基于數學建模視域的爐溫曲線優化

唐汝晨 梅陽森 楊東

摘 要：在集成電路板等電子產品生產過程中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產過程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產品質量至關重要。目前這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調整的。本文旨在通過機理模型來進行分析研究。傳送帶速度固定不變，溫度隨時間變化始終保持連續，我們需要求出溫度隨時間變化的函數關系式，然后求出傳送帶速度。

關鍵詞：爐溫曲線; 機理模型

一.問題分析

在傳輸過程中，傳送帶的運行速度已被確定。因此我們需要考慮到回焊爐的升溫降溫斜率以及時間，爐溫曲線始終保持連續，需要注意的是各溫區之間的溫度差。而考慮到速度較快，物體導熱也需要時間。我們這里假設物體導熱系數對它影響不大，并且時間已知。那么這就是一個線性問題，我們便可以采用 MATLAB 里的CFtool 工具箱進行曲線擬合，我們分別采用了傅立葉變換（將函數表示成一組具有不同幅值的正弦函數或積分）跟正弦函數擬合爐溫曲線。由于生產車間室溫不會為0度，因此我們在這里舍棄正弦函數，通過對比我們發現五級傅里葉函數最為精確。

并且得出了函數關系式（1）：

二.模型假設：

1.假設各個溫區的材料厚度均勻，各個部位厚度相同;

2.忽略各個溫區之間間隙的空氣對流，即把每個溫區當做導熱固體;

3.因為外部溫度恒定，所以不考慮熱輻射的影響;

4.假設溫度的變化對材料熱導率、比熱容和密度無影響（因為影響導致的變化非常小，故忽略不計）;

5.假設溫度只沿步進式傳輸帶運動方向進行正反向傳導，不考慮其垂直方向的傳導;

假設各溫區溫度的設定值分別為173℃（小溫區1～5）、198℃（小溫區6）、230℃（小溫區7）和257℃（小溫區8～9）。

熱傳導（thermal conduction）：是介質內無宏觀運動時的傳熱現象，其在固體、液體和氣體中均可發生，但嚴格而言，只有在固體中才是純粹的熱傳導，而流體即使處于靜止狀態，其中也會由于溫度梯度所造成的密度差而產生自然對流，因此，在流體中熱對流與熱傳導同時發生。 熱傳導是熱傳遞的三種（熱對流、熱傳導、熱輻射）方式之一。熱傳導是固體中熱傳遞的主要方式。在氣體或液體中， 熱傳導過程往往和對流同時發生。

熱阻：熱阻是指當熱量在物體上傳遞時，物體兩端的溫度之差與熱源功率之間的比值，在有溫度的條件下，物體抵抗傳熱的能力越強，則熱阻越大，熱導率越好， 通常熱阻越低，熱阻計算公式為：

Q是導熱速率，k是熱導率，T為溫度，A為接觸？積;單位時間內所傳導熱量（熱流量）為：

Kr是傳熱系數，A為物體表? 積，T為物體兩個側？的溫度差。

導熱系數：是指在穩定傳熱條件下，1m 厚的材料，兩側表面的溫差為 1 度（K·℃），在一定時間內，通過 1 平方米面積傳遞的熱量，單位為瓦/米·度（W/（m·K），此處為 K 可用℃代替）。導熱系數是建筑材料最重要的熱濕物性參數之一，與建筑能耗、室內環境及很多其他熱濕過程息息相關。導熱系數僅針對存在導熱的傳熱形式，當存在其他形式的熱傳遞形式時，如輻射、對流和傳質等多種傳熱形式時的復合傳熱關系，復合傳熱關系通常被稱為表觀導熱系數、顯性導熱系數或有效導熱系數（thermal transmissivity of material）。

三.建立模型

我們通過傅立葉公式變換建立了基于傳熱機理的空氣一維溫度傳導模型。下面我們以各個小溫區作為研究對象，根據傳熱機理推導各個溫區對空氣的熱傳導模型。進而推導空氣被加熱時的一維溫度場分布的微分方程。在假設加熱空氣的熱物性參數為常值的情況下（這樣做是為了推導方便，如果熱物性參數不為常值，將相應的計算公式帶入熱傳導方程即可）。

在 dt 時間內，沿 x 軸方向從左側進入微元體中的熱量，根據傅立葉定律可以確定為：

由能量守恒定律可知，在沒有內熱源的情況下，導入微元體上的熱量等于導 出的熱量加上微元體內能的增加量。微元體的內能增加為：

由于該微分方程是根據一般規律推演的，所以能夠滿足一切導熱物體的溫度 場，因而它在數學上有無窮多個解。而我們需要的是得到針對某一工程實際問題的特定解。

四.模型的求解

將實測的溫度跟時間t，以及各值得范圍代入到傅里葉函數關系式中并聯立模型得出下列約束條件：

聯立上述兩式通過 lingo 對目標函數（上文函數關系式（1））：

進行線性規劃求出最優解，得出最大過爐速度為80.27cm/min

參考文獻：

[1]溫度和含濕量對建筑材料導熱系數的影響 孫立新; 馮馳; 崔雨萌 土木建筑與環境工程 2017-12-15

[2]葛新石 葉宏. 傳熱和傳質基本原理. 北京. 化學工業出版社. 2007. 36-37.1.

[3]湯宗健，謝炳堂，梁革英.回流焊爐溫曲線的管控分析[J].電子質量，2020（08）：15-19+23.

作者簡介：

唐汝晨，男 ，漢族，湖北省孝感市，2001年10月21日，機電工程學院，本科在讀 ，研究方向：機械設計制造及其自動化

梅陽森，男，漢族，湖北省武漢市，2002年10月14日? 機電工程學院，本科在讀 ，研究方向：機械設計制造及其自動化

楊東，男，侗族，貴州省黔東南 1999年7月28日 機電工程學院，本科在讀 ，研究方向：機械設計制造及其自動化

（武漢東湖學院? ?湖北? ?武漢? 430212）