正態總體方差和標準差的無偏估計

孫翠先，步金芳

（1.唐山學院基礎教學部，河北唐山063000；2.唐山職業技術學院基礎部，河北唐山063000）

正態總體方差和標準差的無偏估計

孫翠先1，步金芳2

（1.唐山學院基礎教學部，河北唐山063000；2.唐山職業技術學院基礎部，河北唐山063000）

在正態總體分布下，給出了方差及標準差的矩估計量和極大似然估計量，討論了兩者之間的關系，得出兩類估計量相同，并進一步給出無偏估計量。

正態總體；標準差；方差；無偏估計

0 引言

1 正態總體方差和標準差的估計

設總體X服從正態分布N（μ，σ2），可知期望E（X）＝μ［2］，方差D（X）＝σ2，標準差因為總體X的分布有兩個未知參數μ，σ2，所以應考慮未知參數的估計量。（X1…Xn）是來自該總體正態的一個簡單隨機樣本。

1.1 矩估計量

總體一二階原點矩E（X）＝μ，E（X2）＝D（X）＋［E（X）］2＝σ2＋μ2，于是，按矩估計法得方程組μ＝是樣本的一二階原點矩。于是解得未知參數期望和方差的矩估計量為

1.2 極大似然估計量

設X1，X2，…，Xn是N（μ，σ2）的樣本，要求μ與σ2的極大似然估計，令樣本的密度函數作為似然函數。因此L（θ）＝對正態總體有似然函數

1.3 矩估計與極大似然估計的關系

對于正態分布總體來說，μ，σ2的矩估計與極大似然估計是相同的。同時也得到了σ的估計量＝S。

2 估計量的無偏性

設X1，X2，…，Xn是N（μ，σ2）的樣本，討論上述估計量的無偏性。設總體X服從正態分布則X珡是μ的無偏估計量。

因為E（S2）≠σ2，則S2不是σ2的無偏估計量。

下面討論σ的估計量的無偏性，為此需要證明下面的引理。

當y＞0時，FY（y）＝Fx2（y2），兩端對y求導，得

證畢。

定理1 S不是σ的無偏估計量。

證畢。

下面求σ，σ2的無偏估計量。2

則σ的無偏估計量為λS。

證明 由定理1可知

定理3 σ2的無偏估計量為

3 結語

正態總體情況下，均值μ的無偏估計是珡X，方差σ2，標準差σ的無偏估計是若θ＝σ與g（θ）＝θ2，當＝λS是θ的無偏估計量時，g（）不是g（θ）的無偏估計量。

［1］ 沈恒范.概率論與數理統計［M］.4版.北京：高等教育出版社，2003：171.

［2］ 工科數學課程教學指導委員會本科組.工程數學例題與習題［M］.北京：高等教育出版社，1996：219.

（責任編校：夏玉玲）

Unbiased Estimation of Variance and Standard Deviation Based on Normal Population

SUN Cui－xian1，BU Jin－fang2

（1.Department of Foundational Teaching，Tangshan College，Tangshan 063000，China；2.Department of Foundational Teaching，Tangshan Vocational and Technical College，Tangshan 063000，China）

Under population distribution of normal，moment estimation and maximum likelihood of variance and standard deviation are given.Its relation is discussed and it is concluded that two estimations are same.Finally，unbiased estimation is given.

normal distribution；standard deviation；variance；unbiased estimation

book=24,ebook=24

O212.1

A

1672－349X（2012）03－0005－02

2012－03－07

孫翠先（1963－），男，河北豐南人，教授，主要從事概率統計研究。