基于有限差分法的大線能量焊接熱模擬試件的溫度分布

李矗東,2，魏 強，李玉中，黃宏虎

(1.新興鑄管股份有限公司，北京 100026；2.北京科技大學 東凌經濟管理學院，北京 100083)

近年來，造船業不斷發展，傳統的船板鋼已不能滿足實際工業需求，在焊接方面主要表現為傳統的小線能量焊接施工效率低，而大線能量焊接用鋼性能則難以保證[1-3]。其中鋼板焊接燒穿問題是影響線能量提高的重要原因。燒穿的本質是未熔化的金屬不能承受其所受到的應力。例如，在管線鋼服役期，維護工作不可避免。在焊接進行時，管道內部存在流體會產生壓力，而焊接過程的高溫會降低管道的承壓能力，當承壓能力低于壓力時，燒穿問題不可避免。就大線能量焊接船板鋼而言，雖然不存在流體壓力的影響，但是線能量的增加會降低鋼板的承壓能力，導致鋼板焊穿。Akbari等[4]研究了脈沖激光焊接條件下的熔池溫度分布溫度，建立了三維導熱微分方程，預測了熔池的深度和寬度。Yadaiah和Bag[5]研究了焊接過程的熱源問題，利用有限元法建立了氬弧焊的熱源模型，并說明了熱傳遞過程中的溫度分布情況。然而，焊接熱模擬技術是改善焊接工藝的重要研究手段，文中將從溫度的角度，分析大線能量焊接熱模擬試件的溫度分布問題，為焊接工藝提供一定的理論基礎。

1 數值模型建立

本模型以焊接熱模擬為例，探究線能量為100 kJ·cm-1的熱模擬試件熱量傳遞問題。溫度場分布可分為三個階段進行描述，一是升溫階段，熱量的總和增加。二是保溫階段，三是冷卻階段，在以下模型中主要討論試件的升溫以及保溫階段。

1.1 焊接熱模擬參數

針對試驗鋼(厚度為25 mm)，進行線能量為100 kJ·cm-1的焊接熱模擬實驗。將試驗鋼垂直于軋向取樣，加工成Φ6 mm×80 mm試樣，在Gleeble3500試驗機上進行焊接熱模擬[6]。從室溫以150 ℃/s的加熱速度將試樣加熱至峰值溫度,高溫保溫3 s，再以一定的速度進行冷卻。設定熱模擬參數，根據軟件所生成的不同t8/5程序，繪制焊接熱循環曲線如圖1所示。熱模擬的各項參數如表1所示。

圖1 焊接熱循環曲線

表1 熱模擬程序參數

用砂紙打磨試樣表面直至光亮，避免試樣在進行熱模擬的過程中發生斷裂。用游標卡尺找到試樣的中點，并做好記號。在試樣中點處點焊一對K型熱電偶(用于測溫，測溫范圍在8 ～18 mm)，并保證熱電偶的牢固性。將焊有熱電偶的試樣安裝在相應規格的卡具上，保證裝配的穩固性。在工作室抽成真空狀態之后，填充高純氬氣作為保護氣體。利用Gleeble3500試驗機專用的編程軟件進行程序的編制，然后運行。

1.2 焊接熱模擬傳熱模型

在焊接過程中，試樣從室溫25 ℃加熱1 350 ℃并保溫3 s的過程中，試樣處于吸熱狀態。在冷卻過程中，試樣整體屬于放熱狀態，整個過程中不考慮輻射傳熱。

根據能量守恒原理以及傅里葉定律，對試件進行微分處理，可建立導熱微分方程[7]。

(1)

式中：ρ為試件的密度，7.8 g·cm-3；c為試件金屬的比熱容，0.7 J·g-1·oC-1；λ為試件金屬的導熱率，0.5 J·cm-1·oC-1；qv為單位時間，單位體積的物體生成的熱量，J·cm-3·s-1。

將整個過程分為2個時間段考慮:①從室溫以150 ℃·s-1的加熱速度將試樣加熱至峰值溫度(1 350 ℃);②在峰值溫度高溫保溫3 s。根據式(1)建立控制方程和定解條件，在各邊界上設定第一類邊界條件。然后進行空間離散化，最后建立代數方程。

2 數值模型求解

2.1 推導有限差分法傳熱方程

在有限元分析中，單元內的任意點(x,y,z)的場變量ψ(x,y,z) 需要通過選定插值形式來確定。根據單元節點值進行插值的求解。以節點溫度作為參考量，表示單元內的某一點溫度，由此構建插值函數[8-11]。

將溫度函數看作三維方向的傳導函數，即溫度僅在(x,y,z) 三個坐標軸方向傳導，即單元中某一點 (x,y,z)的溫度函數為

t(x,y,z)=(tx,ty,tz)

(2)

對于空間內的任意點而言，熱量可雙向傳遞，但在兩個傳遞方向上，熱量的傳遞情況不同，如圖2所示。

圖2 熱量傳遞示意

(3)

同理

(4)

(5)

為獲得離散化的時間和空間，將空間按立方體分割，取試件上的某一微元體，如圖3所示。

圖3 空間離散示意

設定網格元的某個頂點坐標為(x,y,z)，可記為

(x,y,z)=(iΔx,jΔy,kΔz)

(6)

式中：Δx,Δy,Δz分別為x軸，y軸，z軸上的步長，i，j，k為整數。在時間上，取時間步長為Δτ，則n時刻為nΔτ，據此劃分原則，任意一個空間和時間上的溫度函數可表示為

tn(i,j,k)=tn(iΔx,jΔy,kΔz)

(7)

根據微分學原理以及一維穩態傳熱可知，當試件內的溫度是一個連續函數，那么在某一點b處的導數可用極限表示[12-16]。

(8)

根據式(8)建立三維非穩態導熱的差分方程，利用向前差商近似代替一階偏導數式(9)，利用中心差商近似代替二階偏導數式(10)。

(9)

(10)

將式(9)和式(10)帶入式(1)中，可得式(11)。

(11)

若采用正方體網格，可得到式(12)方程。

(12)

2.2 邊界條件設立

熱模擬的加熱原理是依靠電阻自身加熱，因此，假設熱源在整個試件的中心。加熱速度為150 ℃·s-1，在0～8.8 s的時間范圍內，加熱溫度T=150τ+25。設定熱電偶的測定范圍為8 mm，在保溫階段，熱電偶檢測范圍內的溫度均達到1 350 ℃。

在物體的傳熱問題上存在著三種邊界條件，具體如下[17]：

第一類邊界條件：物體的邊界溫度隨時間的變化規律一定。

t=f(x,y,z,τ)

(13)

在較為簡單的傳熱過程中，物體的邊界溫度可為常數。

第二類邊界條件：在物體的邊界上，各個位置的熱通量與時間的函數關系一定。

(14)

式中：qw可為常數或是時間函數。當物體邊界處于絕熱狀態時，qw=0。

第三類邊界條件：物體周圍介質的溫度tf和物體與邊界之間的對流傳熱系數h一定。

(15)

式中：Δt為物體溫度與物體周圍介質的溫度tf的差值,℃。

根據熱模擬試驗機的加熱原理，假設以下邊界條件：

(1)在加熱升溫過程中，假設試件中心3 mm厚的單元體為發熱中心，如圖4所示。

在加熱過程中，以yOz面為界，試件左側與試件右

圖4 試樣熱影響區示意

側的傳熱規律相同。因此以試件左半部分為例進行分析，在升溫過程(即0～8.8 s)中，熱量變化Q服從式(16)。

Q=cmΔt=cρV(150τ)

(16)

式中：V為試件左半部分的加熱單元體體積。

(2)假設試件其余位置的溫度為室溫25 ℃，不考慮輻射傳熱。由于工作室抽成真空狀態之后，填充高純氬氣作為保護氣體，在此條件下，可忽略對流傳熱。

2.3 偏微分方程的Matlab解法

在尋找某一物體的傳熱規律時，通常需要求解相應物理條件下所滿足的傳熱方程，通常所遇到的是橢圓型偏微分方程(17)和拋物型偏微分方程(18)[17]。

-▽(cu)+au=f,inΩ

(17)

(18)

式中：Ω為有界區域，c；a,f以及未知函數u是定義在Ω上的函數；d是定義在Ω上的復函數。在拋物型方程中，c,a,f,d均可為時間的函數。

利用Matlab中的PDE工具箱求解偏微分方程，主要存在兩個邊界條件，一是Dirichlet條件，二是Neumann條件[18-21]。

Dirichlet條件：

hu=t,in?Ω

(19)

Neumann條件：

(20)

根據式(19)與式(20)中,g,q和h是定義在?Ω上的函數。對拋物型方程而言，系數g,q和h可以是關于時間t的函數。

3 結果與分析

由于加熱區域為3 mm厚的單元體如圖3所示。因此，在xOz平面上傳熱分布有較大區別，觀察面定義在xOz平面。試件尺寸為10 mm × 10 mm × 60 mm,利用Matlab中的PDE工具箱對偏微分方程進行求解，求解結果如圖5所示。

圖5 溫度分布

圖5(a)和圖5(b)分別為升溫1 s和2 s時的溫度分布圖。圖5(c)和圖5(d)分別為升溫3 s和4 s時的溫度分布圖。圖5(e)和圖5(f)分別為升溫9 s，以及升溫9 s且保溫3 s時的溫度分布圖。通過對比發現，在升溫2 s后的等溫區域比升溫1 s后的等溫區域小，中心溫度也比較高。在升溫過程中，加熱單元體處于升溫狀態，因此，中心區域(即觀察圖左側)的溫度不斷升高。在加熱初期，由于傳熱規律不穩定，在等溫區域上存在較大的差別。在升溫3、4 s后，雖然中心溫度及邊緣溫度均處于升高階段，但傳熱規律穩定，等溫區域面積基本相同。在4～8 s時間段內，傳熱規律大致相同。在9 s時，升溫停止，處于保溫狀態，與3～8 s時間范圍內的傳熱規律相比，等溫區域稍有擴大。在12 s時，保溫結束，等溫區域減小，但仍比3～8 s時的等溫區域大。

4 結 論

(1)基于不同時間、不同邊界條件下的傳熱規律，建立了大線能量焊接熱模擬試件溫度分布的數學模型，得出了溫度分布圖。

(2)在焊接熱模擬升溫初期，傳熱規律變化較大，升溫中期比較穩定，在升溫后期以及保溫階段，傳熱規律有輕微變化。