精心設計問題，加深概念理解

李福蓮

問題是數學活動的出發點.教師要在探究內容和設問層次上進行深入分析研究，以確保課堂中在教師的組織啟發下，師生之間、學生之間共同深入探討，提高數學課堂效率.以下結合《數學歸納法》的這一節課的內容及設計進行分析，談談自己的一些理解.

一、創設情境，激發學習動機

問題 2：你怎么得到an表達式的？這個表達式正確嗎？

學生：從特殊概括出一般的推理，即歸納推理.因此前4項是正確的，后面的某一項都要逐個驗證，并不能肯定對所有的正整數n都成立.

問題3：在這個問題中，如果嚴格證明需要驗證無限次，有什么辦法解決呢？

設計意圖：由問題引導學生經歷觀察、歸納、猜想的過程，學生由歸納推理猜想出結論，但是結論未必正確，學生遇到了困難：不可能一一進行驗證.為解決這個問題，學生就在思考怎么用有限次的步驟來證明這個難點，這樣就形成了主動尋求知識的動力.

二、感受生活，探索解決方法

以多米諾骨牌實驗為例，教師先播放自制的“多米諾骨牌”實驗一：視頻中在一只手推倒第一塊后所有的多米諾骨牌能全部倒下.

問題4：如果桌上現有n塊直立的骨牌，試探究：怎樣才能讓所有的骨牌倒下？

學生：要保證前一塊倒下時，一定導致后一塊倒下，也就是說骨牌的高度要小于兩塊骨牌的間距.

教師展示動畫實驗二：在該實驗中，第2塊骨牌和第3塊骨牌的間距拉大，其他間距不變.教師用手推倒第1 塊骨牌，結果只倒下第1和第2塊骨牌，實驗失敗.

實驗三：在該實驗中，第3塊骨牌和第4塊骨牌的間距拉大，其他間距不變.教師用手推倒第1 塊骨牌，結果只倒下第1、2、3塊骨牌，實驗失敗.

問題5：對比實驗二、三和實驗一，討論實驗失敗的原因，如何用數學語言描述上述結論？

學生：假設第k塊倒下，則第k+1塊也倒下.

教師展示動畫實驗四：在該實驗中，骨牌的間距和實驗1相同，教師用手推第1塊骨牌，沒有推倒，實驗失敗.

問題6：對比實驗四和實驗一，思考實驗中“手”的作用是什么？

學生：實驗成功的第一個條件是：第1塊骨牌必須倒下.

師：通過這4個實驗學生得到了骨牌要全部倒下的條件有兩個：（1）第1塊骨牌必須倒下; （2）若第k塊倒下，則第k+1塊也倒下.

問題7：你認為這兩個條件的作用是什么？

師生共同討論，可以得到：條件（1）是起步作用，條件（2）是遞推作用，它總是能把某一塊倒下的結果傳遞到下一塊骨牌.這樣無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）都成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

設計意圖：數學歸納法這個概念具有高度的抽象性，需要組織形象、生動的素材，引導學生從素材中感悟其蘊含的數學思想，最終產生遷移效果，抽象出數學歸納法原理，這個實驗便是充當了這樣一個角色.通過課堂觀察，對于條件（2）學生比較容易得到，只是比較難想到用數學語言描述，因此教師做了實驗二和實驗三啟發學生，并通過設問，讓學生理解其實條件（2）給出的就是一個遞推關系.對于條件（1）通過教師提問“手”的作用，學生可以得到，如果沒有推倒第一塊骨牌，后面的骨牌不會倒下.

三、類比遷移，感悟概念形成

教師：多米諾骨牌實驗使我們感受到了可以只要保證了條件（1）（2），就能使所有的骨牌都倒下，這使同學們興奮不已.但這并不能用來證明數學問題，需要抽象概括出其中所蘊含的原理，才能遷移到數學問題的解決上.

問題8：那個數列通項公式的證明問題和多米諾骨牌實驗有相似之處嗎？你能通過類比解決這個數列問題嗎？

師生探索：都存在一種遞推特征，并得出下表.

設計意圖：問題10的設計主要針對左邊的表達式開始是哪一項、結束是哪一項、共有多少項這三個難點而設計.問題11的設計主要是突破兩點，一是引導學生學會分析第一步該證明什么，二是引導學生分析從n=k到n=k+1時，左邊增加哪些項.這些問題是學生的常見錯誤，旨在通過培養學生的嚴密的邏輯推理能力.通過這些問題的分步解決，最終讓學生形成解決問題的綜合能力.設計問題時，遵循由易到難的原則，進一步加強了學生對數學歸納法的理解.

五、回顧小結，升華數學思維

教師設置4個問題：

（1）數學歸納法能夠解決哪一類問題？

（2）數學歸納法證明命題的步驟是什么？

（3）數學歸納法證明命題的關鍵在哪里？

（4）數學歸納法體現的核心思想是什么？

設計意圖：通過學生的反思與提煉，再次感受數學歸納法的核心思想是遞推思想，運用有限的手段，來解決無限的問題.并且證明過程中兩個步驟和一個結論，缺一不可，關鍵是在第二步，即歸納假設要用到.通過這些問題的設置，引導學生對數學歸納法的理解再升華.

總之，教師不能以“一個定義+幾項注意”來進行概念課的教學，必須在舍得在概念課上花時間，要精心設計好每個問題，并學生經歷觀察、比較、分析、概括等過程，只有這樣，概念課的教學才能讓學生深刻理解概念的本質，才會在學生的積極參考和合作探索下顯得生動高效.

責任編輯 韋英哲