淺析分析學(xué)中的連續(xù)概念

王燕紅 熊宗洪 王守財(cái) 田學(xué)武

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院 貴州貴陽(yáng) 550025)

一、數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)

在數(shù)學(xué)分析中，連續(xù)函數(shù)是一個(gè)十分重要的概念，它在微積分中起著不可替代的作用。數(shù)學(xué)分析由四大塊組成：極限論、微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)論，連續(xù)是極限論中的核心內(nèi)容，微分學(xué)中微分中值定理和微積分的基本定理中函數(shù)的連續(xù)這一條件非常重要，級(jí)數(shù)論中函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)幾大定理（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)可積性和逐項(xiàng)求導(dǎo)性）連續(xù)這一條件是不可缺少的，在Fourie級(jí)數(shù)中級(jí)數(shù)收斂定理中，連續(xù)的條件也是顯而易見(jiàn)的。如下將給出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的幾種等價(jià)的描述：

定理1：設(shè)函數(shù) )(xf 在點(diǎn)x0的某鄰域 )(0xU 內(nèi)有定義， )(xf 在點(diǎn)x0處連續(xù)有如下幾種等價(jià)的描述：

在數(shù)學(xué)分析中，描述（1）在極限計(jì)算時(shí)較為常用；描述（2）和描述（3）在證明某些命題時(shí)較為常用；描述（4）是結(jié)合Heine定理（歸結(jié)原則）而得到，在數(shù)學(xué)分析較少出現(xiàn)這種說(shuō)法，基本不用；描述（5）在數(shù)學(xué)分析也基本未提到。綜合以上幾種說(shuō)法，數(shù)學(xué)分析是非常具體和操作性非常強(qiáng)的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，所以描述（1）-（3）用得較多；描述（4）可以驗(yàn)證某些函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)較為方便；描述（5）相對(duì)抽象，在數(shù)學(xué)分析中操作性不強(qiáng)，但事實(shí)上在后面將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種描述可以延伸到泛函分析和拓?fù)鋵W(xué)中，可以說(shuō)是最有“前途和生命力”的一個(gè)描述。

二、泛函分析中的連續(xù)

由于泛函分析的高度概括性和一般性，這里需要描述線性算子和泛函的連續(xù)性。由于泛函和算子都是映射的特殊情況，所以在這里只討論映射的連續(xù)性。最后需要指出的是，由于泛函分析的“工作空間”是度量空間、線性賦范空間和內(nèi)積空間，所以不可能用數(shù)學(xué)分析中絕對(duì)值來(lái)描述算子的連續(xù)性。事實(shí)上，我們可以顯而易見(jiàn)地看到，除了定理1中描述（2）以外，其它幾個(gè)描述可以繼承和發(fā)展到度量空間中。

最后需要指出的是：線性賦范空間和內(nèi)積空間都是特殊的度量空間，所以沒(méi)有必要在這兩個(gè)空間特別說(shuō)明其連續(xù)性。

三、拓?fù)鋵W(xué)中的連續(xù)

本節(jié)為了指明在拓?fù)鋵W(xué)中的連續(xù)概念，先回顧拓?fù)鋵W(xué)研究的中心任務(wù)。為此，

給出拓?fù)湫再|(zhì)的定義：

定義3：如果拓?fù)淇臻gX有性質(zhì)P，則與X同胚的每個(gè)拓?fù)淇臻g也有性質(zhì)P，則稱性質(zhì)P叫拓?fù)湫再|(zhì)（或拓?fù)洳蛔冃裕?/p>

拓?fù)洳蛔冃允侵杆谕哂成湎卤３植蛔儯渣c(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)是研究拓?fù)湫再|(zhì)。點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中比較常見(jiàn)的幾個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)是：連通性、道路連通性、第一（二）可數(shù)空間和緊致性等。

綜上所述，我們可以說(shuō)在點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中，兩個(gè)同胚的拓?fù)淇臻g，看作是“相同的”。由定義3知，同胚映射就是一個(gè)連續(xù)變換，所以毫不夸張地說(shuō)，研究連續(xù)變換就是研究同胚映射，也就是研究拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)。基于此，我們要迫切地說(shuō)出兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間的映射的連續(xù)概念。由于點(diǎn)集拓?fù)淇臻g中不具有度量這一工具，自然也沒(méi)有球形鄰域的概念，但我們具有一般的拓?fù)溧徲颍瑸榇宋覀冎荒芙柚負(fù)溧徲驅(qū)ν負(fù)淇臻g之間映射的連續(xù)進(jìn)行描述：

四、大范圍分析（流形學(xué)）中的連續(xù)

可以發(fā)現(xiàn)，拓?fù)鋵W(xué)是一門(mén)高度概括和抽象的學(xué)科，操作性不強(qiáng)，即涉及的計(jì)算少之又少。在拓?fù)鋵W(xué)空間中，以Hausdorff拓?fù)淇臻g為基礎(chǔ)建立的流形，計(jì)算操作性比較強(qiáng)。因?yàn)镠ausdorff拓?fù)淇臻g是最接近度量空間的一種拓?fù)淇臻g，所以計(jì)算操作性當(dāng)然要比一般拓?fù)淇臻g要強(qiáng)，再者就是流形上的每一點(diǎn)都是局部歐氏的，流形上每一點(diǎn)的分析性質(zhì)就可以等同地在一個(gè)局部歐氏空間里進(jìn)行分析。而歐式空間里操作性非常強(qiáng)，可見(jiàn)柳暗花明又一村的景象。

在流形學(xué)中，兩個(gè)流形之間映射的連續(xù)性是非常重要的概念，進(jìn)而可以研究?jī)蓚€(gè)流形的同胚。如下敘述兩個(gè)流形之間映射的連續(xù)性：

定理5：設(shè) YX:f → 是兩個(gè)C∞流形間的映射，x0∈X，則f在x0處是連續(xù)的充要條件是存在x0與f(x0)鄰域上的局部坐標(biāo)系 ),(UU ?與 ),(VV φ ，使得映射

五、分析學(xué)中連續(xù)概念的統(tǒng)一

映射和拓?fù)洌臻g）是分析學(xué)中兩個(gè)最一般的概念，為此我們給出兩個(gè)拓?fù)淇臻g之間映射的連續(xù)概念，事實(shí)上就是定理4的內(nèi)容，這里不再贅述。

從定理4看到，僅從連續(xù)概念的發(fā)展來(lái)看，只有用鄰域語(yǔ)言來(lái)描述函數(shù)或映射的連續(xù)性才回歸到本質(zhì)，這充分揭示了拓?fù)鋵W(xué)位于分析學(xué)的最“頂端”，即最具有一般性。