2020年高考函數性質試題評析兼談一輪復習思考

廣東省中山市桂山中學 余鐵青 528463

1 引言

函數的奇偶性、單調性、對稱性都是函數的主要性質，其在宏觀上反映了函數圖像的整體對稱性質，備受高考命題者的青睞．2020年高考全國卷對函數奇偶性的考查綜合性較強，多與函數的單調性結合，著重考查函數與方程、數形結合、整體與局部、一般與特殊等數學思想方法.命題形式為選擇題和填空題，且對部分試題寄予壓軸和區分的功能.筆者通過對試題的分析、研究，總結、歸納了一輪復習開展該注意的問題與備考策略．

2 實例賞析

2.1 注重數學本質，考查概念的理解和運用

例1（2020年理科2卷9）設函數f(x)=ln||2x+1-ln||2x-1，則f(x)（ ）.

A.是奇函數，且在(0,+∞)單調遞增

B.是奇函數，且在(0,+∞)單調遞減

C.是偶函數，且在(0,+∞)單調遞增

D.是偶函數，且在(0,+∞)單調遞減

解：直接利用函數的性質，“奇函數加奇函數為奇”，“增加增為增”的性質即可；又因為y=x3在R是增函數且為奇函數也是增函數且為奇函數，所以f(x)是奇函數，且在(0,+∞)是增函數．

評析：首先，這兩題實質上圍繞函數奇偶性概念精心設計問題，在直接考查概念的理解的基礎上融入單調性的判斷，檢驗學生對函數奇偶性數學本質的把握程度及理解水平，某種程度上可以說學生對函數奇偶性概念的理解程度決定了他們解題方法的選擇；其次，不少掌握程度一般的學生會認為試題四個選項已經給定具體的奇偶性，就無需在再判斷定義域究竟是什么，實際上這就是該題第一個巧妙之處.緊接著直接利用函數奇偶性的判定法則，確定該函數為奇函數；最后，在例2的解答過程中，很多學生可能會對函數求導，但運算量極大，容易出錯（初級水平）；還有就是可能直接取區間里取兩個數來判斷相應函數值大小（中級水平）；考慮對稱區間取值相對而言最簡單（高級水平）實際上在這三個層次決定了解題速度，也是從側面考查學生思維層次的一個很好的手段．

2.2 依托具體函數，設計為分段函數形式

例3（2020數學江蘇卷7）已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時的值是_____.

評注：此類試題以具體函數為依托，設計為分段形式的奇、偶函數；主要考查對函數奇偶性概念的理解和運用、奇偶性函數性質等，試題往往與單調性等綜合將未知轉化為已知是解題的基本思想方法.方法一的主要問題在于學生還停留在表面，如果指數運算能力不強，概念理解不到位就會出現各種各樣的錯誤；方法二直接利用性質巧妙避開求具體解析式的過程，理解深刻的學生要準確避開這個問題，力求達到準確，簡潔，高效.在看似常規的試題中對學生還是進行了實際的有效分層，有效考查了學生的邏輯思維能力和運算能力，這也間接解釋了為何總有中等學生做不完試卷．

2.3 設計具體函數，利用解析式研究函數切線與零點問題

例4（2020理科一卷6）函數f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1) )處的切線方程為（ ）．

A.y=-2x-1B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

解：∵f(x)=x4-2x3，∴f′(x)=4x3-6x2，∴f(1)=-1，f′(1)=-2，因此所求切線的方程為y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1.故選：B.

評注：本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題．

例5（2020北京高考6）已知函數f(x)=2x-x-1，則不等式f(x)＞0的解集是（ ）.

A.(-1,1) B.( - ∞,-1)?(1,+∞)

C.(0,1) D.( - ∞,0)?(1,+∞)

解：直接畫出y=2x和y=x+1在同一直角坐標系的圖像，顯然有兩個交點.分別是(0,1)和(1,2)，由f(x)＞0，即y=2x的圖像在y=x+1之上，直接選D.

評析：該題主要意圖應為考查學生的草圖能力.實際上根據以往學生解題經驗，直觀看出當自變量為零時函數值也為零，當自變量為一時函數值也為零，配合草圖瞬間秒殺．相反，若從零點和單調性進行處理，反而會使整個解題陷入被動，出現計算量大的弊端，甚至最終解題失敗，那么在實際教學過程中應加強對草圖的直觀感知，訓練解題能力．

2.4 設計試題以三次函數為載體，考查學生分類討論思維能力

例6（2020浙江高考9）已知a,b∈R,且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立，則（ ）．

A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0

解：因為ab≠0，所以a≠0且b≠0，設f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)，則f(x)的零點為x1=a,x2=b,x3=2a+b，當a＞0時，則x2＜x3，x1＞0，要使f(x)≥0在x≥0上恒成立，必有2a+b=a，且b＜0，即b=-a，且b＜0，所以b＜0；當a＜0時，則x2＞x3，x1＜0，要使f(x)≥0在x≥0上恒成立，必有b＜0．綜上一定有b＜0．故選：C

評注：本題主要考查三次函數在給定區間上恒成立問題，考查學生分類討論思想．主要關鍵點是對a分a＞0與a＜0兩種情況討論.一方面細分之后發現情況較多，學生必須保持思路清晰，才能嚴謹的得出答案.另一方面是對基本草圖的把握十分重要，學生如果不會草圖，對圖像的形態會缺乏基本認知，對于整體的分析不利，這也與課標（2017）里面所提及的直觀想象素養與邏輯推理素養以及運算素養的培養不謀而合．

2.5 設計類對稱性函數結構，遷移構造函數，利用單調性解決問題

例7（2020全國理科一卷12題）若2a+log2a=4b+2log4b，則（ ）．

A.a＞2b B.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

解：由2a+log2a=22b+log2b＜22b+log22b（此處準確使用放縮是解題關鍵之所在）考慮構造函數f(x)=2x+log2x，此函數顯然是增函數，于是答案選擇B.

評注：作為今年的壓軸選擇題，這題略顯簡單，該題實質上出自浙江省2012年高考試題的變形，兩者之間有著異曲同工之妙！該題使用類似對稱性的函數結構，使函數的對稱性內隱于函數解析式，要求學生理解知識間的關聯，洞察函數結構的對稱性，遷移奇函數的對稱性，利用放縮巧妙構造新的函數，結合單調性的思想解決問題，考查學生運用知識解決問題的能力，本質上具有很強的綜合性，較好的體現了高考評價體系里面所提及的能力立意．

3 一輪復習備考策略思考

3.1 認真研讀高考政策性指引文件，深刻解析教材練習題

在備考教學中筆者身邊很多教師都是一本復習書走天下，這其實走進了一個特別大的誤區.復習資料的編寫依據是高考試題導向與教材.市面上所有一輪復習教材實際上的編寫時間都是早于當年的高考時間的，例如2021屆的高考一輪復習資料的編寫出版時間是早于2020年高考時間的，這就會出現一個無法回避的問題，不可能參考當年的高考試題進行優化編寫，那么這樣編寫的復習用書相對于在領會高考題精神之后再來編寫的資料而言，方向性的把控就沒有那么準確.在這種實際備考教學背景下，筆者認為還是要認真鉆研考綱、中國高考評價體系和當年的高考年報等政府官方指導性文件.從中去發現國家需要什么樣的人材，那么我們就培養什么樣的人材，做到有的放矢．同時在一輪復習中，強調教材的基礎性作用，所有的復習書都離不開教材的原始素材，所以夯實基礎，深研教材練習題，與復習用書有機結合是有利于科學備考的．

3.2 重視基礎知識累積，常規題型訓練，形成完整的知識網絡

針對2020年的高考真題研究不難發現這樣一個事實：所有函數性質試題都是基于函數單調性基礎上設計的，而在函數諸多性質中，筆者也認為單調性所呈現的數學美感和數學函數變化的本質體現的最為淋漓盡致，這或許就是今年高考著重考察的根源所在.要想很好的突破這些試題，首先必須要準確掌握基本的思想方法，實際上就是人們經常所說的“套路”！在積累扎實的基礎知識和基本解題策略時，將它們通過習題訓練進行有效連接，形成詳實的知識網絡，這樣能夠有效打開學生的解題視野，從容應對一些常規試題，甚至部分具有創新背景的試題，以不變應萬變．

3.3 構建區域特色教學研究團隊，定期研討教學實踐優化策略

目前很多地方都熱衷于抱團發展，建設屬于自己的區域學校聯合協作體，基本上實現了定期聯合測試．

基于協作體內學校層次的基本統一性，積極發揮各自優勢，構建資源互補型的常態化教研氛圍，收集整理各自學校所出現的問題，進行聯合診斷分析.把最新的備考信息與學校本身實際情況相結合，共同研討有效篩選做最新模考試題，及時根據學情、考情調整授課進度，速度，控制難度等，實現資源最大程度優化配置．

3.4 加強運算能力的培養，規范答題

數學從字面上理解就是研究數學變化的學科.數學一旦離開運算就會失去原本數學所特有的運算化簡美感．從函數小題的考查情況來看，運算能力依舊是考查的重點．在實際教學考試中，尤其是三角函數板塊內容，很多學生往往會忽視運算問題，總是簡單地認為，理解清楚了邏輯就可以了，運算經常被有意或無意的淡化，而從統計結果來看，很多試題最后求解不正確，往往是失分在運算處，這是很多學生一直以來的痛點！教師在備考過程中要強調學生的運算能力的培養，注重板書的完整性.

3.5 著力留意主流模擬試題中的創新題，研究出題背景與考查意圖

高考剛剛結束，筆者就在網上看到有人說：“物理有一道大題與某套試卷完全一樣，連數據都沒有改”．當看到這個消息之后，首先是一驚，其次是認為準確選擇模考試卷也是十分重要的，試卷千千萬，質量高的，導向性明確的應首選國內主流模考卷，而高考試卷命題人在命制試卷時，基于能力立意的考查實際，必定有部分試題是絕對的“原創創新題”而這些試題的問題背景是值得一線教師認真分析的，考查的是什么知識點？考查學生什么能力？以何為命題背景？等等．