振動頻域特性與時域測量的分析

李潮銳

(中山大學 a.物理學院；b.物理國家級實驗教學示范中心，廣東 廣州 510275)

在近代物理實驗課程中，微波(射頻)電子自旋共振和連續波核磁共振實驗都使用(永磁體+)穩恒磁場、(周期調制)掃場和(偏振)電磁波(即光子)激發等相似功能的實驗裝置，但所顯示的實驗結果卻明顯不同:前者可觀測電子自旋共振吸收峰形，而后者則獲得核磁共振尾波[1]；當采用李薩如圖表示時，前者的物理圖象更清晰，而后者卻變得更模糊. 在實驗課堂上，通常結合振動頻域特性和共振弛豫時域測量的遠程實驗實時演示[2]，詳細分析磁共振實驗的物理原理和技術原理. 為了使課堂討論更加深入，還通過(固態樣品)電子自旋共振和(液態樣品)核磁共振的頻域微分測量輔助課堂教學[3-4]. 盡管在合適實驗條件下兩者可獲得相似的頻域實驗結果，但是依然難以直觀展示磁共振實驗測量的關鍵物理原理,甚至還可能對頻域與時域測量的物理關聯產生新的疑惑. 事實上，(核)磁共振原理可采用簡諧、受迫、共振和阻尼等振動分析的唯象描述,因此，振動實驗物理分析是透徹講解(核)磁共振實驗原理的基礎. 教學經驗表明，通過振動頻率特性、受迫、共振和阻尼時域測量等實驗事實，結合課堂(遠程)實驗演示和實時數據分析結果，可有效地幫助學生理解(核)磁共振原理和實驗現象，更為后續學習脈沖核磁共振及成像分析提供清晰的物理思路. 本文通過音叉振動頻域特性與共振時域測量物理分析，在理論和實驗課堂上講解磁共振原理的教學實踐，展現屬性關聯的物理實驗(和理論)課堂教學方法.

1 實驗技術方法

實驗主體裝置是上海復旦天欣FD-VR-B受迫振動與共振實驗儀，該設備利用電磁感應原理由驅動線圈和接收線圈分別對音叉實施振動激勵和獲取響應信息. 固緯APS-1102A電源工作在AC+DC-SYNC模式為驅動線圈提供勵磁電流，使用中大科儀雙通道鎖相放大器OE1022D分別測量(由接收線圈輸出的)音叉振動信號和驅動勵磁電流(電壓)的幅值與相位，且由兩者相位差得到振動響應相對于驅動激勵的相位. 使用NI USB-6003數據采集卡工作于10 kHz采樣率測量音叉振動的時域數據. 由雙路繼電器實現音叉振動信號頻域與時域之間切換測量. 普源DG4162信號發生器為APS-1102A和OE1022D提供同步參考信號. 計算機通過USB接口對實驗系統實施測控操作和數據采集分析，同時可以實現互聯網遠程(跨校區)實驗演示輔助物理課堂教學.

2 實驗結果及分析

2.1 音叉振動的頻率特性

圖1為音叉振動速度幅值及其相對于驅動力相位差隨頻率變化. 根據振動測量傳感技術，文獻[5-7]已詳細分析并確認電磁感應接收線圈輸出反映了音叉振動速度. 由于感生電動勢和音叉兩臂相向運動都產生π相位差，在低頻端啟振時振動速度相對于驅動力相位超前π/2. 由圖1可得知，音叉共振速度幅值最大處頻率，即共振頻率為236.16 Hz，其相位變化與文獻[8]一致.

圖1 音叉振動速度幅值和相位的頻率特性

音叉振動速度的實部和虛部頻率特性如圖2所示，可見音叉共振速度具有磁共振或者LC諧振[9]相同的吸收和色散規律. 由于激勵線圈和接收線圈(也包括空氣)阻尼作用，音叉共振峰具有一定頻率寬度，而非δ函數峰型. 理論分析表明，共振峰頻譜展寬隨阻尼增強而增大[8].

圖2 音叉振動速度實部和虛部的頻率特性

2.2 阻尼振動分析

利用電磁感應激勵和測量響應信息的實驗技術方法也影響了音叉振動的頻率特性. 激勵線圈和接收線圈的磁芯對音叉雙臂都產生吸引力，且與音叉振動恢復力反向. 在音叉振動(微小)位移范圍內，可以認為磁芯吸引力近似線性變化，等效于減弱了音叉的勁度系數[10]. 隨著磁芯逐步靠近音叉臂，(等效)勁度系數逐漸減小，因而音叉共振頻率向低頻端移動. 另一方面，音叉振動引起線圈磁通量變化，這正是獲取振動信息的技術原理. 根據楞次定律，閉合回路中感應電流的方向，總是使得它所激發的磁場來阻礙引起感應電流的磁通量的變化[11]. 或者認為，線圈感生電流所產生的磁場是為了抵抗與它賴以存在的磁通量變化. 同理可知，線圈感生磁場對音叉也存在作用力. 由于感生電流正比于磁通量變化，即音叉振動速度，因而感生磁場強度也正比于音叉振動速度. 由此可見，音叉所受感生磁場力與音叉振動速度成正比，這正是振動阻尼力項.

在振動(微小)位移范圍內磁力變化近似線性，可認為兩側線圈感生電流增大音叉振動阻尼系數. 隨著磁芯逐步靠近音叉臂，音叉(等效)阻尼系數逐漸增大. 為便于比較，實驗全程保持驅動線圈勵磁電流(電壓)有效值相同.

圖3為音叉振動速度實部(吸收的)頻率特性隨音叉臂與線圈磁芯間隔變化情況. 圖3中每個共振吸收峰處標示了所對應的音叉臂與磁芯的距離(單位為mm). 可見，當音叉臂與磁芯間距逐步增大，音叉共振頻率向高頻端移動，而其共振吸收峰頻寬逐漸變窄. 音叉共振頻率隨磁力變化規律與文獻[10]結果一致.

圖3 不同阻尼振動速度實部的頻率特性

2.3 共振弛豫分析

在驅動力作用下，音叉產生同頻受迫振動，且在某特定頻率處達到共振. 一旦撤除驅動力，音叉振動隨之逐漸減弱，直至恢復靜止狀態. 這一振動衰減過程可采用指數衰減函數描述，且由衰減時間常量或弛豫時間表征其物理屬性.

圖4為音叉臂與磁芯間隔約1.0 mm時共振弛豫的時域測量結果，弛豫時間為0.425 7 s. 圖中小圖為時間軸放大所見信號周期變化，其頻率即為音叉振動頻率. 圖4時域測量數據記錄了撤除驅動力后音叉振動隨時間衰減過程，可采用

A=A0e-t/τsin (ωt+φ)

(1)

描述，其中，ω和φ分別為音叉振動頻率和初相位，τ為音叉振動弛豫時間. 若取每周期峰值所得的振動衰減包絡線數據，則可由

A=A0e-t/τ

(2)

得到振動弛豫時間τ.

圖4 共振弛豫的時域測量結果

圖3中不同阻尼情形共振衰減的時域測量分析結果顯示，共振弛豫時間τ隨阻尼減弱而延長. 使用式(1)或式(2)得到相同的實驗結果. 為簡化數值計算，采用式(1)分析，可考慮ω為已知量；選用式(2)擬合時，可利用峰點的周期特性.

2.4 共振弛豫與頻譜展寬

綜合上述分析可知，共振頻率展寬和弛豫時間都與阻尼系數有關. 外界驅動(激勵)引起音叉同頻受迫振動，其本質就是(能量)激發的過程. 換句話說，音叉靜止狀態是基態，受激(受迫)振動即為激發態. 由此可見，共振頻譜(展寬)記錄了激發態能級的能量分布(寬度)，而振動衰減時間常量描述了系統從激發態返回基態的弛豫過程. 圖3不同阻尼情形的音叉共振頻譜展寬(半高全寬)Δf及對應共振弛豫時間τ關系如圖5所示.

由圖5可見，對于確定體系，共振(吸收)譜寬(半高全寬)與所對應的共振弛豫時間倒數可近似為線性關系，即圖5中藍色直線. 針對音叉振動還可發現，共振譜寬與弛豫時間不成反比關系，明顯偏離了圖5中紅色直線. 上述實驗結果表明，隨著阻尼增強，共振頻譜展寬增大，而共振弛豫時間縮短，且在實驗范圍內滿足Δf·τ<1. 激發態是不穩定態，除非維持不間斷激發(受迫)作用，否則最終將返回基態. 基態是穩定態，其弛豫時間趨于無窮；或換個角度說，基態能級展寬趨于零.

圖5 共振頻率展寬與弛豫時間關系

基于音叉共振的頻域和時域獨立測量結果，實驗上兩者存在物理性質關聯. 如圖4所示，音叉共振時域信號具有明確的周期性，可通過傅里葉變換得到對應的共振頻域信息[12]. 圖6為采用離散傅里葉變換(DFT)方法，由共振弛豫的時域測量數據得到共振(吸收)頻域譜.

圖6 DFT所得不同阻尼共振頻域譜

與圖3相比，圖6分析結果雖可得到相同共振頻率和近似相等的吸收峰展寬(半高全寬)，但頻譜峰幅值卻明顯不同. 對于完全復制的周期函數(過程)，傅里葉分析可以僅考慮單周期貢獻，且通過單周期歸一化得到頻譜. 對于非完全復制的周期函數(過程)，傅里葉分析必須計及所有貢獻周期，因此每一頻率DFT數值都與周期數量有關. 盡管歸一化體現了頻譜分布的概率涵義，但由于不同過程的歸一化因子不存在關聯，不同實驗條件之間的頻譜分布各自獨立，因而頻譜幅值不具備可比性. 對于單峰頻譜，峰窄而高，或寬而低. 盡管圖6分析結果與圖3實驗測量的頻譜幅值有明顯差異，但頻譜峰中心頻率及其頻寬(半高全寬)等參量一致反映了共振的物理屬性.

3 結 論

實驗測量了音叉振動速度幅值和相位的頻率特性，得到共振吸收和色散的頻域特征. 通過逐漸增大線圈磁芯與音叉臂間距，頻域測量可觀測到音叉共振頻率隨磁場增強而移向高頻端，共振頻譜寬度則隨感生磁場增強逐步變窄；對應的時域測量分析表明，共振弛豫時間隨之逐漸延長. 對于所用的音叉共振體系，盡管共振譜寬與弛豫時間不成反比關系，但是譜寬與弛豫時間倒數近似為線性，且在實驗范圍內滿足Δf·τ<1. 盡管共振頻域實驗測量與時域DFT分析結果存在差異，但頻譜峰中心頻率和頻寬(半高全寬)等物理參量是一致的. 上述結果說明，若共振弛豫時間較長，意味著激發態能級寬度比較窄；反之，則是激發態能級寬度比較寬. 上述結論適用于分析連續波(核)磁共振過程. 由于調制磁場(掃場)強度隨時間變化，從而觀測所得磁共振信號既是時域信號，同時也包含著對磁場變化的響應信息. 在近代物理實驗課中，微波電子自旋共振(固體)樣品的激發態能級寬度較寬而弛豫時間很短，實驗測量主要體現磁共振信號隨外磁場強度變化情況. 連續波核磁共振(液體)樣品的激發態能級寬度很窄而弛豫時間較長，實驗測量突出反映共振弛豫過程的尾波信號[1].