基于目標規劃模型的新建學校選址問題

耿淑莉 趙紅

摘? 要：基礎教育設施中新建學校選址是很重要的問題，本文基于某市某區2017年公立小學學區劃分情況，由出行成本確定備選點，利用目標規劃方法，在Lingo和MATLAB軟件支持下進行新建學校選址。以降低總體出行成本和提高總體服務效用為目標，依據學校、居民單元及道路交通數據，構建學區劃分優化的多目標線性規劃模型。采用線性加權方法將多目標問題轉化為單目標問題進行求解，在此基礎上建立新建學校選址的非線性目標規劃模型，進一步縮小備選點的范圍。最后利用學區劃分優化模型逐個測試余下備選點，得到新建學校的最優選址。

關鍵詞：目標規劃? 學區劃分優化? 新建學校選址? Huff模型

中圖分類號：P208? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2020）08（a）-0239-04

Abstract： The location of new schools in basic education facilities is a very important issue. Based on the division of public primary school districts in a certain district of a city in 2017， the candidate points are determined by the travel cost， and the goal programming method is used to solve this problem with the support of Lingo and MATLAB software. With the goal of reducing overall travel costs and improving overall service utility， based on school， residential unit and road traffic data， a multi-objective linear programming model for the optimization of school district division is constructed. The linear weighting method is used to convert the multi-objective problem into a single-objective problem for solution. And on this basis， a nonlinear goal programming model for the location of new schools is established to further narrow the range of candidate points. Finally， the school district division optimization model is used to test the remaining candidate points one by one to obtain the most optimal location for the new school.

Key Words： Goal programming; Optimization of school district division; Location selection of new school; Huffmodel

基礎教育是國家發展的基礎，其均衡發展逐漸成為我國關注的重點。但在我國義務教育實施過程中就近入學難與擇校現象依舊比較突出，主要原因就在于空間分布不均、學校規模不合理與學區劃分不妥當[1]。本文考慮建立新學校優化教育資源，為政府部門提供決策意見。為此，本文基于運籌學知識，建立了系列目標規劃模型研究新建學校選址問題。

1? 研究區域概況

某區是某市行政區之一，截至2017年末，全區常住人口達58.53萬人，公立小學25所。根據該區某路某號劃分居民單元，共有1736個居民單元。本文采用具有距離衰減系數的結合重力模型的兩步移動搜索法[2]，計算了居民單元可達性（表示學生獲取學校服務的難易程度）和學校供需比（表示學校人均服務能力），可達性越高說明獲取學校服務越容易，供需比越大說明學校服務能力越強。由圖1（ 紫色圓點代表居民單元，紅色圓點代表學校）可知，該區西部教育資源明顯優于中部和東部，說明當地教育資源配置不合理。

2? 數據處理

學校數據指學校學位數，本文將學校綜合評分作為其服務質量，居民單元數據為單元內居住的在校學生總數，道路交通數據是二者間最短步行時間（速度1.1～1.2m/s）。出于建立模型的實際需要和可操作性，本文利用地圖無憂軟件繪制了不同時間范圍內居民單元的步行區域，最后選擇將20min內不能到達任何學校的24個居民單元作為新建學校的備選點。由圖2可知，備選點均位于中部和東部，說明該選擇是合理的。

3? 目標規劃模型

3.1 學區劃分優化模型

已知當前學區劃分存在不合理現象，因此本文在選址前先進行學區劃分優化。采用多目標規劃方法，本文以就近入學為原則，在學校數量、位置和學位數確定的前提下將全部學生分配到臨近學校，使其達到降低總體出行成本和提高總體服務效用j的目標，建立0-1整型線性規劃模型：

模型中，居民單元指標集I={1，2，…，m}（m=1736），居民單元i學生數為ai;學校指標集J={1，2，…，n}（n=25），學校j學位數為bj，服務質量為sj;tij為居民單元i到學校j的出行成本（最短步行時間），t0為其限制（60min），pij為學校j對居民單元i的服務效用。根據Huff模型[3]，pij主要取決于sj和tij。學校的服務質量越高，出行成本越低，對居民單元中學生的服務效用也就越大[4]。其中I，J，ai ，bj，sj，tij，t0均為已知量;xij為決策變量，取值為0或1，xij=1表示將居民單元i劃分到學校j。

優化目標（1）全部學生到學校的總體出行成本最小，（2）學校對全部學生的總體服務效用最大;約束條件（3）居民單元i中每個學生到學校j的出行成本不能超過限制，（4）劃分到學校j的學生不超過其學位數，（5）居民單元i中全部學生劃分給某一學校。

本文采用線性加權方法求解該模型[5]，為保證目標函數數量級的一致性，本文由總體出行成本最小模型：優化目標（1），約束條件（3）、（4）、（5）、（6）和總體服務效用最大模型：優化目標（2），約束條件（3）、（4）、（5）、（6），分別得到總體最小出行成本T0和總體最大服務效用P0。將多目標函數歸一化處理得單目標函數：

其中α∈[0，1]，以0.1為步長取值，利用Lingo軟件可得全局最優解。當α=0時為總體出行成本最小模型，當α=1時為總體服務效用最大模型。

3.2 新建學校選址模型

由于建立新學校目的同樣是降低總體出行成本和提高總體服務效用，本文在學區劃分優化模型的基礎上建立了單目標非線性規劃模型，以實現對新建學校備選點的篩選。首先將學校服務質量劃分為四個等級：v∈{1，2，3，4}，第v等級的學校服務質量為sv;新建學校備選點指標集K={1，2，…，μ}（μ=24），tik為居民單元i到備選點k的出行成本，pikv為備選點k建立第v等級學校對居民單元i中學生的服務效用[6]。則總體出行成本為;總體服務效用為

其中xik和ykv為決策變量，取值為0或1，xik=1表示將居民單元i劃分到備選點k，ykv=1表示備選點k將建立第v等級的學校。約束條件（9）任一居民單元中學生到任意學校的出行成本不能超過其限制;（10）每個居民單元中學生只能劃分到某一學校（整體劃分）;（11）新建學校的數量為一個;（12）新建學校只能為某一等級;（13）只有在將新建學校的備選點才能劃分到居民單元中的學生（整體劃分）。

同樣將α依次取值，利用Lingo軟件可得局部最優解。為得到最優學區劃分結果，本文只參考ykv的值，且不考慮等級。通過α的11個取值，最后得到5個備選點k∈{1，4，9，14，16}，分布如圖3所示。其中紅色菱塊代表現有公立小學，黃色菱塊代表初始備選點，紫色菱塊代表篩選出的5個備選點，其藍色標號為初始備選點序號。

3.3 確定新建學校選址

為保證新建學校可以達到最優學區劃分，本文決定利用學區劃分優化模型依次測試上述備選點。此時將學校指標集擴充為J={1，2，…，26}，假設新建學校的學位數，服務質量s26=maxj{sj}，居民單元i到新建學校的出行成本di26=dik。

利用Lingo求解上述系列模型可得全局最優解，再利用MATLAB計算每個模型的總體出行成本T，平均出行成本，總體服務效用P，平均服務效用以及與已知學區劃分情況的重疊率lap，重疊率越高說明政府需要調整的地方越少，即可操作性越強。為綜合三者對模型的影響，本文定義了模型評價指標F。T越小，P越大，lap越高，其F值越大，也說明該模型的實用性越強。

經計算，當前學區劃分下=14min，=0.4564， lap=1，F=0.4406。由于k=16時結果比已知情況更糟，沒有再考慮的必要性，因此本文僅對比分析其余4個備選點。結果如圖4至圖7所示，其中Model_n0為沒有新建學校的學區劃分優化模型，Model_n1、Model_n4、Model_n9、Model_n14分別為在備選點1、4、9、14處新建學校的學區劃分優化模型。

從出行成本看（如圖4），上述模型均降低一半左右的，考慮新建學校的學區劃分優化模型的結果更優，其中Model_n1和Model_n4的下降幅度最大且基本一致，Model_n14略次之，Model_n9下降幅度最小;從服務效用看（如圖5），上述模型均提高了，考慮新建學校的學區劃分優化模型結果更優也更加穩定，其中Model_n1和Model_n4的上升幅度最大且基本一致，Model_n14略次之，Model_n9上升幅度最小;同時從圖4至圖5可知，隨著α值的增大，各模型的和也隨之增大，這與目標函數設置情況一致。從重疊率看（如圖6），Model_n0要明顯優于其他模型，與實際情況吻合。綜合來看（如圖7），考慮了新建學校的模型更能滿足三個方面的均衡需求，這表明了建立新學校的必要性。其中Model_n1和Model_n4結果最優且基本一致，Model_n14略次之，Model_n9最差。又由圖3可知，備選點1和備選點4的位置相近，因此本文將其中點作為新建學校的選址。

4? 結語

本文根據某市某區2017年數據，首先從可達性與供需比分析了當地教育資源分配的不合理性，經出行成本確定出備選點后，建立了學區劃分優化的多目標線性規劃模型和新建學校選址的非線性規劃模型，逐步縮小備選點的范圍。最后從出行成本、服務效用和重疊率三個角度出發，利用學區劃分優化模型依次測試余下的備選點。通過對比F的值可以發現，備選點1和4的結果最優，又考慮到地理因素，本文將其二者中點作為新建學校的最終選址。通過與已知學區劃分情況及其優化結果對比可知，本文關于新建學校的選址方法是可行的，能為執政者建立新學校提供輔助幫助。

參考文獻

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[2] 李淑瑤，忻靜.基于上海市地理國情成果的學生就學可達性測度與學區優化分析[J].城市勘測，2019（2）：28-34.

[3] 趙冬.HUFF模型的改進及其在城市公園綠地服務能力分析中的應用[D].沈陽：沈陽農業大學，2017.

[4] 劉芳.新零售生鮮超市選址問題研究[J].商訊，2019（4）：27-28.

[5] 周春輝，陳銘章，何義才，等.復雜水網中船舶航行路徑多目標規劃模型[J].中國航海，2017，40（2）：78-82.

[6] 夏明飛.考慮服務半徑約束的帶預見性競爭選址問題研究[D].北京：清華大學，2015.