行波型球形超聲電機定子的優化設計

郭 語，陸 慶，孫志峻，宋愛國

(1.東南大學 儀器科學與工程學院，江蘇 南京 210096；2.金陵科技學院 機電工程學院，江蘇 南京 211169；3.南京航空航天大學 機械結構動力學與控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

球形超聲電機是一種多自由度超聲電機，因其具有響應快，定位精度高，斷電自鎖，抗干擾能力強及結構簡單，易集成化等優點，受到越來越多的關注。它具有類似于球關節的結構形式，非常適合應用于機器人關節、人工眼球等領域，許多研究學者從不同結構形式、驅動控制機理和應用方式對其開展了相關研究。

球形超聲電機的轉子一般為球形，定子可采用不同的結構形式和激勵方式。MASHIMO等[1]提出了一種3個環形行波定子共同夾持驅動1個球轉子的球形超聲電機，但尺寸和輸出力矩較小。TING等[2]將一系列彎曲壓電陶瓷沿半球形定子表面直線布置，通過在相鄰壓電陶瓷上施加適當的相位差分電壓信號，在定子上產生行波并驅動球轉子的多自由度運動。LU等[3]提出了一種三明治結構的多自由度球形超聲電機，利用兩個壓電振子夾持1個球轉子，利用定子激發出的5個振動模態使球轉子具有3個轉動自由度。趙淳生等[4]針對圓柱-球體多自由度超聲電機的定子進行優化設計，保證定子的一階縱振和二階彎振的固有頻率基本一致。張健滔等[5]提出了一種利用二階面內振動模態工作的多自由度駐波超聲電機，可實現球轉子的3個轉動自由度，但定、轉子間的預壓力僅通過球轉子的自身重力提供，因此具有一定的應用局限性。SHI等[6]研制了一種面向人工眼球應用的球形超聲電機，利用復合定子激發的軸向彎曲模態和面內非軸對稱模態，通過4個驅動足產生的3種橢圓運動使球轉子具有3個旋轉自由度。王劍等[7]基于柔性板簧設計的三自由度球形超聲電機具有多定子與球轉子之間的自適應對心調節能力。

本文提出一種具有同步調心底座的球形超聲電機，由3個環形行波型定子共同夾持驅動1個球轉子，采用類似三爪卡盤的面螺紋機構實現3個定子的同步調心。利用有限元仿真軟件對定子進行動力學分析與優化設計，對定子試制件進行了定掃頻實驗。

1 球形超聲電機的結構與工作原理

球形超聲電機主要由三爪卡盤底座、定子及其支架、球轉子組成(見圖1)。球轉子被3個定子夾持，3個定子及其支架水平圓周均勻分布，每個支架內裝有碟形彈簧、微型壓力傳感器等零部件，微型壓力傳感器用以檢測定、轉子間的預壓力。現有采用類似結構的球形超聲電機需要單獨調節定子支架以改變預壓力，操作繁瑣且難以保證調節過程中轉子球心的位置精度，本文采用的三爪卡盤底座在保證3個定子與球轉子預壓力同步調節的同時，實現轉子的自定心。

圖1 球形超聲電機結構

3個定子在與球轉子接觸位置作用有3個驅動力矩矢，分別為M1、M2、M3，3個力矩矢相交于球心處，根據矢量合成關系，可以合成為一個過球心的合力矩矢M0。通過改變3個超聲電機定子的驅動作用，即改變M1、M2、M3的大小，從而在三維空間中改變M0的方向和大小，使球轉子繞M0的方向轉動。圖2為1號定子與球轉子的安裝結構示意圖。定子中心軸線與水平面夾角為α，則球轉子所受的M0與M1、M2、M3之間的關系為

(1)

圖2 單定轉子安裝結構

每個定子與球轉子的接觸部位為定子內緣一狹窄圓環面，設接觸圓半徑為rs，球轉子半徑為r，預壓力為N，μ為定、轉子間的摩擦系數，則第i個定子對球轉子的理想驅動力矩為

(2)

考慮帶載驅動時，定、轉子間接觸的粘滑效應，實際驅動力矩為

(3)

式中:ωsi為第i個定子表面質點橢圓運動的平均切向速度對應的轉子角速度；ωri為實際球轉子角速度矢量在第i個定子中心軸上的投影大小；cdi為第i個定、轉子間和相對速度有關的動態庫倫摩擦系數，由于接觸力學的非線性，難以確定實際值。式(1)、(3)表明，球形超聲電機的輸出力矩主要受單個定子的性能及定、轉子間的接觸力學影響。由于定、轉子間接觸力學的非線性和復雜性，因此，本文主要通過對定子的優化設計提高球形超聲電機的性能。

2 定子的優化設計

2.1 行波型定子的結構參數化

本文設計的球形超聲電機定子為圓環結構，由錫青銅材質的金屬基體和d33效應的PZT-4壓電陶瓷組成。由于圓環結構具有軸對稱性，因此，定子存在兩相同頻正交模態。在環形定子底部黏貼有兩相極化分區的壓電陶瓷片，通過施加空間與時間上分別相差1/4波長和周期的激勵電壓，激起定子彈性體的行波，從而使定子表面質點產生橢圓運動，在摩擦力的作用下驅動球轉子轉動。本文選擇B07模態作為定子的工作模態，齒數定為工作模態中行波數的整數倍，以保證不同驅動點速度方向的一致性。該模態有7個波，因此齒數定為42，是波數的6倍。定子基體的參數化尺寸如圖3所示，中間圓板通過3個螺紋孔與固定支架連接。為了減小固支對圓環振動體的影響，中間圓板和圓環振動體之間的連接厚度小于1 mm。圓環振動體上開有齒槽形成一定高度的齒，用來提高定子的驅動效果。圖3中，h為總高，R為外環半徑，h1為固定板厚度，p1為連接板厚度，p2為齒高，p3為齒寬，p4為齒槽寬，p5為齒外緣斜角。

圖3 定子參數化結構

不同于常規圓環形行波超聲電機定子主要依靠上端面實現驅動圓板轉子，該定子通過其內緣的狹窄圓環面驅動球轉子，因此多出p5這一結構參數。h、h1和R根據外形尺寸及定、轉子間的安裝關系確定并為固定值，在確定優化參數變化范圍且應保證各參數變動時，結構內不產生干涉、尺寸負值等現象，固定尺寸和初定各優化參數初值及其范圍如表1所示。

表1 固定尺寸、優化參數初值及其取值范圍

2.2 定子的結構有限元分析

定子能否正常工作且滿足性能要求，取決于以下幾方面因素：

1) 工作模態是否遠離干擾模態。

2) A、B兩相頻率是否一致。

3) 定子彈性體表面所激發行波的振幅和形態是否理想。因此，需要對環型定子進行模態分析以確定其工作模態和諧振頻率，同時通過結構參數的調整，使工作模態與干擾模態盡量遠離，這是超聲電機設計中的關鍵。

4) 通過諧響應分析可以確定工作模態頻率激勵下產生的最大振幅。利用有限元軟件對超聲電機定子進行結構分析是目前最常用的手段。定子材料的相關屬性如表2所示。

表2 定子材料主要參數

在ANSYS中建立初始參數尺寸的定子模型，劃分網格、設置邊界條件(內圈3個沉頭孔施加固定約束、外圈自由)后進行模態分析，解算得到前100階定子模態的頻率和振型，并從中篩選出B07模態及其鄰近模態，如表3所示。

表3 B07模態及其鄰近模態

研究表明，工作模態與干擾模態頻率相差大于2 kHz，干擾模態不會影響電機的正常工作[8]。根據模態分析結果，工作模態的兩個簡并模態共振頻率較一致，和相鄰前1階干擾模態頻率差僅有782 Hz，和后1階干擾模態頻率約有1.2 kHz的差值，易產生模態混疊，影響定子的工作性能。因此，需要對環形定子的結構進行優化，使其工作模態盡量遠離干擾模態。

在對定子進行模態分析后，通過諧響應分析可檢驗定子在工作頻率附近的簡諧電壓激勵下的振幅大小，即定子的幅頻特性。在諧響應分析中需添加壓電陶瓷的壓電耦合關系，其壓電本構方程為[9]

T=cES-eE

(4)

D=eTS+εSE

(5)

式中：T為應力張量;D為電場強度張量;S為應變張量;E為電場強度張量;cE為恒電場下的彈性系數矩陣;e為壓電常數矩陣;εS為介電常數矩陣。利用ANSYS軟件模擬壓電陶瓷驅動定子系統動力學方程為[10]

(6)

式中：Qu為節點位移矢量;Qφ為節點電勢矢量;M為質量矩陣;Cs為單元結構阻尼矩陣;Cd為單元介電阻尼矩陣;Ks為剛度矩陣;Kd為介電常數系數矩陣;Kp為壓電耦合矩陣;Fu為節點力矢量;Fφ為電荷矢量。對壓電陶瓷施加激勵電壓峰-峰值為120 V，根據表3的數據，頻率設為44～47 kHz，得到定子系統的幅頻特性曲線，如圖4所示。

圖4 定子系統幅頻特性

由圖4可知，定子驅動面的最大響應振幅約為1.7 μm。根據定子表面質點周向位移函數[2]：

uc(x)=(πWh0/λ)cos(ωt-nx)

(7)

式(7)對時間求導可得定子周向速度函數：

(8)

式中:W為縱向振幅;h0為定子彈性體基板厚度;λ為振動波長;ω為角頻率;n為波數。式(8)表明，如果定子振幅較小，會造成周向速度低，縱向振幅過小甚至可能出現無法克服轉子表面粗糙度而停轉。因此，在進一步的優化設計中，需要盡量提高定子振幅。

2.3 定子結構的優化設計

超聲電機定子的設計通常采用參數分析法，這種方法是一種試誤法，需要較多時間來尋找合適的參數集。如果輸入參數很多，那么要檢查的配置數量可能非常龐大，且設計結果是次優的[11]。

響應面法是獲得給定目標隨輸入參數變化的有效方法，在給定輸入變量上提供性能的連續變化，精度可控制，有利于進一步優化。基于響應面法的優化設計原理是：首先確定每個設計變量的合理變化范圍(設計空間)，利用概率采樣挑選設計空間中的若干點并建立響應面模型(最佳擬合面)，最后采用優化算法進行全局優化[12]。

根據前述分析，確定定子設計的兩個優化目標：

1) 工作模態頻率盡量遠離相鄰干擾模態頻率。

2) 定子表面質點振幅最大。

為了更有效地進行優化設計，在確定最終設計變量前應進行結構參數的靈敏度分析，以確定影響定子優化目標的關鍵因素。結合模態分析和諧響應分析結果及表1中所列參數，5個設計參數分別對定子振幅、工作模態頻率、干擾模態頻率1(相鄰前1階)、干擾模態頻率2(相鄰后1階)的靈敏度分析結果如圖5所示。

圖5 設計參數的靈敏度

由圖5可知，p1對振幅、工作模態頻率和干擾模態頻率2的靈敏度都較低。p2對振幅和模態頻率的靈敏度都很高，且對工作模態的靈敏度高于干擾模態。p3對振幅和干擾模態頻率1的靈敏度比工作模態頻率和干擾模態頻率2大，而p4對振幅的靈敏度較模態頻率略大，p5對振幅的靈敏度較低，但對模態頻率靈敏度有一定貢獻。根據以上現象，最終的設計變量排除p1，保留p2、p3、p4和p5。建立對應的兩個優化目標函數，為使目標函數尺度接近，進行了比例縮放并轉換為無量綱數。

(9)

(10)

式中：Fw、Ff、Fb分別為工作模態頻率、前1階干擾模態頻率、后1階干擾模態頻率。設定工作頻率為40～48 kHz，則最終的優化模型為

(11)

采用非參數回歸法建立優化參數的響應面模型，利用稀疏網格自適應加密抽取采樣點，最終得到設計變量與目標響應的響應面模型。選取靈敏度較高的兩個參數p2、p3分別對應G1、G2的響應面如圖6所示。響應面的擬合質量可由誤差決定系數反映，圖6中的G1、G2響應面誤差決定系數分別為98.93%和98.84%，表明所構造的響應面模型具有較高精度，可作為優化的近似對象模型。

圖6 部分結構參數對目標函數G1,G2的三維響應面

優化算法選擇多優化目標的迭代遺傳算法(MOGA)，該方法是一種全局優化算法，適合于多目標優化問題[13]。種群大小設置為100，最大進化代數取200。優化得到的Pareto前沿如圖7所示。

圖7 Pareto前沿

由圖7可知，兩個優化目標在較大范圍內相互制約，需要根據不同的策略選擇最終的非劣解。本文在選擇優化結果時，以側重模態分離為原則挑選優化參數，表4為優化前、后及修正結果的對比。

表4 優化前、后及修正結果對比

3 實驗測試

試制了一個定子并黏貼好壓電陶瓷片，利用二維激光測振儀對其進行定掃頻實驗，所加交變電壓峰-峰值為120 V，電流為0.3 A，測試結果如圖8所示。

圖8 定子定掃頻振動測試結果

由圖8可知，定子B07模態A、B兩相頻率均為42.7 kHz，具有很好的模態一致性。定子縱向振幅約2.3 μm，具有良好的振動表現。模態頻率值和有限元分析結果相差約0.6 kHz，誤差較小。定頻實驗結果表明，在42.7 kHz頻率下，均能激勵出良好的A、B兩相駐波，模態較純，證明設計的定子結構合理可靠，可以產生良好的行波。

4 結束語

創新性的將三爪卡盤自動定心的特點應用在球形超聲電機的夾持機構中。建立了單個定子對球形電機輸出力矩的數學模型。運用有限元分析軟件對定子結構參數進行靈敏度分析、模態分析和諧響應分析，并建立了基于響應面模型的多目標優化模型。優化結果成功實現了定子模態分離要求，并提高了表面振幅。定子試制件的定掃頻實驗測試結果也表明，本文設計定子所采用的優化方法是有效的，為多自由度球形超聲電機的實現奠定了良好基礎。