隨機和認知不確定性下的結構可靠性分析綜述

海軍裝備部駐廣州地區軍事代表局駐昆明地區第二軍事代表室 云南 昆明 650032

1 引言

結構可靠性是指結構在規定條件下和規定時間內完成規定功能的能力。在實際應用中，為了對結構可靠性進行定量的分析，引入了結構可靠度的概念：結構可靠度是指結構在規定條件下和規定時間內，完成規定功能(結構不破壞)的概率[1]。

目前根據不確定性的不同，人們將不確定性分為隨機不確定性和認知不確定性，并相應的研究處理各類不同不確定性的理論和方法，其中具有代表性的包括概率模型、可能性模型和區間模型等[2]。概率模型是人們研究最廣泛的一種模型，他能有效的處理只包含隨機不確定性的情況，但是在處理認知不確定性時，其結果不盡人意。可能性模型是一種和概率模型平行的處理包含不確定性的模型。在結構可靠性設計領域，最初引入可能可靠性理論就是為了處理包含認知不確定性的情況，在處理包含認知不確定性的可靠性問題時已經表現出不俗的能力。然而，在設計機械產品時，遇到的更多情況是同時包含了隨機和認知不確定性的情況。而關于混合不確定性的可靠性問題，目前還沒有一套統一的、公認的、有效的方法體系[3]。在可靠性模型建模的過程中，我們首先要完成的任務就是需要獲得機械產品的某些性能響應的數學表達式。對于某些復雜的機械系統來說，來得到這些響應表達式是非常困難的，或者說是不可能完成的。近年來在計算機技術和數值分析方法的支持下發展而來的有限元方法為解決這些復雜的工程問題提供了有效的解決方法。所謂的有限元法將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函數來分片的表示求解域上待求的未知場函數，近似函數通常由未知場函數及其導數在單元各節點的數值插值函數來表達。從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。目前常見通用有限元軟件包括LUSAS、MSC.Nastran、ANSYS、Abaqus、LMS-Samtech、Algor、Femap/NX Nastran、Hypermesh、COMSOL Multiphysics、FEPG等等。這些軟件各有特色，ANSYS軟件具有建模簡單、快捷、方便的特點，因而成為大型通用有限元程序的代表[4]。

結構可靠性理論與方法作為保障系統結構可靠性的強力工具，受到工業界及學術界的廣泛關注，是可靠性領域研究的前沿課題。由于結構可靠性理論與方法能有效的處理結構各階段所存在的不確定性，并且揭示了不確定性對結構可靠性的影響的實質，因此結構可靠性是結構作用及其效應與結構抗力的紐帶，是反應結構安全性和耐久性的一個綜合性指標[5]。

隨著機械系統的精密、高速、重載和輕型的發展趨勢，機械產品的可靠性要求日益提高。對于只包含隨機不確定性的情況，基于概率的可靠性分析方法已日趨成熟；對于包含由知識不足、信息模糊、數據不完備等原因造成的認知不確定性的情況，基于可能性的可靠性分析已表現出一定優勢。

高可靠性產品才能滿足現代技術和生產的需要，可獲得高的經濟效益，有高的競爭能力，利于企業的生存與發展。

2 結構可靠性國內外研究現狀

2.1 基于概率統計的結構可靠性理論 在20世紀中葉，概率的設計方法被引入到工程設計當中，從而為結構可靠性理論奠定了理論基礎。可靠性設計方法是將概率設計理論與傳統的機械設計理論相結合的新方法，這里把不確定性現象看作隨機現象，用概率分布來量化不確定性，并通過數值計算的方法來量化的評價機械零件或系統不發生失效的概率(即可靠度)，這種設計方法不僅能解決傳統方法無法解決問題，而且能夠有效的提升產品的機械性能。經過半個世紀的發展，基于概率的可靠性設計方法日趨成熟，無論是理論研究還是工程應用與之相關的成果層出不窮[6]。概率可靠性模型是研究最早的一種可靠性分析模型，經過幾十年的發展，目前已經形成了許多經典的分析方法。概括起來，概率可靠性分析方法可大致分為近似解析法、數值模擬法、函數替代法三個大類。在解析法的方面，首先有人提出了結構安全度的概念，從而奠定了結構可靠度的理論基礎。在此之后一次二階矩法的出現則進一步推動了結構可靠度的理論發展。隨后可靠性指標的概念推導出了當系統的隨機變量全為正態分布時候的可靠性指標表達式。在此之后給出了MPP點的定義和模型，有效的解決了由于展開不同而導致可靠性指標出現不一致的問題，為了解決只適用于正態分布的情況隨后提出了著名的R-F算法。目前一次二階矩和二次二階矩方法由于能比較好的平衡精度和效率之間的關系，被廣泛的應用在了可靠性的優化設計中。除此之外，有人提出了直接利用功能函數在特征點處的函數值來近似計算功能函數的低階矩，然后由功能函數的各階矩來近似計算結構失效概率的兩點估計法。在此基礎上采用三點離散分布統計矩來描述連續分布的統計矩，推到了考慮輸入隨機變量前四階矩的三點估計法。在數值方面，蒙特卡洛方法運用較為普遍[7]。在理論上來說，不論任何的結構可靠性問題，蒙特卡洛方法都可以迎刃而解，但是該方法的效率較低，計算占用的資源比較高。特別對于一些復雜結構，這種不足就變得無法接受了，為了提高其運行效率，隨后提出了一些改進性的方法，用于代替蒙特卡洛方法，例如重要性采樣、方向模擬法、分層抽樣法和描述性抽樣法等。函數代替法方面，目前對于多變量復雜結構的可靠性分析，由于變量與結構功能函數之間沒有明確的數學表達式，一般都需要通過仿真分析來獲得設計變量與結構性能之間的響應。再將不確定性因素考慮在內，采用數值模擬的方法求解結構的失效概率，這無疑會使得整個分析過程的計算量變得異常龐大。在過去的二十多年中，代理模型已經被廣泛應用于工程設計的各個領域，在工程設計優化中扮演了越來越重要的角色。結構可靠性的基本理論和方法逐漸趨于完善，但可靠性相關計算方法在實際工程中遇到了許多問題，如非正態隨機變量處理不準確，相關可靠性分析方法計算量偏大，計算精度不高等若干問題，馬超結合近年來最新的數學理論方法，如模擬退火全局優化算法，統計學習理論，馬爾可夫鏈模擬，凸集模型等，發展了一系列計算效率高，計算精度好的適于工程運用的可靠性分析方法[8]。

2.2 基于非概率統計的結構可靠性理論 隨著不確定性現象的深入研究，人們逐漸發現基于概率的可靠性分析存在著一些局限性，在完整概率的可靠性分析要滿足以下條件：事件定義明確；存在大量樣本；樣本具有較好的重復性和可以量化的分布規律；不受人為因素的影響。在機械設計的早期階段，由于結構的負載和工作條件惡劣的機械，我們通常無法獲得足夠的觀測數據。并且受到觀測手段以及儀器的影響，工程師很難獲得足夠的數據。由于眾多的不利因素的影響，要求試驗數據同時滿足概率可靠性分析的條件是幾乎不可能的，這就使得基于概率的可靠性研究不能有效的處理這方面的問題。

為了解決概率可靠性理論的局限性，學者對不確定性的本質進行了深入的討論和分析，從不確定性信息的隨機性，模糊性和不完備性進行討論，將不確定性分為隨機不確定性和認知不確定性，并且認為隨機不確定性是事物的固有屬性，而認知不確定性則是由于信息模糊，數據不完整或知識缺乏等因素造成的。這種分類方式能夠明確的造成不確定性的本質原因，從而能夠比較好的來解釋概率可靠性理論所不能解釋的問題。實際上來說，概率可靠性理論只考慮了隨機不確定性，因此基于概率可靠性分析設計的方法只適合于只包含隨機不確定性的情況。

在此之后，為了彌補概率可靠性理論的不足，又有人提出了非概率可靠性的概念。這些理念很快就獲得了大量的關注和討論，一些能夠有效處理認知不確定性理論逐漸進入人們的視野。目前，在處理認知不確定性的非概率理論主要有凸集理論，證據理論和可能性理論[9]。其中的凸集理論是用來描述不確定的，凸集理論對數據不足或信息不完備的情況有明顯的優勢，孫座振以區間模型為基礎對結構的疲勞和可靠性做了分析和研究。將疲勞分析中的不確定性因素用區間模型描述，把不確定參數的不確定范圍看作不確定參數的區間半徑，對疲勞功能函數進行區間擴展，用區間攝動法對含有區間變量的疲勞功能函數做區間運算，對應力-疲勞壽命區間、應變-疲勞壽命區間及其可靠度進行了分析，并對結構進行了疲勞可靠性優化。將Epsilon重分析方法有效地應用于結構靜態響應與動態響應的可靠度分析中，計算結構靜態與動態非概率可靠度指標。將Epsilon方法與區間控制法相結合，通過控制區間參數的區間半徑改善靜態和動態響應的可靠度指標。實現區間參數的多目標區間控制[10]。區間方法只需要知道不確定性的區間的界限即可，尤其特別適合處理小樣本的情況，但這種分析方法也存在缺陷：無法有效表現區間內的分布情況，也就意味著凸集理論要和其他理論相結合才可以取得比較良好的結論。

熊彥銘、楊戰平等利用證據理論來表征單元可靠性的不確定性，并通過響應函數獲得系統的非概率可靠性輸出，其區間的上下界分別為似真函數和信任函數，從而實現了不確定性的傳播[11]。證據理論的核心思想引用信任函數，似然函數及類概率的分布函數來描述不確定性或證據的精確信任度，從各個不同的角度來刻畫不確定性。證據理論擁有比較強的理論性，能將“不確定”和“不知道”區分開來。但也擁有自己缺點，證據理論要求處理的信息必須是獨立的，不能處理模糊信息。

李昆鋒、楊自春、孫文彩等研究了模糊不確定性和非概率不確定性共存時的結構可靠性問題。應用模糊理論，導出了Info-gap(Information-gap)模型的失效可能性測度和安全可能性測度，建立了模糊失效準則下結構非概率可靠性分析的一般性模型，給出了可靠性指標的解法[12]。可能性理論的核心思想是確定可能性，可能性分布，可能性分布函數，邊緣可能性函數等其他系個度量工具之間的關系，以及各種命題之間轉換規則和不精確命題的推測規則[13]。

非概率的可靠性理論對數據的要求比較低，有較好的工業應用前景。目前，非概率的理論已經應用到土木，交通，計算力學，軍事，能源，自動化，航天等各個領域，成為機械工程中處理不確定性的重要工具。但與成熟的概率理論相比的可能性理論，非概率的可靠性理論目前還處于發展階段，因此概率分析方法仍是主流分析方法，非概率的分析方法只為其作為補充，并不能完全替代。

由于在可靠性分析中概率分析理論的主導地位，以及工程中存在了大量的認知不確定性現象，因此將概率理論和非概率理論想結合，研究不確定性條件下的可靠性分析方法也是非常重要的，近些年來已經出現眾多混合不確定性的研究成果，例如基于概率區間的混合可靠性模型，基于概率可能性的混合可靠性模型，基于模糊與區間的混合可靠性模型等等，這些理論大多處于理論研究階段，其工程的應用價值有待進一步的印證。

2.3 基于概率-非概率統計的結構可靠性理論 工程中，隨機不確定性和認知不確定性往往同時存在。近年來，兩種不確定性同時存在下的結構可靠性理論引起國內外大量知名專家學者的高度關注，并開展了卓有成效的研究。劉國梁利用3σ準則建立了區間非概率可靠性指標與概率可靠性指標的轉換關系[14]；吳鈺龍基于概率和非概率凸模型，并考慮模糊失效準則，對其混合可靠性問題進行了研究[15]；何新黨從概率模型、模糊模型、非概率模型等多個角度對結構可靠性設計問題進行研究，建立了一些適用于復雜工程問題的結構可靠性分析方法[16]；李昆鋒、楊自春、孫文彩等對凸集不確定性和隨機變量共存的結構混合可靠性模型行研究，以解決部分參量統計信息不足時的結構可靠性評定問題。基于Info-gap理論，建立一種統一的結構非概率可靠性模型，由此導出一種與概率可靠性方法等價的橢球非概率可靠性模型。用一種特定的橢球凸集模型描述隨機變量不確定性，與一般性的凸集模型復合，將凸集不確定性和隨機變量共存的混合可靠性問題統一為非概率可靠性問題。基于非概率可靠性方法，提出一種一般性的凸集-概率混合可靠性方法[17]；李世軍對區間和超橢球凸集模型非概率可靠性指標的算法進行了研究，對具有顯式極限狀態方程的可靠性分析采用優化算法中的梯度投影法，或者蒙特卡羅法，對隱式或者復雜極限狀態方程的可靠指標求解，采用蒙特卡羅法，響應面法和支持向量機[18]；肖寧聰基于區間理論、模糊集理論和概率論，研究了變量相關時的結構非概率可靠性問題、隨機和認知不確定性下的結構可靠性分析問題、隨機和認知不確定性下的結構可靠性靈敏度分析問題，拓展和完善了現有的結構可靠性理論體系[19]。

3 基于區間變量的非概率可靠性分析

在自然界和人類活動中所遇到的各種各樣的現象，大體上可分為兩類：確定性現象和不確定性現象。確定性現象是指在一定條件下必然會發生的現象。而不確定性現象在一定條件發生與否卻是不一定的。一般來講，不確定性現象又可分為兩類：隨機不確定性和認知不確定性。可靠性建模中的不確定性分為結構所承受荷載的不確定性、材料特性參數的不確定性、約束邊界條件和初始條件的不確定性和結構的幾何尺寸的不確定性[20]。

隨機不確定性可以通過一定條件下的大量重復隨機實驗來刻畫，其本質上具有明確的含義，只是由于條件不充分，使得條件與事件之間雖然能出現決定性的因果關系，但是在事件發生與否上表現出不確定性的性質。雖然隨機不確定性可以通過大量重復隨機實驗來量化，但不確定的程度并不隨著實驗次數的增加而減少。

認知不確定性是由于信息不完備或知識不足導致的不確定性。知識不足使得對事件的定性描述具有不確定性，信息不完備則會導致事件的定量描述具有不確定性。認知不確定性本質上與人們對事件的主觀認識和判斷有關，因此，通過增加統計信息或知識儲備可在一定范圍內減小不確定性的程度。

作為一種描述有界不確定信息的數學模型，非概率集合理論模型將不確定事件的所有可能性用集合描述，而在集合內不定義任何概率測度，所用集合的具體形式一般根據工程實際情況來確定。在非概率集合理論模型中，目前主要有兩種理論和方法。一種是采用凸集模型來描述不確定參數，以凸集合為基礎的優化方法即凸模型方法；另一種是采用區間模型來描述不確定參數，基于區間數學的區間分析方法[21]。

由于結構非概率可靠性理論對數據和信息量要求低，因此有較好的工程應用前景，結構非概率理論可作為結構概率可靠性理論的有益補充。迄今為止，區間變量相互獨立下的結構非概率可靠性方法已有較多研究，且有了初步工程應用。為了滿足產品高可靠性和高安全性的要求，結構可靠性理論和方法受到了工程界和學術界的極大關注，一直是可靠性領域的研究熱點。現有的結構可靠性理論和方法，基本都是建立在概率統計基礎之上的，即系統相關參數的分布都為精確已知的。基于概率論和數理統計的結構可靠性理論和方法已非常成熟。但是，由于各種不確定性的影響，在工程實際中，特別是產品的設計初期，常會遇到數據不足或信息不完善的情況。由于航空、航天產品普遍具有小樣本、結構復雜及造價昂貴等特點，所以這種情況在航空、航天領域更為明顯。因此，傳統基于概率統計的結構可靠性理論和方法面臨極大的挑戰。現有研究表明，概率統計模型對模型參數較為敏感，當數據不足或信息不完善時，基于概率統計模型所得的結果往往是不可靠的。因此，非常有必要探索和研究新的可靠性理論和方法。需特別指出的是，基于區間的結構非概率模型已引起有關學者的極大關注，其模型已成功用于結構可靠性分析、可靠性靈敏度分析和優化設計中。

3.1 一次二階矩方法(FOSM) 一次二階矩方法的基本思想就是將非線性的功能函數進行線性化，然后通過基本變量的一階矩和二階矩來計算線性化后的功能函數的一階矩和二階矩，進而近似得到功能函數的失效概率。目前一次二階矩法可分為均值點一次二階矩法、改進(驗算點)一次二階矩法和Rackwitz-Fiessler(R-F)法。其中改進一次二階矩法是Hasifor-Lind于1974年提出的，又稱為AFOSM法(Advanced First Order Second Moment Method)。改進一次二階矩法與均值一次二階矩法的不同之處在于，改進一次二階矩法將功能函數線性化的點是失效域中最可能失效(Most Probable-Failure Point，MPP)，而均值一次二階矩法線性化的點是基本變量的均值點[22]。

3.2 均值一次二階矩可靠性分析方法 功能函數是基本變量的函數，由概率論基本原理可知，當功能函數為基本變量的線性函數且基本變量服從正態分布時，功能函數也服從正態分布，并且功能函數的分布參數可以由基本變量的一階矩和二階矩簡單推導求得。基于這一原理，均值一次二階矩方法在基本變量的均值點處將非線性的功能函數用泰勒級數展開成線性表達式，以線性功能函數代替原非線性功能函數，求解線性方程的可靠度指標，從而得到原功能函數的近似失效概率[23]。

3.3 改進一階二次矩方法[24]改進一次二階矩法(Advanced First Order and Second Moment)是Hasofer-Lind提出的，又稱為AFOSM法。從原理上來說，改進一次二階矩法與均值一次二階矩法是類似的，它也是通過將非線性功能函數線性展開，然后用線性功能函數的失效概率來近似原非線性功能函數的失效概率。與均值一次二階矩法的不同之處在于，改進一次二階矩方法將功能函數線性化的點是失效域中的最可能失效點MPP(又稱設計點)，而均值一次二階矩法線性化的點是基本變量的均值點。對于一個給定的非線性功能函數，其失效域中的最可能點是不能預先得知的，它需要通過迭代或者直接尋優的過程來求得。

AFOSM運算簡捷，對非線性程度不高的結構功能函數，其精度能夠滿足工程實際需要，在工程階受到了廣泛重視。

3.4 均值一次二階矩可靠性的優缺點 從上述過程可以看出，均值一次二階矩方法對于功能函數為線性基本變量為正態的問題可以得到失效概率的精確解。當基本變量的分布形式未知，但其均值(一階矩)和標準差(二階矩)已知時，由均值一次二階矩方法可以求得失效概率的近似解。盡管均值一次二階矩方法的適用范圍非常有限，而且它還需要求解功能函數的導函數，但由于其簡單容易實現，且僅需要知道基本變量的一階矩和二階矩，因此在工程中有一定的應用價值。必須指出的是，該方法具有致命的弱點，那就是它對于物理意義相同而數學表達式不同的非線性問題有可能得到完全不同的失效概率，這就要求在選擇功能函數時，應盡量選擇線性化程度較好的形式，以便采用均值一次二階矩法能夠得到精度較高的解。針對均值一次二階矩方法存在的致命弱點，可靠性研究者提出了改進一次二階矩方法。基于均值一次二階矩法的可靠性靈敏度分析對于正態基本變量且功能函數為線性的情況，可以得到可靠性靈敏度的精確解；對于正態基本變量且非線性程度不大的功能函數，該方法得到的可靠性靈敏度近似解也是可以接受的；但對于高度非線性功能函數，該方法得到的可靠性靈敏度解將可能是完全錯誤的。

3.5 改進一次二階矩方法的優缺點 與均值一次二階矩法相比，改進一次二階矩法在設計點處線性展開功能函數，從而使得物理意義相同而數學表達式不同的問題具有了統一的解。由于設計點是對失效概率貢獻最大的點，因此在設計點處線性展開比在均值點處線性展開對失效概率的近似具有更高的精度。對于極限狀態方程非線性程度不大的情況，改進一次二階矩法能給出近似精度較高的結果。由于工程上有很多問題滿足改進一次二階矩法的適用范圍，從而使得改進一次二階矩法在工程上被廣泛運用，并在此基礎上形成了一定的設計標準。改進一次二階矩方法的缺點可以歸納如下：

(1)不能反映功能函數的非線性對失效概率的影響。

(2)在功能函數的非線性程度較大的情況下，迭代算法受初始點影響較大；對具有多個設計點的問題，改進一次二階矩方法可能會陷入局部最優，甚至不收斂。對極限狀態方程的解析表達式有一定的依賴性。

(3)采用改進的一次二階矩方法進行可靠性靈敏度分析時，其精度很大程度上依賴于功能函數的非線性程度，非線性程度較小時，該方法可以得到可靠性靈敏度的高精度解，但非線性程度較大時，由于可能產生的迭代不收斂或近似精度較差的情況，此時可靠性靈敏度有可能得不到或者得到錯誤解。

4 總結

在實際工程領域，對一個復雜的結構進行可靠性分析時，往往要考慮很多不確定量。其中一部分不確定性參數由于信息量足夠，適合采用概率模型來描述，而某些不確定參數由于缺乏足夠的樣本數據或者內在原因，適合采用非概率區間模型來描述，或者有些參數可通過概率分布描述，但其中的關鍵分布參數只能給定變化的區間。因此，研究混合模型的可靠性分析方法具有重要的實際工程意義。