乘法分配律：遨游于數學王國

賴美琴

（福建省龍巖市松濤小學分校，福建龍巖 364000）

引 言

關于簡便計算，有“五律”之說，分別是加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律；另加“兩性質”，即減法性質、除法性質。“五律”“兩性質”是進行簡便計算的依據與法則，同時對于數學的簡化學習起了決定性的作用[1]。在學習與應用過程中，不斷拓展學生的思維，梯度學習，逐次呈現。特別是乘法分配律，它既是簡便計算教學的重點，又是教學的難點和易錯點。綜觀多年的教學實踐，筆者反復思考這些困惑，心得體會油然而生。下面，筆者就談談個人的一些粗淺看法。

一、啟蒙階段，提早滲透

在低年級教學中，教師務必做好前期滲透，做好鋪墊，讓學生在潛移默化中學習乘法分配律，為學習四年級上冊真正意義上的乘法分配律埋下伏筆。

例如，二年級學習乘法口訣后就會有“2 個5 加4 個5 等于幾個5”。這就是乘法分配律的雛形，教學的側重點是學生能感悟出其中的計算方法即可。

圖1

在三年級教學中，有兩位數乘一位數的口算，那是整數、小數計算的入門，如25×3=？你是怎么想的？請寫出你的思考過程：25×3=20×3＋5×3=75。三年級下冊初次學習兩位數乘兩位數的筆算乘法教學中，如圖1 所示：25×13=？教師可以先從25×3 導入，緊接著讓學生自主嘗試，可以巧妙地借助點子圖，讓學生自主分析算法的策略與依據，從拆數方法、運算定律、轉化思想三個角度，進行追溯分析，抓住數學的本質。然后，教師引導學生對豎式算法進行討論，使學生認識到兩位數乘兩位數的豎式算法；最后使學生通過算式、點子圖再聚焦豎式的拆分、分析，從而理解其中蘊含的算理。在這個拆分過程中，用到了一個重要的思想方法：把兩位數乘兩位數轉化為兩位數乘一位數和兩位數乘整十數，也就是把新知識轉化為舊知識。至此，學生完成以兩位數乘兩位數計算為載體，通過數形結合，經歷了算法的分析和算理的反思、應用的過程，發展了運算能力。

在三年級上冊，學生學習了長方形和正方形的相關知識，那是幾何入門。學生啟蒙階段知識掌握得好不好，很大程度上影響到后續學習。在周長知識的教學中，正方形的周長明顯異于長方形的周長。對于長方形周長的教學，教師可首先讓學生通過對圖形的觀察、分析，量一量它一周的長度，得知周長的意義；其次，通過嘗試計算得到周長，有長＋寬＋長＋寬，按量的順序有序計算，不重復、不遺漏，也有長＋長＋寬＋寬，因有相等長度的邊而跳躍式相加；最后，通過思考再總結得出③長×2＋寬×2，④（長＋寬）×2。這種梯度思考，既體現了計算方法的優化，又溝通了知識之間的聯系。計算不再是單純的計算，而是滲透在各個層面，原來幾何知識的學習也是離不開乘法分配律的，或許這就是乘法分配律的前世吧！

二、意義學習，構建知識

在四年級教學中，乘法分配律終于來了。在教材中呈現的學習程序是，先觀察算式，看看左右兩邊是否相等；再次觀察左右兩邊算式的關系，進而得出乘法分配律的規律。筆者在教學中巧妙地抓住學生已有的知識經驗，以他們的知識落腳點為起點進行講解，出示一系列的習題，告訴學生：“這是你們學過的，當時你是怎么想的？請從中找出規律。”習題如下：

（1）2×5＋4×5=（ ）×5

（2）根據上一小題的經驗，你會口算25×13 嗎？

25×10＋25×3 20×13＋5×13

（3）出示長方形，長5 厘米，寬3 厘米。你想怎么計算它的周長？ 5×2＋3×2 （5＋3）×2

（4）出示生活實際問題：小芳在超市買了方便面、薯片各5 包，方便面4元一包，薯片3元一包。一共用去多少錢？如果你是售貨員，你會怎么算錢？算一算，說說你的想法。

4×5＋3×5 （4＋3）×5

（5）在學生解答并匯報各自的想法后，出示問題：第（2）（3）題分別有兩種不同的方法，答案一樣嗎？想法相同嗎？

（6）你能用字母或符號表示它們左右兩邊知識之間的關系嗎？

①a×c＋b×c=（a＋b）×c

學生通過自主嘗試、解決問題，在不同方法中探究，在相同結果中思考，彰顯乘法分配律的本質。這樣，學生能夠深刻構建知識體系，并會靈活運用，真正實現了訓練思維，發散思考，殊途同歸。

三、遷移學習，練習運用

在四年級剛學完乘法分配律后，直接進入整數的簡便計算，學以致用，熟能生巧，但學生還是錯誤層出不窮，特別是一些稍難易錯題。優生，掌握了知識，明白了道理，做起題來得心應手、有條不紊；相反，學困生，不理解算理，困惑重重。還好，教材的編寫是循序漸進的，到了五年級上冊，又過渡到了小數乘法的簡便計算，此時看似新課教學，但中上的學生都可以自學完成，遷移學習即可，效果好多了；到了六年級上冊，分數乘法的簡便計算，使舊知識的再度遷移學習，連學困生都不再疑慮了。在高年級，乘法分配律還延伸至方程的計算，如2.3x＋2.7x=10。學生在練習中感悟、明理，實現正遷移。

四、深度學習，梯度應用

到了高年級，乘法分配律的靈活應用有了更高的要求，許多知識蘊含著這一規律，需要教師和學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維探索世界，用數學的聲音描述世界，用數學的方法感悟世界。

在學習五年級下冊“長方體和正方體”一單元時，學生已了解正方體是特殊的長方體，相比于正方體，長方體的知識量大且難。單元復習中有一道題：一個長方體，當長、寬、高各擴大2 倍時，它的棱長總和、表面積、體積分別擴大幾倍？這個問題可是難倒了大片學生。這時，教師應該怎么辦？

（1）舉例子，用數值帶入計算，得出規律，這是一個好方法。

如長6 厘米，寬5 厘米，高3 厘米

（2）借助乘法分配律進行理解，利用字母公式對棱長總和、表面積、體積的計算進行拓展思考。知識梳理如下：

棱長總和：(a×2＋b×2＋c×2)×4=(a＋b＋c)×4×2

棱長總和擴大2 倍

表面積：(a×2×b×2＋a×2×h×2＋b×2×h×2)×2= (ab＋ah＋bh)×2×4 表面積擴大4 倍

③體積：a×2×b×2×h×2=abh×8 體積擴大8 倍

其中蘊含著乘法分配律的學習，已經是高層次、高級別的學習。學數學不能只著眼于眼前，更重要的是要提煉思維、深度學習、梯度應用，重在體驗獲取知識的過程，由學會變成會學。

結 語

總之，乘法分配律并不局限于計算過程的簡便運用，從縱向上看，它貫穿于數學課程的始終，從小學到初中、高中、大學及步入社會運用于生活；從橫向上看，它拓展運用于代數、幾何各個數學知識領域，遨游于數學王國，彰顯魅力，盡顯霸氣風采。