函數(shù)的“故事”

姜鴻雁

記得好幾年前，我把“函數(shù)”這一課題寫在黑板上，對(duì)同學(xué)們說：“今天起，我們開始學(xué)習(xí)函數(shù)啦！在學(xué)習(xí)之前，對(duì)這個(gè)“新朋友”，你有問題問老師嗎？”有同學(xué)問：“它與我們前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容有關(guān)嗎？如果有，有怎樣的關(guān)系呢？我很想知道。”有人問：“什么叫函數(shù)呀？”……在眾多問題中，一位同學(xué)的問題讓我記憶猶新！他問：“老師，到底是誰起的這個(gè)‘怪怪的名字啊？”同學(xué)們，通過本章的學(xué)習(xí)，前面的問題都應(yīng)該解決了。最后一個(gè)問題，你有沒有像這位學(xué)長一樣，有同樣的疑惑？相信通過這篇文章的閱讀，你一定能從另一個(gè)視角認(rèn)識(shí)“函數(shù)”。

“函數(shù)”名字的由來

早在17世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨就首次提出用“function，（函數(shù)）”表示x的冪，即x²、x³、x⁴……的值。后來，他還用‘function（函數(shù)）”這一詞表示曲線上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等與曲線上的點(diǎn)的變量關(guān)系，這個(gè)詞便逐漸流行開來。大物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓曾用“流量”（與我們現(xiàn)在手機(jī)使用的“流量”不是一回事）表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

19世紀(jì)，英國數(shù)學(xué)家德摩根的權(quán)威著作《代數(shù)學(xué)》被英國傳教士偉烈亞力帶入我國。我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯這本書時(shí)，將“變量”譯成“變數(shù)”，把“包含變數(shù)的表達(dá)式”譯成了“函數(shù)”，所以“函”有“含”的意思。這個(gè)譯名一直沿用至今。

函數(shù)發(fā)展小史

目前，提起函數(shù)，同學(xué)們可能容易聯(lián)想到一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），也就是首先想到函數(shù)解析式。這與古代數(shù)學(xué)家剛開始認(rèn)識(shí)函數(shù)的歷程是一樣的。著名數(shù)學(xué)家歐拉曾經(jīng)直接用“解析式”給函數(shù)下過定義。函數(shù)發(fā)展史上稱這一段時(shí)期為“解析式說”定義時(shí)期。

18世紀(jì)中葉，還是歐拉，在《微分基礎(chǔ)》這本著作里，更新了函數(shù)的定義，大致是這么描述的：如果某些量依賴另一些量，當(dāng)后面這些量變化時(shí)，前面的量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數(shù)。這個(gè)定義與我們課本上的定義比較接近了。為什么會(huì)有這樣的變化呢？因?yàn)閿?shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)實(shí)世界里，并不是所有的函數(shù)關(guān)系都可以用解析式來表示的，比如一天中的氣溫隨時(shí)間而變化的規(guī)律是用圖像表示的;再如水庫的水位隨時(shí)間的變化規(guī)律是用表格來表示的……歐拉如此改進(jìn)，將函數(shù)的發(fā)展由“解析式說”推進(jìn)到“變量依賴關(guān)系說”。無論是他的“解析式”定義還是“依賴關(guān)系”定義，都對(duì)后世認(rèn)識(shí)函數(shù)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年提出另一個(gè)函數(shù)定義，大致是這么說的：兩個(gè)變量x、y，在某一區(qū)間上，每一個(gè)確定的x值，y都有唯一一個(gè)確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y叫x的函數(shù)。這與我們教材中關(guān)于函數(shù)定義的描述非常接近了，史上稱之為“變量對(duì)應(yīng)關(guān)系說”。它將函數(shù)的發(fā)展又向前推進(jìn)了一步。例如，y=0，我們說它一定不是一次函數(shù)，但它是函數(shù)嗎？我們可以這樣理解：對(duì)于變量x，取任意一個(gè)值，y都有唯一的值0與它對(duì)應(yīng)，用變量對(duì)應(yīng)關(guān)系定義可以判斷它是函數(shù)，我們稱它為“常函數(shù)”。另外，數(shù)學(xué)家柯西首次提出“自變量”一詞，也推動(dòng)了函數(shù)的發(fā)展。

在數(shù)學(xué)世界里，同學(xué)們還有很長的探索之路要走。待到進(jìn)入高中后，函數(shù)的定義會(huì)變化，你們將學(xué)習(xí)函數(shù)發(fā)展的更高階段——“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系說”下的定義。至于“集合對(duì)應(yīng)關(guān)系說”下的函數(shù)定義是怎么描述的，對(duì)函數(shù)的研究又提供了怎樣廣闊天地，進(jìn)入高中學(xué)習(xí)階段后自有分曉。這真是學(xué)無止境、學(xué)海無涯！

函數(shù)定義的發(fā)展是一部歷史，傾注了幾十代數(shù)學(xué)家們的思考與努力，為后人留下了燦爛的文化，也感召著后人為人類文明的發(fā)展奉獻(xiàn)自己的智慧?；赝瘮?shù)發(fā)展的歷史，其實(shí)“函數(shù)”這個(gè)詞翻譯自函數(shù)發(fā)展初級(jí)階段，即“解析式說”時(shí)期的定義，它已經(jīng)不能反映“function”的真正含義了。我們了解它、延用它，更要發(fā)展它，這既是銘記我國古代數(shù)學(xué)家李善蘭為我國數(shù)學(xué)事業(yè)發(fā)展作出的貢獻(xiàn)，也是在鞭策我們努力前行，為人類的數(shù)學(xué)文明的發(fā)展作出我們中國人應(yīng)有的貢獻(xiàn)！