賞析如出一轍的五道高考圓過定點題

云南省玉溪第一中學 武增明 653100

試題1（2008年高考江蘇卷文科數學理科數學第18題）在平面直角坐標系xOy中，設二次函數f(x)＝x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩個坐標軸有三個交點，經過這三點的圓記為C（.Ⅰ）求實數b的取值范圍；（Ⅱ）求圓C的方程；（Ⅲ）問圓C是否經過定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論.

試題2（2009年高考江西卷理科數學第21題）已知點P1(x0,y0)為雙曲線1（b為正常數）上任一點，F2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于點P2（.Ⅰ）求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；（Ⅱ）設軌跡E與x軸交于B,D兩點，在E上任取一點Q(x1,y1)(y1≠0)，直線QB,QD分別交y軸于M，N兩點.求證：以MN為直徑的圓過兩定點.

試題3（2010年高考四川卷理科數學第20題）已知定點A(-1,0),F(2，0)，定直線，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B,C兩點，直線AB,AC分別交l于點M，N（.Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.

圖1

試題5（2019年高考北京卷理科數學第18題）已知拋物線C:x2＝-2py經過點(2，-1).（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y＝-1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

試題1賞析：（Ⅰ）顯然b≠0.否則，二次函數f(x)＝x2+2x+b的圖象與兩個坐標軸只有兩個交點(0，0)，(-2，0)，這與題設不符.由b≠0知，二次函數f(x)＝x2+2x+b的圖象與y軸有一個非原點的交點(0,b)，故它與x軸必有兩個交點，從而方程x2+2x+b=0有兩個不相等的實數根，因此方程的判別式4-4b＞0，即b＜1.所以b的取值范圍是(-∞，0)∪(0，1).

（Ⅱ）由方程x2+2x+b=0，得x=-1±.于是二次函數f(x)＝x2+2x+b的圖象與坐標軸的交點是設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因圓C過上述三點，將它們的坐標分別代入圓C的方程，得方程組，因b≠0，得的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b＝0.

（Ⅲ）圓C過定點.假設圓C過定點(x0,y0)（x0,y0不依賴于b），將該點的坐標代入圓C的方程，并變形為x20+y02+2x0-y0+b(1-y0)＝0（*）.為 使（*）式 對 所 有 滿 足b＜1（b≠0）的 b都 成 立，必 須 有1-y0＝0，結合（*）式得x20+y02+2x0-y0=0.解得經檢驗知，點(0，1)，(-2，1)均在圓C上.因此圓C過定點.

試題2賞析：（Ⅰ）由已知得F2(3b，0),(x-3b)，令x＝0得y＝9y0，即P2(0，9y0).設跡E的方程為

故存在定點M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

試題1的第（Ⅲ）問及試題2、試題3、試題4、試題5的第（Ⅱ）問都是解析幾何中的動圓恒過定點問題，從賞析過程中，已經為我們如何解決解析幾何中的動圓恒過定點問題指出了求解思路.其主要解答思路是，抓住直徑所對的圓周角是直角，進而抓住兩條線段垂直，進一步得這兩條線段對應的向量的數量積為零，于是把問題轉化為恒等式問題，這時的解答思路與判斷動直線是否恒過定點一樣，湊定值獲解.試題1的第（Ⅲ）問及試題2、試題3、試題4、試題5的第（Ⅱ）問求解過程中都使用了兩個非零向量垂直的定義.與上述試題如出一轍的還有以下試題6，讀者不妨自己試一試.

試題6（2018年全國高中數學聯(lián)賽四川省預賽試題第13題）已知雙曲線，設其實軸端點為A1，A2，點P是雙曲線上不同于A1，A2的一個動點，直線PA1，PA2分別與直線x＝1交于M1，M2兩點.證明：以線段M1M2為直徑的圓必經過定點.