高中數(shù)學解題中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應用

梁金花

（河北省晉州市第二中學 河北晉州 052260）

引言

數(shù)形結(jié)合思想，屬于數(shù)學思想方法的一種，結(jié)合數(shù)與形的對應關系，把抽象數(shù)學語言與數(shù)學關系、易于理解的幾何圖形與位置關系進行聯(lián)系，進而實現(xiàn)以形助數(shù)和以數(shù)解形的目的，使抽象問題變得更加具象，使復雜問題變得更加簡單。在高中數(shù)學解題中，利用數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學生快速找到簡捷的解題途徑，避免了復雜的推理與計算，通過把數(shù)學規(guī)律性與靈活性進行充分結(jié)合，有效簡化解題過程，節(jié)約學生解題思想。在高中數(shù)學解題中，和其他解題思想相比，數(shù)形結(jié)合思想具有顯著的優(yōu)勢，因此加強對學生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)是非常重要的，直接影響著學生的學習效果和解題能力。因此，在實際教學中，教師應結(jié)合學生實際情況，科學合理指引學生利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學問題，進而有效提升學生解題效率和水平，促進學生整體素養(yǎng)的發(fā)展。

一、高中數(shù)學解題中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應用方法

（一）由數(shù)變形

在高中數(shù)學問題中，部分數(shù)量問題較為抽象，若僅僅憑借代數(shù)辦法，是很難快速、正確解決的，或者是解決方法過于復雜。這時，學生可以利用數(shù)與形之間的對應關系，把數(shù)轉(zhuǎn)化成為形象、直觀的形的問題。把數(shù)量問題轉(zhuǎn)變成為圖形問題可以通過平面幾何知識、立體幾何知識、解析幾何知識，然后分析和推理轉(zhuǎn)化出的圖形[1]。首先，需要對題目要求與所求結(jié)果進行明確；其次需要結(jié)合已給條件或者是結(jié)論，對是否可以利用所學基本公式、某種圖形表達式歸類進行分析和觀察；最后，構(gòu)造出和其相對應的圖形，結(jié)合圖形性質(zhì)與幾何意義等，并根據(jù)題干要求與所求目標解答問題。

（二）以形變數(shù)

在解決圖形問題時需要定量或者是圖形較為復雜時，可以把圖形問題轉(zhuǎn)變成為代數(shù)問題，并且需要對圖形特點進行仔細觀察，對題目中已知條件、隱含條件進行分析，保證轉(zhuǎn)化準確性。首先，需要對題目中要求和所求目標進行明確，分析其特點與性質(zhì)。其次，對出題目條件與所求目標代表的幾何意義進行分析[2]。再次，把所給圖形利用代數(shù)式進行表達。最后，利用所學公式、定理，對問題進行解答。

（三）數(shù)形互變

數(shù)形互變，實質(zhì)就是把數(shù)變形和形變數(shù)進行融合。在解答數(shù)學問題時，有可能需要同時利用這兩種方法轉(zhuǎn)化，但是需要熟練具備以形變數(shù)的嚴密與以數(shù)變形的直觀[3]。在解答該類數(shù)學問題時，需要對題目中的數(shù)、形關系和隱含條件進行認真分析，做到見數(shù)變形，見形思數(shù)。

二、高中數(shù)學解題中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應用案例

（一）在高中集合問題中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應用

例如，已知有兩個集合，分別是M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，求集合M∩N中有多少個元素？在解答該道題時，常常都是利用簡單的數(shù)學關系得出答案，先把已知的兩個方程合并成為方程組，解方程組后得出x和y的值。該種解題思路雖然可以得到正確答案，但是解題過程較為繁瑣和復雜，解題效率相對較低。因此，在解題時可以利用數(shù)形結(jié)合思想，把題目中已知的x2+y2=1比作是一個圓，x2-y=0比作是拋物線，把問題轉(zhuǎn)變成為圓：x2+y2=1和拋物線：x2-y=0有幾個交點。在該種解題思路下，可以利用圖形輔助解題，可以在較短時間得到正確答案，簡化了解題過程，提升解題效率。

（二）在高中函數(shù)問題中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應用

例如，已知方程sin2=sin，那么在區(qū)間x∈（0,2π）中，具有多少個解？在解答該道函數(shù)問題時，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合已知方程繪制和其對應的方程圖形，利用實際方程圖形對函數(shù)問題進行解決。在解題過程中，可以把不同三角函數(shù)圖形放到相同坐標系中，對坐標系三角函數(shù)圖形進行仔細觀察，可以發(fā)現(xiàn)有三個解。通過這樣的解題方法，可以有效避免解題錯誤情況出現(xiàn)，提升解題質(zhì)量與效率，還可以有效提升學生函數(shù)學習能力。

（三）在高中幾何問題中數(shù)形結(jié)合思想的實踐應用

例如，已知P是圓（x-3）2+（y+1）2=4上的東電，Q是直線x=-3上的東電，求|PQ|的最小值。在解答該道幾何問題時，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合體重已知條件，可以畫出圓和坐標系圖形（圖1）。然后結(jié)合圖形進行解題，過圓心A作AQ垂直直線x=-3，和圓相交在點P，這時|PQ|是最小值。根據(jù)題目中圓的方程可以知道A（3，-1），半徑r=2，所以|PQ|=|AQ|-r=6-2=4。

圖1

三、結(jié)束語

總而言之，在新課改背景下，在高中數(shù)學解題中應用數(shù)形結(jié)合思想是非常重要的，可以簡化復雜的數(shù)學問題，有效提升學生解題能力和效率，還可以為以后的數(shù)學學習和發(fā)展奠定良好基礎。目前，由于受到多種因素影響，在高中數(shù)學解題教學中，教師忽略了培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想，嚴重影響到了學生的發(fā)展。因此，在教學過程中教師需要結(jié)合學生實際情況，利用科學合理的教學手段，指引學生在解題時使用數(shù)形結(jié)合思想，把抽象的數(shù)學語言與直觀圖形進行結(jié)合，把幾何問題變得代數(shù)化，把代數(shù)問題變得幾何化，促使學生深入理解數(shù)學問題，更加便捷明了的解決數(shù)學問題，從根本上提升學生解題水平。