雙軸旋轉調制最優轉位次序的設計方案

周兆豐 王新龍 蔡遠文

摘?要：旋轉調制型捷聯慣導系統是慣導系統新的發展方向，可有效提高慣導系統的導航精度，而轉位次序的設計是旋轉調制方案的關鍵。為了解決傳統轉位次序設計方案存在局部最優的問題，本文提出一種新的雙軸全局最優轉位次序設計方案。在分析雙軸旋轉調制轉動過程中的常值漂移、標度因數及安裝誤差抵消原理的基礎上，進一步研究了安裝誤差與最優轉位次序的關系并給出了設計依據。基于此設計了一種最優八次序轉位方案。經過與傳統的雙軸八次序轉位方案的仿真對比分析，在設定條件下，姿態、速度及位置誤差的振蕩情況分別減小了約1/3，1/2及1/3，并且經度誤差的發散速度也得到了改善。

關鍵詞：捷聯慣導系統;旋轉調制;安裝誤差;轉位次序;誤差矢量

中圖分類號：TJ765;V249.32+2 文獻標識碼：A文章編號：1673-5048（2020）01-0081-08

0?引言

陀螺常值誤差與慢變漂移是影響慣導系統導航精度的主要誤差源，基于現階段慣性器件的發展水平，捷聯慣導系統采用旋轉調制技術進行誤差補償幾乎成為唯一一種可行的全自主、全天候、高精度導航手段[1]。旋轉調制技術是一種有效的誤差自補償方法，其中轉位方案的設計是核心，直接影響著系統的導航精度、整體結構和成本[2-3]。轉位次序作為轉位方案設計中的重要環節，直接決定著誤差補償的效果。然而目前對旋轉調制技術的研究仍主要集中在誤差特性[4-10]、系統標定[11-14]、初始對準[15-16]及轉位方案的改進[17-18]等方面，對轉位方案的設計尤其是轉位次序如何確定的問題研究較少，而且姿態、速度及位置誤差的振蕩情況較嚴重，影響了捷聯慣導系統的導航精度。

文獻[8]指出了靜電八次序轉位方案的問題，并給出了改進八次序轉位方案（本文稱傳統八次序轉位方案），但是沒有深入分析誤差抵消原則。文獻[10]介紹了陀螺儀常值漂移、標度因數誤差及安裝誤差的抵消原則，為轉位方案設計的誤差抵消提供了理論依據，但對于標度因數誤差沒有進一步區分對稱性與非對稱性，也沒有深入分析雙軸情況下誤差抵消與轉位次序的關系。文獻[19]針對更換高等級陀螺組件卻達不到預期導航精度的問題，利用殘余誤差相互抵消效果設計出轉位方案，為研究異軸的誤差抵消情況及轉位次序的確定擴展了思路，但是殘差結果的形式復雜，不能很直觀地反映出理論存在的缺陷，也沒有對安裝誤差和轉位次序做進一步分析。

針對以上問題，本文對雙軸旋轉調制下的常值漂移、標度因數及安裝誤差的抵消原理進行了補充，并優化了誤差抵消原則，在此基礎上進一步分析了安裝誤差與轉位次序的關系，指出了傳統八次序轉位方案只是局部最優，最后給出了全局最優的八次序轉位設計方案，該方案也適用于更多次序的轉位方案設計。

1?雙軸旋轉調制系統誤差抵消原則

因轉位次序是不同轉動過程的組合，轉動方式又與誤差抵消密切相關，所以需要深入了解轉動過程與基本的誤差抵消原則。

1.1?轉位機構與轉動過程

圖1為轉位機構與誤差矢量軌跡示意圖。調制型捷聯慣導系統就是在原有捷聯慣導系統上增加了轉位機構，具體包括底座、外框、內框及IMU（慣性測量單元）四部分，其中底座與載體固連，外框由底座支撐負責繞zb軸的轉動，內框與IMU固連負責繞yb軸的轉動，如圖1（a）所示。

靜基座下，初始時刻時，設IMU坐標系（s系）、載體系（b系）及導航系（n系）重合（下同）。圖1（b）中的OA是指IMU的常值漂移誤差矢量，B是指OA繞OZb軸逆時針轉動180°到達的位置，兩位置之間轉動過程用符號A+zbB表示，C和D是OA經過旋轉后到達的另外兩位置。對于雙軸四位置旋轉調制來說共有16種獨立的轉動過程，轉位次序的確定就是在這16種轉動過程中找出最合理的排列組合形式，以便最大程度地減小各種誤差。

1.2?誤差模型與抵消原則

旋轉調制過程中的陀螺儀沿導航系下的誤差模型如下：

轉位機構旋轉角速度量級較大，與標度因數及安裝誤差的耦合項影響不可忽略，所以需要深入研究轉動過程中的誤差抵消原則。

根據陀螺的誤差模型式（1），轉動過程A+zbB的等效誤差角速度為

上式含有三部分誤差，依次為常值漂移項、標度因數誤差項及安裝誤差項，ω表示轉位機構旋轉角速度。在對文獻[9]中的誤差抵消原則進行補充和優化后，具體如下。

（1）常值漂移誤差抵消原則

原則1：對于非旋轉軸上的常值漂移誤差，需要找到對稱區域并停留相同時間才能完成誤差抵消，可采用單軸或雙軸調制方式實現。

原則2：對于旋轉軸上的常值漂移誤差只要在對稱位置上停留相同時間就可以完成誤差的抵消，需要采用雙軸旋轉調制方式實現。

（2）標度因數誤差抵消原則

原則3：對于旋轉軸上的對稱性標度因數誤差，需要采取正反轉的形式進行誤差的抵消。

原則4：對于旋轉軸上的非對稱性標度因數誤差δK-gz·ω，因其相當于旋轉軸上的等效常值漂移，抵消原理與原則2等同。

（3）安裝誤差抵消原則

原則5：當s系下旋轉軸相對于b系下旋轉軸指向固定時，非旋轉軸上的誤差可以通過整周旋轉的方式進行抵消。

原則6：當s系下旋轉軸相對于b系下旋轉軸指向變化時，安裝誤差與起始位置及ω有關，可以完成部分的誤差抵消。

（4）優先原則

原則7：由于位置的發散只與天向軸和北向軸上的誤差有關，所以優先考慮天向與北向軸上的誤差抵消，再考慮東向軸上的誤差抵消。

（5）對稱原則

原則8：因有限的轉位次序不能完全消除誤差，補一組對稱的轉位次序可以進一步減小姿態、速度、位置誤差的振蕩幅度及經度誤差的發散趨勢。

2?最優轉位次序設計方案

轉位次序設計中，需要先確定次序1，然后確定次序1與次序3（同軸旋轉）的關系，再確定次序1與次序2（異軸旋轉）的關系，最后確定次序5～8及后續次序。

2.1?同軸旋轉方向選取

因次序1的轉向對后續分析沒有影響，本文以繞zb軸逆時針旋轉180°作為次序1，用A+zbB表示，陀螺的輸出誤差角速度如式（2）所示。

因次序3是以位置C為起點繞zb軸進行的旋轉，轉向確定的標準是看與次序1在常值漂移、標度因數及安裝誤差的抵消情況，下面根據不同轉向來進行具體分析。

（1）同軸同向

當次序3與次序1轉向相同時（同軸同向），n系下陀螺的輸出誤差角速度如下：

對式（2）與式（3）進行先求和再積分，可得累積姿態誤差角為

（2）同軸反向

當次序3與次序1轉向相反時（同軸反向），n系下陀螺的輸出誤差角速度如下：

對式（2）和式（5）進行先求和再積分，可得累積姿態誤差角為

式（6）與式（4）相比較來說，轉向相反時東向常值漂移誤差不會引起位置誤差的發散，標度因數誤差得到完全抵消，兩者的安裝誤差影響相同，由此可得出結論1。

結論1：雙軸旋轉調制時，同軸旋轉時的轉動方向需要相反，也稱同軸反向。

2.2?異軸旋轉方向選取

對于異軸情況時，由于旋轉軸不同，Cns的形式相關性不大，不適合直接做誤差抵消的分析，因此對前4次序及前8次序做局部的誤差抵消更合理。下面按不同轉向進行分析。

（1）異軸同向

當次序2與次序1轉向相同時（異軸同向），若將每個次序的開始時間都設為0，則前4次序在t時刻的陀螺輸出誤差角速度之和如下：

（2）異軸反向

當次序2與次序1轉向相反時（異軸反向），前4次序在t時刻的陀螺輸出誤差角速度之和如下：

由于常值漂移影響較小且可在后面進行補償，可暫時忽略其影響。對比式（7）與式（8）可知，陀螺輸出的誤差角速度幅值會因安裝誤差項Δgxy和Δgxz的關系不同而不同，若兩者符號相同（同正或同負）則式（8）引起的幅值大，否則式（7）引起的幅值大。又因實際轉位系統是兩單軸的依次旋轉，會引起不連續的陀螺數據輸出，加上實際有限的采樣頻率，必然會引起陀螺輸出誤差角速度的上下不對稱性，這種不對稱性會使誤差角速度的均值不為零，且其大小與幅值相關，進而引起不同的姿態振蕩誤差。另外，根據文獻[20]可知安裝誤差會引起鋸齒形速度誤差為

姿態與速度誤差又會一同引起位置誤差的振蕩。另外，高次序的效果未必強于低次序的原因之一也在于不對稱性，篇幅有限不做敘述。綜上可得出結論2。

由式（11）可知，由次序5～8引起東向軸常值漂移與安裝誤差項與式（10）相反，一個完整周期內的累積姿態誤差角為0，既消除了常值漂移誤差的影響，又消除了旋轉角速度與標度因數及安裝誤差的耦合項，使導航系統的長期特性得到改善，達到了轉位方案設計的目的。據此可得Δgxz與Δgxy符號相反時的最優八次序異軸反向轉位方案，如圖2所示。

異軸同向時的轉位次序與上述情況類似，只要改變偶次序2，4，6，8的轉軸方向即可得到Δgxz與Δgxy符號相同時的最優八次序異軸同向轉位方案。

實際上由于器件的非理想性，轉軸不垂直，轉動角度不準確時，前8次序會存在無法抵消的誤差，因此可以補一組對稱的轉位次序（對稱原則）作為次序9～16，以進一步減小誤差，由此可形成十六次序轉位方案。

3?仿真分析

3.1?仿真條件

在靜基座條件下，初始時刻時s系、b系及n系重合，設三軸陀螺常值漂移均為0.01 （°）/h，對稱性標度因數誤差為6×10-7，非對稱性標度因數誤差為4×10-7，安裝誤差設置同文獻[20]，其中Δgxz為0.000 01，Δgxy為-0.000 02，旋轉機構角速度ω=6 （°）/s，仿真時長為120 h，不考慮初始姿態誤差、速度誤差、位置誤差、地球自轉及停位狀態影響。

3.2?仿真驗證

（1）最優異軸反向轉位方案的合理性驗證

由仿真條件可知，Δgxz與Δgxy符號相反，此時由安裝誤差引起的東向陀螺輸出如圖3所示，橫軸為轉位次序，范圍取1～9，縱軸為東向陀螺輸出，單位為rad/s。其中，圖3（a）為異軸同向時的東向陀螺輸出，均值為-2.908 9×10-11 rad/s;圖3（b）為異軸反向時的東向陀螺輸出，均值為-9.696 3×10-12 rad/s，前者是后者的3倍，可見此時由八次序異軸反向轉位方案引起的不對稱性要小很多，各項誤差詳細對比如圖4所示。

圖4（a）為八次序異軸同向時的誤差輸出，圖4（b）為八次序異軸反向時的誤差輸出，從上至下依次為東向姿態誤差、東向速度誤差和經度誤差，可見異軸反向時振蕩幅度（峰峰值）相比異軸同向時分別減小了約1/3，1/2及1/3，因此在Δgxz與Δgxy符號相反情況下選擇八次序異軸反向轉位方案是合理的。

（2）最優異軸同向轉位方案的合理性驗證

其他條件不變情況下，將Δgxz設為-0.000 01，此時Δgxz與Δgxy符號相同，由于篇幅所限只對比了東向陀螺輸出與經度誤差，如圖5所示。

由圖5（a）可知，異軸同向與異軸反向時的東向陀螺輸出均值分別為-9.696 3×10-12 rad/s與-2.908 9×10-11 rad/s，異軸同向轉位方案的不對稱性是異軸反向時的1/3。由圖5（b）可知，異軸同向與異軸反向時經度誤差的幅度范圍分別為0.196與0.496海里，前者減小了3/5。另外姿態誤差與速度誤差的振蕩幅度減小了1/3和1/2，具體數值如表1所示，可見，在Δgxz與Δgxy符號相同的情況下，選擇八次序異軸同向轉位方案是合理的，此時與傳統八次序轉位方案一致，由此結論2得到證明。

4?結論

本文補充并優化了調制型捷聯慣導系統的常值漂移、標度因數及安裝誤差的抵消原則，根據安裝誤差與轉位次序的關系，提出了全局最優轉位設計方案，解決了傳統八次序轉位方案存在局部最優的問題，并且通過仿真進行了合理性驗證，具體設計方案如下：

首先確定次序1（如A+zbB）;其次根據同軸反向（結論1）可確定次序1，3及次序2，4的相對轉向關系;然后根據Δgxz與Δgxy的符號關系（結論2）可確定出次序2相對于次序1的轉向關系，兩者同向時選擇異軸同向，反向時選擇異軸反向，由此可確定出次序1～4;次序5～8根據誤差抵消原則1、原則5和同軸與異軸轉位關系即可確定。

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