基于多維隱狀態HMM-GARCH模型的CVaR風險度量

(1.四川農業大學經濟學院 四川 成都 611130；2.四川農業大學理學院 四川 雅安 625014)

一、基于HMM-GARCH模型的CVaR

(一)HMM-GARCH模型

本文根據可觀測的收益率序列使用Baum-Welch算法[13-14]估計模型的未知參數，選用BIC準則與AIC準則作為檢驗模型的標準，計算公式分別為BIC=-2ln(L)+kln(T),AIC=2k-2ln(L)，其中L為似然函數值的最大值，T為樣本量，k為參數個數。并利用Viterbi算法[13]估計股票收益率序列所對應的隱狀態序列，再根據隱狀態序列將收益率序列分為N個大類，建立N類收益率序列處于狀態i={1,2,…,N}時的HMM-GARCH模型。由于HMM-GARCH模型是基于GARCH模型對市場結構突變發生前后不同狀態的波動率進行估計，只是分類方法不同，因此類收益率序列的波動率模型相同，其表達形式如下：

St為rt在t時刻的狀態，ωSt，αSt ,i，βSt ,j都是依賴于t時刻狀態為St的參數。并且狀態之間的轉移服從馬爾科夫狀態轉移概率矩陣A。

(二)CVaR方法及其檢驗

1.CVaR方法

CVaR(條件風險價值)是由Rockafeller和Uryasev等于2000年正式提出的一種較VaR方法更能反映金融資產尾部信息的風險計量方法，其表示資產組合損失超過VaR的條件均值。本文假設收益率序列rt=ln(pt/pt-1)服從廣義誤差分布(GED)，那么我們可以將CVaR計算公式[15]表達為：

2.CVaR檢驗

在原假設成立的情況下，統計量LR服從自由度為1的分布，其非拒絕域為：

二、實證分析

(一)樣本選取與數據預處理

本文數據選取農業上市公司隆平高科股票(000998)每日收盤價計算出的日收益率序列為研究對象，計算公式為rt=ln(pt/pt-1)，pt表示t時刻隆平高科的日收盤價格，選取時間范圍是從2001年1月1日至2019年12月27日，樣本數量一共為4704個，數據來源于雅虎財經數據。其中，2001年1月1日至2018年12月31日為訓練數據用于模型的建模，一共為4464個數據；2019年1月1日至2019年12月27日為測試數據用于檢驗模型的預測效果。本文的數據均采用R3.5.3軟件進行處理。

(二)日收益率波動的統計特征分析

圖1是隆平高科股票2001-2018年日收益率序列的時序圖，從圖1可以看出，日收益率在0處上下波動，較大的波動后面緊跟一個較大的波動，較小的波動后面會緊跟一個較小的波動，這說明隆平高科日收益率具有聚集性特征，其方差與時間有關，具有異方差性。另外，通過計算可以得到，2001-2018年隆平高科日收益率序列均值為0.000210，表明隆平高科日收益率整體收益是大于0。標準差為0.028261，偏度為-0.082354，隆平高科股票日收益率序列的偏度整體小于0，說明隆平高科日收益率序列分布有左拖尾性，日收益率序列在左端有較多的極端值。峰度為3.004148，峰度高于正態分布的峰度值3，因此，隆平高科日收益率序列具有“尖峰厚尾”的特征。Jarque-Bera統計量為1686.69，遠大于在 5%的顯著性水平下的臨界值5.99，p值為2.2×10-16，因此隆平高科股票日收益率序列不服從正態分布。綜上，可以判斷隆平高科日收益率序列不服從正態分布且具有“尖峰厚尾”性。

圖1 日收益率序列

(三)ARCH效應檢驗

1.對日收益率rt序列進行平穩性檢驗。采用ADF檢驗的方法，置信水平1%、5%和10%的臨界值分別為-3.431632、-2.861992、-2.567053，ADF檢驗的t統計量為-48.38063均小于三個置信水平下的臨界值，p值趨近于0。說明隆平高科日收益率序列是平穩的，可用于建模。

2.對日收益率序列自相關性檢驗。圖2和圖3分別是隆平高科股票日收益率序列的ACF和PACF圖，結果顯示日收益率序列有較強的自相關性。因此，可以利用ARMA模型來擬合隆平高科日收益率序列的均值方程。得出自回歸模型ARMA(1,1)的均值方程表達式為：

rt=-0.4329719rt-1+0.4946964at-1+at+0.0003040

經檢驗ARMA模型中估計參數所對應p值顯示均顯著，表明模型可靠。

圖2 日收益率序列ACF圖

圖3 日收益率序列PACF圖

3.ARCH效應檢驗。本文對上述ARMA模型的殘差序列進行ARCH-LM檢驗，檢驗結果如圖4。由圖4看出高階的p值仍為0，說明該殘差序列具有高階的ARCH效應，因此可以考慮建立GARCH(p,q)模型。

圖4 ARCH效應檢驗結果

(四)GARCH模型

由于隆平高科日收益率序列拒絕了正態分布的假設，本文建立了基于廣義誤差分布(GED)下的GARCH模型，對日收益率序列建立GARCH(1,1)，使用R軟件進行參數估計，得出GARCH模型的均值方程和方差方程表達式如下：

rt=1.533×10-12+at

由GARCH模型可知，α1+β1=1.0289>1，夸大了波動的持續性，因此會造成模型的預測效果較差，所以傳統的GARCH模型效果并不理想，本文利用狀態轉換的GARCH模型即HMM-GARCH模型來研究。

(五)HMM-GARCH模型

HMM-GARCH模型利用隱馬爾可夫模型在狀態上劃分的優勢，利用Baum-Welch算法估算模型的參數。首先對隆平高科日收益率序列建立隱馬爾可夫模型，對隆平高科股票2001-2018年日收益率序列進行模型擬合，分別選取隱馬爾可夫模型隱狀態數為2、3、4、5、6進行模型檢驗，檢驗結果匯總于表1。基于BIC準則、AIC準則，最可能的HMM模型隱狀態為5。根據無條件方差的大小[17]，設狀態1為低波動趨勢狀態；狀態2為中高波動趨勢狀態；狀態3為無波動趨勢狀態；狀態4為高波動趨勢狀態；狀態5為中波動趨勢狀態。

表1 HMM模型的狀態參數分析

接下來利用Viterbi算法估算隆平高科日收益率序列對應的隱狀態序列，根據隱狀態序列將收益率序列分為五個大類。對無波動趨勢狀態的狀態3不作處理，并對其它四個狀態對應的收益率序列分別建立HMM-GARCH模型。

狀態1即低波動趨勢狀態的模型為：

rt=-3.455×10-4+at

狀態2即中高波動趨勢狀態的模型為：

rt=5.133×10-4+at

狀態4即高波動趨勢狀態的模型為：

rt=-8.530×10-5+at

狀態5即中波動趨勢狀態的模型為：

rt=5.555×10-4+at

得到一步狀態轉移概率矩陣為：

三、CVaR的計算與檢驗

本文采用GARCH模型和HMM-GARCH模型分別計算隆平高科股票日收益率左尾概率為 1%和左尾概率為5%時的CVaR值。本文采用Kupiec失敗頻率檢驗法對CVaR的估計結果進行檢驗，其失敗頻率檢驗結果見表2。根據表2的檢驗結果，可以看出兩個模型都通過了檢驗，但在置信水平99%和風險度量方法相同情況下，HMM-GARCH模型的失敗率小于GARCH模型的失敗率，估計的CVaR值更接近實際損失值，說明HMM-GARCH模型有助于隆平高科股票波動率的預測且置信水平越高，失敗率越小。

表2 CVaR失敗頻率檢驗統計結果

四、結論

本文主要探討了基于多維隱狀態的HMM-GARCH模型對農業類股票收益率風險價值CVaR實證分析。首先介紹了HMM-GARCH模型和參數估計方法理論知識，再利用R3.5.3軟件對隆平高科股票日收益率序列進行基本統計分析，包括正態性檢驗、平穩性檢驗、自相關檢驗、異方差檢驗。最后，選取GARCH模型以及多維隱狀態的HMM-GARCH模型分別估計在置信水平95%和99%下隆平高科股票收益率風險價值，利用Kupiec 提出的失敗頻率檢驗法檢驗模型的準確性和精度。結果表明基于多維隱狀態的HMM-GARCH模型的CVaR方法能更好的描繪和預測隆平高科股票的風險價值。