基于稀疏和低秩Hankel矩陣分解的SAR圖像相干斑抑制①

蔡金萍 趙曜

(廣東工業(yè)大學信息工程學院 廣東廣州 510006)

關(guān)鍵字：合成孔徑雷達 相干斑抑制 低秩Hankel矩陣分解 稀疏

合成孔徑雷達（Synthetic Aperture Radar,簡稱SAR）是用于地球環(huán)境監(jiān)測、地質(zhì)災害調(diào)查等多種遙感應用的一項重要技術(shù)，具有全天時、全天候、工作距離遠、高分辨率等優(yōu)點，因而在遙感領(lǐng)域中得到了廣泛的應用。與其他相干成像系統(tǒng)一樣，SAR系統(tǒng)所成圖像存在大量相干斑噪聲，不僅影響了圖像的質(zhì)量，而且阻礙了圖像信息的提取。因此，相干斑噪聲的抑制是SAR圖像處理中一個重要的步驟。

圖1 含噪圖像矩陣提升到Hankel矩陣的示意圖

圖2 圖像Peppers降噪的效果圖

目前，已經(jīng)提出許多有效抑制相干斑噪聲的方法，大體上可以分為成像前的多視處理方法和成像后的濾波器處理方法兩個大方向[1]。其中Bhanu等[2]提出的多視處理方法通過降低處理器的帶寬來形成多視子圖，然后在各子圖之間進行對應像素點的非相干疊加，從而有效地抑制相干斑噪聲。此方法犧牲了空間分辨率，多視子圖的增加會使得SAR圖像的細節(jié)信息丟失。其中Lee濾波[3]、Kuan濾波[4]、Frost濾波[5]這幾種濾波器方法的處理效率高、操作簡單，但所得圖像的清晰度和相干斑噪聲的抑制效果和場景有關(guān)。隨著變分和偏微分方程在圖像處理中的應用不斷深入，TV模型[6-8]和TGV模型[9]已經(jīng)成功地應用到圖像的去噪、修復以及放大等多個處理過程中，取得了可觀的效果。文獻[10]提出一種自適應總?cè)儾罘椒ǎㄟ^求解TV正則化式子來解決SAR圖像相干斑噪聲的問題，具有良好的圖像銳度和邊緣保持性能。針對TV模型階梯效應的問題，F(xiàn)eng[11]等人提出一種基于總廣義全變差的SAR圖像相干斑抑制模型，該模型不能較好地恢復圖像紋理。文獻[12]提出了一種基于非下采樣輪廓波變換（NSCT）和紋理模型的相干斑噪聲抑制算法，利用紋理模型進行自適應閾值處理，從而得到邊界清晰的圖像，但該算法沒有利用像素點及其領(lǐng)域像素的相關(guān)性，在去噪效果上容易出現(xiàn)局部亮點的現(xiàn)象。

圖3 SAR河流區(qū)域圖像的相干斑抑制比較圖

圖4 SAR山脈區(qū)域圖像的相干斑抑制比較圖

研究表明[13]，如果圖像中存在噪聲會導致頻域中的頻譜稀疏，存在一個與之相對應的湮滅濾波器，可以去除圖像中的噪聲。此外，可以根據(jù)湮滅濾波器構(gòu)建低秩的Hankel矩陣，其秩由頻譜域中的稀疏度決定。因而本文提出了一種基于稀疏和低秩Hankel矩陣分解的SAR圖像相干斑抑制算法，利用Hankel矩陣自身所具有相關(guān)性，解決以上所述的不足。該算法主要分為兩個階段：第一個階段，對SAR圖像進行對數(shù)處理，然后提升到Hankel矩陣，接著利用魯棒主成分分析進行低秩矩陣分解，從而解耦圖像中的相干斑噪聲分量。第二個階段，利用交替方向乘子法（ADMM算法）解決該模型的優(yōu)化問題。

本文將在第1節(jié)中介紹低秩Hankel矩陣分解的相關(guān)理論知識，其中1.1節(jié)介紹低秩Hankel矩陣的定義，1.2節(jié)介紹低秩Hankel矩陣分解模型。第2節(jié)將詳細介紹所提算法的步驟。第3節(jié)將從模擬實驗和真實數(shù)據(jù)的實驗效果進行分析，驗證本文所提算法的可行性和有效性。第4節(jié)將對全文工作進行總結(jié)。

表1 圖像Peppers降噪的評價指標比較

表2 不同區(qū)域相干斑抑制的評價指標比較

1 低秩Hankel矩陣的介紹及其分解模型

1.1 低秩Hankel矩陣

Hankel矩陣是一種特殊的結(jié)構(gòu)矩陣，該矩陣在數(shù)值分析、圖像處理、系統(tǒng)辨識等眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應用。設(shè)離散數(shù)字序列為，則序列X的第i列向量一維Hankel矩陣可以表示為：

由式子（1）可以看出，矩陣的各行是由序列X以長度為p的滑動窗口截取得到，每次向右滑動1個距離單位，也就是說Hankel矩陣的反對角線上的元素是相同的，各行之間具有很大的相關(guān)性。

根據(jù)式（1）的一維Hankel矩陣，我們可以寫出相應的二維Hankel矩陣，具體如下式子所示：

根據(jù)文獻[14]的定理一可以得知，在含噪圖像矩陣中，式（1）和式（2）是一個近似低秩矩陣，可以通過低秩Hankel矩陣分解的方法來進行圖像降噪處理。

1.2 低秩Hankel矩陣分解模型

由上一節(jié)可知式（2）是一個二維近似低秩矩陣，利用文獻[15]中所提魯棒主成分分析（RPCA）方法進行低秩矩陣分解，可將該式子重寫為：

其中H(x)表示對圖像x提升到Hankel矩陣，S為低秩Hankel矩陣，E為稀疏Hankel矩陣。使用該模型進行噪聲抑制是基于加性噪聲的，而雷達相干斑噪聲是乘性噪聲，對SAR圖像進行對數(shù)變換后，可以將乘性噪聲轉(zhuǎn)換為統(tǒng)計上獨立于場景的加性成分。由于SAR圖像信息大部分集中在低秩Hankel矩陣，而相干斑噪聲主要由稀疏噪聲引起的，所以在本文中設(shè)定S為提升到Hankel矩陣的相干斑噪聲抑制SAR圖像信號，E為提升到Hankel矩陣的圖像噪聲信號。

2 稀疏和低秩Hankel矩陣相干斑噪聲抑制的算法

假設(shè)M表示含有相干斑噪聲的SAR圖像矩陣，L表示相干斑噪聲抑制的SAR圖像矩陣，N表示噪聲組成的稀疏矩陣，則M可以表示為：

本文算法中根據(jù)Hankel矩陣所具有的線性性質(zhì)，將L和N都提升到Hankel矩陣，如圖1所示。

通過以上分析，假設(shè)N中的稀疏分量提升到Hankel矩陣中也是稀疏的，對于給定的SAR圖像度量矩陣，為抑制圖像中所含的相干斑噪聲，可以模擬為解決以下最小化問題：

Hankel變換在本質(zhì)上增加了矩陣的階數(shù)，從而增加了求解計算的復雜度和內(nèi)存需求。為了在一定程度上解決這一問題，對于式（6）的約束可以使用ADMM[16]方法處理，結(jié)合核范數(shù)分解[17]形式，可以寫出其相應的拉格朗日函數(shù)：

其中，U和V表示兩個矩陣，上標H表示為矩陣的Hermitian轉(zhuǎn)置，則H(L)可以表示為H(L)=UVH。Ω和Θ表示拉格朗日乘子，表示復數(shù)矩陣在希爾伯特空間的內(nèi)積，ρ和σ為懲罰參數(shù)。則ADMM的迭代步驟為：

通過循環(huán)迭代式（8）-（13），直到滿足輸出參數(shù)閾值要求或者迭代次數(shù)要求，則輸出優(yōu)化求解結(jié)果，從而得到抑制相干斑噪聲的SAR圖像。

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 實驗指標

本文將從兩個方面評價本算法的性能與效果：第一，從主觀效果進行人類視覺感官比較；第二，基于特定的參數(shù)進行定性分析。本文在模擬實驗中引用了三個評價指標驗證算法的有效性，分別為SAR圖像相干斑噪聲抑制性能指標（DEI）[10]、峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE），DEI作為真實數(shù)據(jù)實驗的主要參考指標。其中MSE指標表示真實值與預測值之間差平方的期望，反映兩者之間的偏差，所以MSE的值越小越好。PSNR通常用來評價圖像修復后與原圖像相比質(zhì)量的好壞，其值越大越好。而DEI是基于小鄰域和大鄰域標準差(std)比值設(shè)計的，用于評估SAR圖像的邊緣保持和相干斑噪聲的去除效果，定義如下：

其中N表示SAR圖像的總像素，表示以(p,q)為像素中心，圖像大小為m×m的移動窗口，同理表示以(i,j)為像素中心，圖像大小為n×n的移動窗口。在平滑的區(qū)域中，式（14）DEI的比值接近于1；而在邊緣豐富的區(qū)域中，式（14）右側(cè)的分母遠遠大于分子，DEI的比值遠遠小于1。也就是說，當分母窗口足夠大，至少能覆蓋一個真實的邊緣特征時，DEI的值越小，SAR圖像的相干斑噪聲的抑制效果越好。

3.2 模擬圖像斑點實驗

實驗使用了著名的光學圖像Peppers，其中圖像被添加均值為0，方差為0.02的高斯白噪聲污染，然后將本文的算法和其他4種算法做比較：Lee[3]濾波、Frost[5]濾波、TGV[11]算法、NSCT[12]算法，實驗結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，本文算法的相干斑噪聲抑制效果最好，保持圖像邊緣信息的同時抑制相干斑噪聲。表1給出了不同算法指標的比較，其中DEI指標使用5×5分子窗口和19×19分母窗口計算得到。根據(jù)表格可以得出，本文提及的算法都能夠達到一定程度的相干斑噪聲抑制效果，其中Lee濾波和Frost濾波的效果比較差，兩者的MSE值比其他算法的大，PSNR值比其他算法的小。NSCT算法和TGV算法的效果比前兩種方法好，而本文算法的MSE值和DEI值最小，PSNR值最大，相干斑噪聲的抑制效果最好，說明本文算法的可行性。接下來將本文算法應用到SAR數(shù)據(jù)中，進一步驗證算法在SAR圖像相干斑抑制的有效性。

3.3 不同地區(qū)的主觀效果圖比較實驗

3.3.1 基于SAR河流區(qū)域圖像的實驗

圖3所示分別為SAR河流區(qū)域圖像的Lee、Frost、NSCT、TGV和本文稀疏和低秩Hankel矩陣分解的實驗結(jié)果，該區(qū)域有效的測試河面和陸地的相干斑噪聲抑制能力，本文對這幾種算法進行對比實驗。從結(jié)果中可以看出，圖3（c）Frost 濾波和圖3（b）Lee 濾波處理的視覺效果最差，保持了完整的圖像邊緣，但仍然存在大量噪聲；圖3（d）NSCT算法視覺效果相對較好，存在零散的亮點，實驗效果仍有待提高。圖3（e）TGV算法得到了較好的抑制效果，存在細節(jié)信息有所丟失的問題。而圖3（f）所示效果與圖3（e）效果相近，但相比TGV算法，其邊緣信息比較清晰和完整。

3.3.2 基于SAR山脈區(qū)域圖像的實驗

圖4所示為山脈區(qū)域的實驗結(jié)果。其中，圖4（f）所示結(jié)果相對于其他幾種算法，相干斑噪聲的抑制效果明顯，并且保留了原有山脈紋理和細節(jié)信息；Lee濾波處理和Frost濾波處理對圖像進行了無區(qū)別平滑處理，處理效果不明顯，相干斑噪聲的問題依然嚴重。NSCT算法也有較好的視覺提升，但沒有達到更好抑制相干斑噪聲的效果。TGV算法的相干斑噪聲抑制效果雖然較好，卻丟失了山脈應有的細節(jié)和紋理信息。

3.4 特定參數(shù)的定性分析

為了進一步驗證以上所提新算法的有效性，將從DEI指標進行定性分析。本實驗針對上一實驗選取的河流和山脈兩個區(qū)域進行相關(guān)參數(shù)的計算，結(jié)果如表2所示。從表中可以看出5種算法都能夠在一定程度上抑制相干斑噪聲，不管是哪個區(qū)域，F(xiàn)rost濾波算法的DEI值最小，相干斑噪聲的抑制最差；而Lee濾波算法相對于Frost濾波算法有一定的提高，但是效果不明顯；NSCT算法和TGV算法的DEI值相對濾波器方法取得較低值，但圖像的平滑性能和相干斑噪聲抑制效果都有待提高；而本文所提算法DEI值最小，抑制效果最為明顯，并且保存了圖像的有效信息。對比不同區(qū)域之間的DEI可以發(fā)現(xiàn)，不管是在山脈等脈絡(luò)清晰、具有明顯高低起伏的區(qū)域，還是在河流等紋理簡單、平緩的區(qū)域，本文算法的相干斑噪聲抑制效果都最明顯。總的來說，基于稀疏和Hankel矩陣低秩分解算法具有較好的性能，能夠有效的抑制相干斑噪聲，更有利于后續(xù)的應用處理。

4 結(jié)語

本文以SAR圖像信號為研究對象，介紹了基于稀疏和低秩Hankel矩陣分解的SAR圖像相干斑噪聲抑制方法，將對數(shù)處理后的SAR圖像信號進行Hankel矩陣提升，然后將Hankel矩陣分解的稀疏噪聲信號做降噪處理，從而達到相干斑抑制效果。對比兩種不同特征區(qū)域的實驗結(jié)果可以看出，本文算法不管是河流區(qū)域還是山脈區(qū)域的圖像，都能夠更好地保留邊緣細節(jié)信息和山脈紋理信息，提升圖像的平滑性能，達到更好的相干斑抑制效果。