絕對值的定義和運算規則，學生通過習題演練，能夠逐漸熟悉這些新的運算，提升運算能力。但是，對于“數學運算”核心素養的培養不僅僅是對運算熟練度的培養，還包括對于運算本身的理解。

為了幫助學生加深對運算的理解，我們在“有理數”這個單元，除了常規的課堂教學設計外，還設計了“二進制”的拓展學習任務。“二進制”的學習任務，概括來講，就是讓學生圍繞“計算機中的二進制表示和運算規則”進行一系列研究性學習任務。

能夠用來設計任務的“數域”有很多，為什么要選擇計算機中的“二進制”呢？

首先，二進制是現代電子計算機中使用的數的表示方式。無線通信、人工智能等這個時代最先進的領域都無法繞過“二進制”的思想，例如，編碼中的伽羅華域、神經網絡中的激活函數等。

學生小組合作過程和學生設計的“二進制”原碼、補碼的數軸

其次，計算機中的“二進制”能夠承載“提升數學運算核心素養、讓學生真正理解運算”這個學習目標。在主流的計算機教材中，主要偏重編碼的操作過程，不會從“數域”和“運算”的角度做更深的闡釋。所以，學生無法直接拷貝現有的資料，只能沉下心來去探究這個“二進制”數域和運算本身。例如：在對于負數運算的理解方面，“有理數”單元中用一個“小橫杠-”來表示負號，而在計算機的“二進制”中（以補碼為例），需要用對應的二進制數來表示一個負數。雖然“小橫杠-”不存在了，但是“負數”的含義和相關的運算依舊存在。學生如果想要完成這個任務，就需要對負數和絕對值的運算有更深層次的理解。

二進制補碼對于負數的定義如此復雜，作為初一的學生能夠理解嗎？

如果從“有理數”數域直接遷移到計算機“二進制”補碼數域，即使是對于很多計算機專業的大學生，也是十分困難的。所以，為了能夠讓學生平穩順利地從課內學習拓展到“二進制”學習任務，就需要把任務拆解為若干個難度和認知水平逐漸上升的子任務。我們的“二進制”學習任務拆成三個子任務進行。

首 先，在子任務1中，我們先讓學生去研究普通的二進制表示的有理數域以及二進制下的四則運算。二進制表示的有理數域與十進制表示的有理數域的唯一區別是，在十進制有理數域下，數用阿拉伯數字“0”到“9”表示，而在二進制下，數只用“0”和“1”兩個數字表示，這個子任務的目的是讓學生熟悉用“0”和“1”兩個符號表示數。

然后，在子任務2 中，學生需要去研究計算機中的二進制原碼以及原碼的運算。原碼與普通二進制的兩個區別是：“位數有限”的限定和用“1”代替“小橫杠-”表示負數。通過這個任務，學生去研究一個含有無限個元素的數域及其運算上升到包含有限元素的數域，同時，用另一種符號“1”來表示“負”的含義。

最后，才是讓學生去探究二進制補碼以及補碼的運算，學生需要在子任務1 和2 的基礎上，探究循環數域中負數運算和絕對值運算的含義。對于每一個子任務的探究，我們都要求學生進行一遍研究新數域的流程：先研究數域中的數的特征，再研究該數域中的運算特征，最后再去設計圖形化的工具（如數軸）直觀理解運算。

我們將這項任務作為為期一個月的課外拓展作業布置給學生。完成的形式是小組合作，要求學生們組成不超過四個人的小組完成任務，遇到困難時，可以在下午自由活動時間進行充分討論。同時，我們也提供一些涉及“二進制”的知識網站鏈接，供學生們根據需要自行選擇學習，從而培養他們現代化工具的使用以及信息查詢提取的能力。在任務結束的時候，要求每一位學生填寫“自我評價表”，來沉淀和反思自己的收獲。最后，我們會把任務的整體設計思路、背景知識以及學生們任務完成中的閃光點進行整理，以講座的形式與學生們分享。

從效果上看，這次任務充分實現了預期目的，讓學生們學會“如何去研究一個新的數域和數域中的運算”。例如，有的學生深刻地體會到了計算機中“二進制”原碼和補碼的位數有限的特征和負號的特殊表示形式，仿照“有理數”單元中的數軸工具，設計出“8”字和圓圈類的數軸來輔助運算。這些設計是現有資料中搜索不到的，需要對二進制循環域中的負數運算有著深刻理解并加以創造才能完成。

通過這次“二進制”學習任務，除了加深學生對于“數域中的數學運算”理解外，切實提升了學生“數學運算”的核心素養。學生們的數學想象力和創新意識也得到了充分拓展和發揮。同時，閱讀能力、信息檢索能力、論文寫作能力、團隊合作能力等方面也得到了全方位的提升。