基于灰色理論的主軸箱瞬態環境熱誤差分析

李志偉

摘 要：基于灰色理論模型突出的非線性擬合功能，本文通過數據的關聯度分析法建立動態模型，即可近似任意非線性函數。灰色理論兼備自主學習與建模響應敏捷等特點，針對輪槽銑床主軸箱熱誤差模型數據處理復雜的特性，具有良好的適用性。結果表明，通過建立灰色理論熱誤差預測模型，以主軸箱關鍵溫度測點所測溫度為依據，確定分析模型的理論輸出與系統實際熱特性關聯度，最終得到預測結果魯棒性較好的主軸箱熱誤差。

關鍵詞：主軸箱;灰色理論;瞬態環境;溫度測點;熱誤差分析

中圖分類號：TG659文獻標識碼：A文章編號：1003-5168（2020）34-0021-04

Analysis of Transient Environmental Thermal Error of Headstock Based on Grey Theory

LI Zhiwei

（Sichuan College of Architectural Technology，Deyang Sichuan 618000）

Abstract： Based on the prominent nonlinear fitting function of gray theory model， this paper established a dynamic model through data correlation analysis， which could approximate any nonlinear function. Grey theory combines the characteristics of independent learning and quick modeling response， which has good applicability for the complex data processing characteristics of the thermal error model of the wheel groove milling machine headstock. The results show that by establishing a gray theoretical thermal error prediction model， based on the temperature measured at the key temperature measurement points of the headstock， the correlation between the theoretical output of the analysis model and the actual thermal characteristics of the system is determined， finally， the thermal error of the headstock box with better robustness is obtained.

Keywords： headstock;grey theory;transient environment;temperature measuring point;thermal error analysis

研究發現，設備加工期間，主要發熱部件為主軸箱內的電機與主軸系統。主軸箱是機床的重要組成部分，其熱誤差是機床的主要誤差之一。因此，本文將主軸箱作為研究對象，以主軸箱關鍵溫度測點為分析依據，通過建立灰色理論模型GM（1，1）預測主軸箱瞬態環境下的熱誤差。

1 模型的理論基礎及建模原理

設[x0n]為初始測點溫度，隨機溫度測點的初始測點溫度函數如式（1）所示，[n]為隨機溫度測點。

[x0=x01，x02，…，x0n]? ? ? ? ? ? ? ?（1）

利用灰色理論預測主軸箱熱誤差時，應利用主軸箱測點溫度數據建立GM（1，1）模型。取[x1（0）]作為主軸箱的熱誤差樣本參數序列，[xi（0）]為測點溫度函數，[i=2，3，]…。結合序列[ζ0i（n）]，即生成新的預測模型：

[x（0）i=x（0）i（1），x（0）i（2），…，x（0）i（n）]? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

[ξ0i（n）x（0）i（n）=ξ0i（n）j=1nx（0）i（j）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

式中，[n]為隨機溫度測點;[j]為隨機溫度測點的實時溫度值。

利用[ξ0i（n）xi（0）（k）]序列相鄰數據的均值，重新構成溫度序列：

[t（0）1（k）=0.5ξ01x（0）1（k-1）+0.5x（0）1（k）]，[k=1，2，…，n]? ? ? ?（4）

因此，可建立預測主軸箱熱誤差的GM（1，1）灰色理論模型：

[x（0）1（k）+αt（0）1（k）=i=2nbix（0）i（k）]? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

式中，[α]為當量發生系數;[bi]為當量灰作用系數。

利用式（5），系數[α]和[bi]構成系數矢量關系：

[QN=α1b1b2…bNT]? ? ? ? ? ? ? （6）

式中，T為轉置符號。

也就是說，GM（1，1）預測模型熱誤差序列組成的單位列向量為：

[PN=x（0）1（1）x（0）1（2）…x（0）1（n）T]? ? ? ? ? （7）

通過相應完善的熱誤差及溫度序列，構成[N]階矩陣：

[M=-t（0）1（1）x（0）1（1）…x（0）N（1）-t（0）1（2）x（0）1（2）…x（0）N（2）????-t（0）1（n）x（0）1（n）…x（0）N（n）]? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

利用式（7）和式（8）矩陣變化，得到式（9），其能轉換為矩陣方程組。

[yN=MPN]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）

由函數最小二乘法則，結合式（7），便能計算出模型的系數當量：

PN=（BTB）-1BTyN? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

式中，B為n階矩陣。

根據式（10）可得，GM（1，1）預測模型的時間響應關系能近似為：

[x∧（1）1（k+1）=x（0）1（1）-1αi=1nbix（0）1（k+1）×exp（-αk）+1αi=1nbix（0）i（k+1）]? ? ? （11）

其中，[x（1）1（0）=x（0）1（0）]。

將式（10）得到的系數當量代入式（11），可求出主軸箱的GM（1，1）熱誤差預測模型[x∧（1）1]：

[x∧（1）1（k+1）=x∧（1）1（k+1）-x∧（1）1（k）]? ? ? ? ? ? ? ?（12）

2 主軸箱溫度測點的選擇與優化設計

2.1 主軸箱測點選擇

輪槽銑床在常溫狀態下進行半精加工，此時主軸箱的主軸轉速為1 500 r/min，分析該工況下主軸箱瞬態環境的熱誤差影響，并相應設置測溫點，以便及時獲取主軸箱的溫度及熱特性信息，使用的設備主要有渦流位移感應器、Pt100熱阻溫度感應器及Fluke溫度測試系統。為了保證各測點的實效性及準確性，每間隔120 s采集一次數據，主軸箱共設置21個測溫點，具體分布如圖1所示。

2.2 溫度測點優化設計

根據灰色關聯度算法對機床溫度測點進行分類，通過分析測點的實效性及準確性得到測點的三維時頻圖，如圖2所示。

通過時頻圖分析，各測點溫度動態響應有效，能真實反映加工狀態測點溫度變化，使用灰色關聯度對主軸箱測點進行分組優化，當量發生系數取2.5，當量灰作用系數取6時，各測點的動態響應性及準確性較好，則分組函數[L（c）]如下：[L（2）]=265.347，[L（3）]=308.285，[L（4）]=497.012，[L（5）]=806.253，[L（6）]=810.056，[L（7）]=364.128，結果表明[L（6）>L（5）]，且滿足[L（6）>L（7）]，結果證實，將測點分6組時，熱誤差分析結果最佳。

為了保證測點分組的有效性，本研究得出相應測點溫度關聯度分組矩陣，如表1所示。

由表1測點關聯度分組矩陣，將已確定的6組測點進行比較，按照關聯度及熱誤差影響強弱篩選歸類，保留對熱誤差分析有實用價值的測點，具體如下：16#、18#;9#、11#、12#、15#、20#;6#、7#;1#、2#、4#;8#;21#。

利用相關系數法從以上各組中選一個重要測點作為研究對象，根據各組數據間的相關熱誤差關聯度選4#、6#、8#、11#、18#、21#為熱誤差關鍵測點，至此將測點總量由21個優化至6個。將6個溫度感應器分別安裝于主軸箱對應測點位置，并將3個電渦流位移感應器安裝于主軸[X]、[Y]、[Z]方向，用于實時監測三個方向的熱變形狀況，保持機床工作條件不變，連續加工4 h，初始轉速設為1 500 r/min，為保證數據的有效性，各測點每間隔120 s采集一次數據。測點溫度隨主軸轉速及時間的增加而升高，其主要原因是主軸長時間工作，本身發熱量累計增高。以測點溫度數據為基礎，對主軸箱三個方向進行熱誤差分析，主軸在[X]向的熱誤差平穩變動較小，但在[Z]、[Y]兩個方向熱誤差變化明顯，隨時間及轉速的增加而迅速增加，當主軸達到熱平衡時，兩個方向的熱誤差逐步趨于穩定。

3 灰色理論模型預測主軸箱熱誤差

3.1 預測理論依據

將測點所測[u]個溫度分成[u-v]個組，各組含[v+1]個數值（令[v]為響應輸入參數，[v+1]為反饋映射）。每組中輸入參數的數量，表示前[v]個溫度對第[v+1]個溫度有關聯，為了保證輸入參數不失真，同時提高預測有效性，[v]的取值范圍一般為6～11。

3.2 具體預測進程

以測點溫度關聯度為依據，將表1中前10個溫度值作為灰色理論預測模型的輸入參數，后10個溫度作為檢驗參數。對輸入參數做實效性檢驗后，導入Matlab程序，通過多次模擬訓練，預測模型的失效邏輯誤差為4.759 18×10-2。考慮到主軸箱實際工作狀態、熱特性及測點數量，在所有測點不失真的前提下，預測模型能保證這個精度符合要求，預測結果如表2所示。

為能準確預測主軸箱的熱誤差影響，對上述預測溫度進行分析，得到主軸箱在三個方向的熱誤差，與之前通過各測點溫度樣本分析得到三個方向的實際熱誤差進行比較，檢驗預測模型的準確性，發現預測的結果與實測值近似，如圖3所示，詳細分析結果如表3所示。

通過上述過程，將實際值與預測分析的結果進行比較，主軸箱熱誤差在三個方向的極限殘差分別為0.042 4、0.007 4、0.022 9，均值殘差分別為0.039 5、0.044 4、0.003 0。以上數值均為正，且都小于1，因此利用灰色理論模型對主軸箱熱誤差的預測能近似反映真實結果。

4 結論

本文使用灰色理論模型預測主軸箱熱誤差，其間通過在主軸箱設置溫度測點來對比分析熱誤差。結果證明，溫度測點實測值與理論模型預測值接近，都能真實反映主軸箱的熱誤差，因此灰色理論模型具有準確性較好的預測水平，對機械設備的熱誤差分析具有實用價值，也為機械設備的熱特性探索開辟了新的方向。

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