結構可靠性優化的通用生成函數- 序列優化與可靠性評估方法

朱達偉, 周金宇, 莊百亮

(1.江蘇理工學院 機械工程學院， 江蘇 常州 213001；2.金陵科技學院 機電工程學院， 江蘇 南京 211169；3.機械科學研究總院江蘇分院有限公司， 江蘇 常州 213001)

0 引言

隨著結構設計領域研究的不斷發展，傳統確定性結構優化設計由于未考慮到實際工程應用中諸多不確定因素，該類設計方法正逐漸被結構可靠性優化設計(RBDO)方法取代。目前，結構可靠性優化領域的研究方法主要分為3大類：雙循環法、單循環法、解耦法。

雙循環法的外層是一個傳統的確定性優化問題，在約束條件下使目標函數值最小，而內層的可靠性分析同樣是一個在外層優化要求概率約束評價時進行的優化問題[1],內層可靠性分析步驟常采用的典型方法有可靠指標法[2]和功能度量法[3]。雙循環法具有概念清晰、求解簡單及穩定性高的優點，但由于工程問題越來越復雜，此類方法存在計算量龐大、效率低下等缺點，已不能滿足實際工程需求。2018年，Hao等[4]基于等幾何分析建立了一個高效準確的RBDO框架，用于解決復雜的工程問題。此外，為了提高RBDO的效率，提出了增強步長調整迭代算法和基于2階可靠性分析的逐步增強順序優化與可靠性評估方法。單循環優化方法依據約束的KKT條件重新構建可靠性優化模型，將概率約束近似等價為確定性約束，可極大提升優化效率。常用的單循環優化方法主要有：單循環單向量法[5]、基于性能測度法的RBDO單回路優化方法(SLA)[6]和基于響應面的單循環法[7]。單循環優化策略雖然大幅度提升了計算效率，但由于使用了近似等效的概率約束，求解精度難以得到保障。為了在保證求解精度的同時提高工程問題的求解效率，大量學者專注于結構優化與可靠性分析問題的解耦研究。Du等[8]提出了序列優化與可靠性評估(SORA)方法；程耿東等[9]提出序列近似規劃算法；Zou等[10]提出了一種高效的直接解耦方法；Chen等[11]提出了自適應解耦方法；Torii等[12]提出一種適用于不同可靠性分析方法的RBDO解耦策略；袁修開等[13]提出一種基于靈敏度的解耦方法。解耦法雖極大程度地提高了優化效率，尤其是SORA方法被認為是最具有發展潛力的優化算法。但由于1階可靠性法(FORM)、2階可靠性法(SORM)等傳統可靠性分析方法的固有局限，優化求解的精度問題依然普遍存在。同時，此類方法在解決功能函數為高度非線性問題時，優化結果可能會出現周期性振蕩、混沌以及不收斂現象。

針對上述研究存在的問題，本文引入通用生成函數(UGF)，提出一種基于通用生成函數的序列優化與可靠性評估(UGF-SORA)方法。解決了由于FORM導致的優化精度低問題，以及解決了功能函數為高度非線性時優化結果無法收斂問題，可在保證優化效率的同時顯著提升優化精度。

需要指出的是，本文所提UGF-SORA算法，由于將UGF法引入可靠性分析環節，在原理上，避開了隨機變量的正態假設和功能函數的線性假設，采用離散化狀態枚舉，當離散步長足夠小時可達到較高的計算精度。但伴隨隨機變量的離散化狀態變多，UGF復合運算的計算量必然龐大，從而導致優化效率降低。研究表明，通過合并同類項或K均值聚類等操作有望解決優化效率降低的問題。

1 基于SORA的結構可靠性優化方法

結構可靠性優化的目的在于保證結構可靠性的前提下最小化目標函數，通常基于可靠性的結構優化模型可表述為

(1)

(2)

正如模型(1)式和(2)式所示，可靠性優化問題是一類包含可靠性分析與結構優化的雙環嵌套問題，每次外層優化均伴隨內層的可靠性分析。SORA方法將可靠性優化問題解耦，使得結構優化與可靠性分析的求解依次進行，極大減少了計算量。其優化模型表述為

(3)

(4)

(5)

式中：XMPP為真實物理空間的最小功能目標點；uMPP為標準正態空間中的最小功能目標點；T表示逆變換。

由于可靠指標的求解在標準正態空間中進行，所以需要將不服從標準正態分布的隨機向量X轉化為服從標準正態分布的隨機向量u. (5)式中XMPP由標準正態空間中的最小功能目標點uMPP進行逆變換T得到。uMPP可通過以下模型求解：

(6)

式中：βt為許可可靠度指標。

圖1 SORA優化原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of SORA optimization

SORA方法雖極大提高了優化效率，但可靠性分析環節通常由逆可靠性分析方法完成，對于一些隨機變量類型為非高斯或離散型的問題，逆可靠性分析方法帶來精度降低的問題不可避免，同時優化結果會出現混沌、震蕩及不收斂現象。

2 基于UGF的結構可靠性分析方法

1986年，USHAKOV[14]首次提出了UGF的概念。目前，基于UGF的可靠性研究主要集中在多狀態系統可靠性方面，對于在結構可靠性分析方面的研究尚少。主要是由于UGF研究對象多為離散型隨機變量，而大部分機械結構分析所用的隨機變量多用連續概率分布函數來表述[15]。本節闡述了利用UGF方法進行結構可靠性分析的原理。

2.1 隨機變量的UGF

2.1.1 離散型隨機變量UGF

設Xi(i=1,2,…,n)為離散型隨機變量，其可能取值記為(xi1,xi2,…,xim)，相應的取值概率分別記為(pi1,pi2,…,pim). 可根據已知信息直接定義隨機變量Xi的UGF如下：

(7)

式中：UXi(z)為隨機變量Xi的UGF；xij為第i個隨機變量的第j個狀態值；pij為對應狀態值的取值概率；n為隨機變量個數 ；m為離散狀態總數。

2.1.2 連續型隨機變量UGF

在建立連續型隨機變量UGF時，由于UGF是針對離散變量的，因此須將連續型隨機變量離散化。設有n個連續型隨機變量Xi(i=1,2,…,n)，各變量的分布函數和概率密度函數分別為Fi(x)和fi(x). 將變量Xi離散為m個點，根據失效概率的求解公式可以得到各離散點xij對應的取值概率pij為

(8)

因此，可以定義連續型隨機變量Xi的UGF為

(9)

2.2 多元隨機變量可靠性分析的UGF法

設有連續型隨機變量X1和X2，需對其進行離散化。由離散化思想可得隨機變量的狀態值及其對應的取值概率分別為{(x11,p11),(x12,p12),…,(x1m,p1m)}和{(x21,p21),(x22,p22),…,(x2m,p2m)}. 進行結構可靠性分析時，通常用功能函數來描述隨機變量和結構系統性能之間的關系。在UGF中，常用性能結構函數Φ來描述系統各單元與系統性能之間的關系。需要指出的是，將UGF法用于結構可靠性分析時，性能結構函數即為功能函數。類比功能函數與結構可靠性之間的關系可知：當性能結構函數小于等于0時，結構失效；當其大于0時，結構可靠。將隨機變量的UGF分為狀態項和概率項，不同隨機變量的狀態項之間視情況根據結構函數Φ進行隨機組合，可定義結構系統的UGF為UΦ(z)，表達式如下：

(10)

式中：?為復合算子，用來描述不同UGF之間的運算規則；多項式的指數項為各級結構函數所處的狀態，稱為狀態項；多項式的系數項為結構處于某種狀態的概率值，稱為概率項。

結構系統的UGF蘊含著必要的性能概率分布信息，可用來計算各類可靠性指標[15]。設結構系統的UGF為

(11)

對該UGF的系數項在一定條件下進行求和，即可得到結構系統的可靠度，如下式所示：

(12)

式中：δ(·)為條件求和算子；y為結構可靠和失效兩種狀態的臨界值；C(xi-y)為事件的示性函數，當xi>y時，值為1，否則值為0.

若隨機變量個數較多，在進行UGF復合運算時可能導致運算復雜、計算量急劇增大。通常，不同隨機變量的狀態值會存在xi≈xj情況。此時可將對應的pizxi和pjzxj視為同類項，并進行合并同類項操作。將兩項合并為(pi+pj)zxi. 一般地，由于結構函數具有遞推性、可分性和互換性，使用UGF法進行可靠性分析時可實現隨機信息從細觀向宏觀的跨尺度精確傳遞，且能避免由于忽略非正態性而導致的分析誤差。同時結合合并同類項操作，有望在確保分析精度的條件下大規模縮減計算量[16]。

3 基于UGF-SORA的結構可靠性優化方法

基于UGF-SORA的結構可靠性優化方法是將UGF與傳統的SORA算法相結合，利用與SORA算法具有相同物理意義的偏移向量s來改變確定性約束邊界，以保證最小功能目標點落在可行域內。所提方法將傳統嵌套優化問題轉化為一系列確定性優化和可靠性分析順序執行的序列優化問題，從而實現解耦。該方法分為3個環節來求解結構可靠性優化問題。

3.1 偏移向量的定義與更新策略

由SORA算法可以發現，每次偏移向量s迭代運算后，可得到當前優化設計向量d，通過可靠性分析環節進一步得到該設計點對應的可靠度指標β. 即可得到如下映射關系：

s→d,

(13)

d→β.

(14)

結合(13)式和(14)式可知，偏移向量s與結構可靠度指標β存在映射關系。因此可定義偏移向量s和可靠度指標β之間的函數關系式J，將函數J稱為偏移函數，如(15)式所示：

β=J(s),

(15)

式中的偏移向量s為一系列未知數據，為得到該數據，可建立一種偏移向量更新策略。其數學模型如下式所示：

finds,

(16)

min|βt-J(s)|,

(17)

s.t.βt-J(s)≤0.

(18)

該策略為一確定性優化問題，將s作為設計向量，使得擬合所得的近似可靠度指標J(s)逼近許可靠度指標βt，并保證J(s)≥βt. (16)式～(18)式可通過序列二次規劃等確定性優化算法求解。

3.2 偏移函數J的擬合

由于J為隱式函數，可考慮使用多項式構造響應面來近似該隱式函數，通過合理選取試驗點和迭代策略，可以保證多項式函數能夠在概率上收斂于真實的隱式函數[17-18]。由于不含交叉項的一次和二次響應面結構簡單、運算量小、精度相對較高而被廣泛應用，其表達式為

(19)

(20)

首先需要確定n+1個初始偏移向量組的各分量，本文采用下列模型獲取初始偏移向量組的各分量[19]：

(21)

式中：μXi為隨機變量Xi的均值；α為滿足一定求解規律的特定系數，其取值尚無學者提出標準的確定方式，Bucher等[20]指出其值在±1倍隨機變量變異系數區間內時較為合理。

得到初始偏移向量組后，分別根據各分量進行確定性優化求解，得到各偏移向量對應的設計點。針對每個設計點，通過UGF法完成對應結構系統的可靠性分析，得到相應的可靠度指標，即可確定s(0)與β(0)數據對。

確定s(0)和β(0)后，利用最小二乘法求解待定系數，擬合可靠度指標的線性近似值與其偏移向量之間的函數關系式。得到初始偏移函數J0(s)后，通過(16)式～(18)式求解新偏移向量，并求得該偏移向量對應的可靠度指標。下次循環時，將新偏移向量和新可靠度指標合并到初始偏移向量組s(0)和初始可靠度指標組β(0)中，構成n+2個偏移向量以及可靠度指標。此時，利用n+2對數據結合最小二乘法重新擬合偏移函數。

3.3 確定性優化求解與可靠性評估

在得到初始偏移函數后，根據(3)式和(4)式進行確定性優化求解，并且通過UGF方法進行可靠性分析，計算此時的結構可靠度指標。若不滿足相關約束要求，需更新偏移函數并再次進行偏移向量的優化求解。

該方法的求解步驟如下：

步驟2通過(16)式～(18)式求解偏移向量；

步驟3通過(3)式和(4)式進行確定性優化求解，得到偏移向量對應的最優設計向量(d1,d2,…,dn)；

步驟4根據已有數據，使用UGF法進行可靠性分析，得到該設計點對應的結構可靠度指標；

步驟5根據(19)式或(20)式，利用最小二乘法重新構建偏移函數J(s)；

步驟6判斷該設計點對應的可靠度指標是否滿足許可可靠度指標要求并收斂。若滿足，則該點即為最優設計向量；若不滿足，則重復步驟2～步驟6.

基于UGF-SORA法的結構可靠性優化流程圖如圖2所示。

圖2 基于UGF-SORA法的結構可靠性優化流程圖Fig.2 Flow chart of structural reliability optimization based on UGF-SORA method

4 算例分析及討論

本節通過不同類別的數值算例證實了所提方法相對于現有算法的優越性。由于算法的優化精度主要體現在優化結果的可靠度指標上，所以可利用目標設計點處的可靠度指標與許可可靠度指標之間的相對誤差ε來比較不同算法的優化精度，ε的計算公式為

(22)

式中：βMCS為使用蒙特卡羅模擬(MCS)法(模擬次數取106)在設計點處對結構進行可靠性分析時，各設計點對應的結構可靠度指標。

算例求解時，確定性優化問題均使用優化軟件包FMINCON解決，其中迭代的收斂準則設置為：相鄰兩次迭代目標函數值之間的相對誤差小于10-6. 可靠性分析求解的收斂準則設置為：相鄰兩次求解所得可靠度指標值之間的相對誤差小于10-3.

4.1 算例1

該算例有兩個隨機變量，且均服從正態分布，是一個功能函數為低階非線性的簡單可靠性優化問題。其數學模型為

(23)

該算例使用本文所提方法進行計算時，確定性優化求解均使用序列二次規劃(SQP)算法，迭代過程見表1. 同時，使用其他結構可靠性優化算法的結果在表2中列出，用以分析比較。需要指出的是，表中所得數據結果都是在MATLAB R2016a軟件中編程求解到，所使用機器為3.3 GHz處理器和4 GB內存的計算機。

此算例中，使用了基于HL-RF法、改進均值法(AMV)的雙循環優化算法、屬于單循環法的SLA算法以及屬于解耦法的SORA算法與本文所提算法進行比較。由表2可以得知，傳統結構可靠性優化方法眾多，其優缺點也各異。在實際工程應用中，設計點的可靠度指標越接近許可可靠指標越好，其既滿足了結構的使用需求，又減少了由于可靠性過高帶來的額外設計成本。本文通過(22)式的相對誤差ε來體現優化結果的可靠度指標是否接近許可可靠度指標。對比表2中的數據可以發現，本文所提UGF-SORA法優化結果的ε遠遠小于其他算法，說明該方法的優化精度顯然高于其他優化算法。

表1 UGF-SORA方法迭代過程Tab.1 Iterative process of UGF-SORA method

表2 算例1不同結構可靠性優化方法優化 結果對比Tab.2 Comparison of optimized results of reliability optimization methods for different structures in Example 1

從表1中可以看出，收斂解處的可靠度指標為2.002 3，該值十分接近表2中使用MCS方法進行可靠性分析所得值2.008 0，但使用MCS法進行一次可靠性分析就需要106次模擬次數。由此可見，得到同樣高精度的可靠度指標情況下，基于UGF法進行可靠性分析的效率明顯高于MCS法。同時，結合合并同類項操作的UGF-SORA算法所需調用功能函數的次數為378，相較表中所列其他傳統算法，其優化效率較低，但在可接受范圍內。

4.2 算例2

該算例有兩個隨機變量，且均服從正態分布，但功能函數為高度非線性。其數學模型為

(24)

表3 算例2不同結構可靠性優化方法優化結果對比Tab.3 Comparison of optimized results of reliability optimization methods for different structures in Example 2

由表3中數據可以發現，對于功能函數為高度非線性的優化問題，大部分算法如AMV算法、SLA算法、SORA算法均無法得到收斂解。而本文所提方法，可靠性分析環節由UGF法完成，可以良好地解決此類問題。同時，與基于HL-RF算法的雙循環法相比，UGF-SORA算法效率較低，但優化結果的相對誤差遠遠小于HL-RF算法，顯然所提算法具有較高計算精度。

4.3 算例3

該算例是功能函數為非線性的可靠性優化問題，有3個隨機變量，并且其中一個變量服從非正態分布。其數學模型為

(25)

進行可靠性分析時，由于計算量龐大， 使用UGF法進行可靠性分析環節會選擇引入合并同類項操作來提高效率，傳統算法以及所提算法的優化結果在表4中列出。

表4 算例3不同算法優化結果對比Tab.4 Comparison of optimized results of different algorithms in Example 3

表4中數據表明，在使用合并同類項時，可靠性計算精度下降不會太多，在可接受范圍內，并且兩種方法優化結果對應的相對誤差也較為接近，但優化效率得到極大提高。因此，使用UGF法進行可靠性分析時可考慮加入合并同類項操作來提高求解效率，該操作僅會帶來精度上較小的損失。對比傳統算法可以發現，所提算法具有良好的收斂性能以及較高的求解精度，但其存在優化效率低的問題。雖然合并同類項操作的引入在一定程度上提高了求解速度，但如何提升優化效率依舊是值得深入研究的話題。

5 結論

本文提出了一種結構可靠性優化的UGF-SORA方法，該算法從傳統SORA方法的偏移向量出發，重新建立了SORA模型，引入UGF法進行可靠性分析和評估，并采用最小二乘法完成偏移向量的更新。通過數值算例分析，可得出如下結論：

1)相對于現有典型的基于HL-RF算法、AMV的雙循環算法、SLA算法、SORA算法等，所提方法可以在保證一定優化效率的同時得到較高精度的優化解。

2)當實際問題隨機變量為非正態，功能函數為高度非線性時，優化結果可能會出現精度低或不收斂等現象。基于UGF的結構可靠性分析方法不受隨機變量和功能函數類型影響，所提方法為此類問題提供了新的求解策略。

3)成本和精度是一對相互制約的矛盾，在傳統方法精度失控的情況下，通過增加可控的成本獲得較高的精度，是理性而有效的措施。