如何應對導函數的“隱零點”

李連海 張艷利

函數的“隱零點”是指客觀存在,但無法直接求出的零點．導數法是求解或證明不等式恒成立問題的常用工具,即通過構造函數,將所求問題轉化為求目標函數的最值問題.求最值的關鍵是判斷函數的單調區間,而導函數的零點往往是函數單調區間的分界點,因此，導函數零點的求解就顯得至關重要．但對于“隱零點”同學們往往一籌莫展.本文通過“構造函數、利用導數”解決一道不等式證明問題為例,提出幾種應對“隱零點”的策略,供讀者參考．

1 放縮函數

證明因為x≥lnx+1(x>0)(在應用此不等式時,應先給出證明,此處略),所以f(x)=(2x-1)·lnx+x≥(2x-1)lnx+lnx+1=2xlnx+1．

2 設而不求

對函數f(x)求導后,能夠判斷出導函數存在零點,但無法直接求解時,可利用“設而不求”法,即設導函數的零點為x=x0,而進一步可判斷出函數f(x)在x=x0取得最值,此時可將f(x0)與f′(x0)=0聯立,求其最值．

①

在區間(0,x0)內,f′(x)<0,f(x)單調遞減;在區間(x0,+∞)內,f′(x)>0,f(x)單調遞增．所以

fmin(x)=f(x0)=(2x0-1)lnx0+x0.

②

又因為h(1)=0,所以h(x)>0,即f(x0)>0，所以f(x)>0.

3 找關鍵點

當x∈(1,+∞)時,2x-1>0,lnx>0,故(2x-1)lnx+x>0恒成立;

4 分離函數

若采用直接法構造后,所得函數的導函數零點不易求得,則可考慮將所證不等式轉化為兩個熟悉的函數,分別求函數的最值．

5 轉化函數

若函數中含有lnx與其他函數相乘或相除的項,直接求導,則導函數中仍含有lnx,不易求出導函數的零點．因此可考慮先將lnx“獨立”出來,再求導．

證明欲證f(x)=(2x-1)lnx+x>0,

①

綜上所述，f(x)>0恒成立．

綜上所述,處理導函數的“隱零點”問題,可以利用放縮函數、找關鍵點、設而不求等方法.當然除了上述幾種方法,還可以應用直接或間接分析法、二次求導法等,在此不再舉例．希望同學們不斷歸納總結,以便能夠靈活應對導函數的“隱零點”問題．