試論APOS理論與銳角三角函數概念的形成

朱炎

【摘要】認知是一個過程，無論對象存在何種特點，在對其進行觀察和了解的過程中，都需要掌握合理的方式方法.基于此，本文以基于APOS理論的認知過程為切入點，簡述該理論下從形象到抽象、從實踐到理論的認知特點，再以此為基礎，論述APOS理論與銳角三角函數概念的形成過程，最后給出基于心理學的APOS理論應用分析，以期通過分析，明晰理論，為后續相關工作提供參考.

【關鍵詞】APOS理論;銳角三角函數;循序漸進;自我理解

APOS理論最初提出于美國，杜賓斯基等人創立了數學概念學習的APOS理論模型，相關學者認為學生學習數學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經歷以下四個階段，即活動（Action）階段、過程（Process）階段、對象（Object）階段、概型（Schema）階段.每一個階段都是相互對獨立的，但又是下一個階段認知的前提，整個認知過程建立在實踐和理解、重構的基礎上，具有自主的特點.

一、基于APOS理論的認知過程

（一）從形象到抽象

任何一種數學教學理論與概念模型，都應該加強對“如何學習數學”和“什么樣的教學計劃可以為數學學習提供幫助”的理解，只是陳述事實并不能對教學活動產生幫助.二十世紀九十年代開始，人們就將APOS理論應用于數學教學互動中，并應用該理論完成數學概念的解讀，這一概念的成功應用也彌補了當時數學概念教學中教學方式存在的不足.

在APOS理論下，認知的過程既帶有常規的漸進特點，也帶有一定的逆向特征.在該理論下，學生嘗試理解對象目標，無須進行大量的理論分析，首先以活動（Action）使對象的基本特征得到明確，這一階段的認知是形象的、可視的.進入過程（Process）階段，認知開始變得系統，對象的特點信息將起到推動認知的作用.進入對象（Object）階段，目標在學生的大腦中已經很明確，具有與眾不同的特色，但也越發抽象.進入概型（Schema）階段，學生已經擺脫了認知對象外觀的限制，能夠在腦海中任意構建相同的形象，認知徹底抽象化，也標志著APOS理論下的認知過程進入結束階段.

（二）從實踐到理論

實踐是一切學習、認知過程的最初形式，在科學發展乃至文明社會出現的早期，所有認知方式都是以實踐形式開展的，在APOS理論下，實踐依然是認知的基本方式.無論目標對象存在何種差別，嘗試了解其規律、屬性，都必須對其進行具體分析，這一過程是主觀對客觀進行的、有目的的分析探索[1].

（三）從觀察到理解

觀察與理解是認知的兩個關聯性步驟，理解的方式可以分為很多種.在APOS理論下，觀察實際上是活動（Action）的具體表現，即包括簡單的外觀觀察，也包括觀察后的分析解讀，在此過程中，學生需要通過觀察將尚未形成系統認知的事物進行拆解，使其不斷系統化、概念化、結構化.如學生嘗試理解“不同三角形的特點”，首先通過觀察抓住理解的重點，之后以自己此前所學進行思考，進入過程（Process）階段，獲取了自身理解后，無論成果如何，均進入下一階段，即對象（Object）階段，當學生對“不同三角形的特點”的理解沒有被后續吸收的知識推翻，即進入概型（Schema）階段，形成了最終的理解.

二、APOS理論與銳角三角函數概念的形成過程

（一）活動（Action）階段

銳角三角函數概念的理解，同樣是認知過程的一種具體化，在初始階段，也即活動（Action）階段，概念的形成是非結構化的、模糊化的.如中學生可以分辨銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，但對如何通過函數進行表達，大部分學生都缺乏認知.在APOS理論下，認知的形成以具體的實踐方式為起點.學生對各類函數進行解析，構建不同的圖像，持續進行實踐，由于函數的多樣性，實踐過程很可能是漫長的，經歷多重失敗后，學生會自發總結規律，如函數某一個值的變大總是導致三角形角度增加，產生了角度更大的鈍角三角形，那么嘗試將該數值縮小，就有可能獲取直角或者銳角三角形，在此理論的引導下，學生可自然而然地優化認知行為，并在持續進行活動（Action）的情況下，順利進入下一階段.

（二）過程（Process）階段

當學生嘗試通過縮小某一固定值獲取銳角三角形時，其認知行為進入了過程（Process）階段，該階段的認知變化是對活動（Action）階段的無限次重復.假定學生本身的敏銳程度、總結能力不強，可能持續對數值進行推敲，每次減少少量值，使認知的過程枯燥煩瑣，直到無數次實驗后，才能獲取認知上的突破，這是APOS理論下，學生形成銳角三角形概念的最常見過程.此外，還有兩種認知行為也提升概念形成的效率，一種為結構化知識引導，另一種為半結構化知識引導.結構化知識引導，是指學生獲取了直接的教導，能夠以規律的形式快速摸索出最有效的實踐方法，這是APOS理論被發現、應用的初衷，最典型的就是教學工作.半結構化的知識引導體現在認知過程中，學生能夠敏銳地發現認知規律，從而提升認知過程的效率.無論以何種方式完成銳角三角函概念過程（Process）階段的認知，都會自然進入第三個階段，即對象（Object）階段[2].

（三）對象（Object）階段

簡單地說，當個體意識可以將過程看作是一個整體，并對其進行變形或者轉換操作時，就會將整個過程當作為一般意義上的數學對象.過程就會凝聚為對象.這樣做，可以讓對象階段的過程更加精致化，以自身的特性形成獨立對象，并參與數學活動，對象階段不僅可以操作其他對象，還能夠被比它層次更高的運算操作，從而為對方進行服務，為數學深入研究創造有利條件.

在對象（Object）階段內，以APOS理論為視角，學生開始形成了對銳角三角函數的初步認知，這種認知很大程度上是片面的，如學生通過不斷的參數代入，在無數次的實踐過程中，獲取了第一個銳角三角函數公式，在沒有進一步探索的情況下，學生對銳角三家函數的認知可能會長時間停留在這一階段，形成認知上的“坐井觀天”效應.對象（Object）階段可視作為認知的第一個階段性目標，為避免“坐井觀天”效應，就需要重復上述兩個階段的工作，即持續的活動（Action）、過程（Process），不斷進行認知上的積累，學生對銳角三角函數的理解也會更加全面化、系統化.如果在對象（Object）階段獲得了理論指導（包括結構化理論指導和半結構化理論指導），可以使該階段的認知快速提升.如學生通過摸索獲取了一個能夠生成銳角三角函數的等式，給予半結構化引導，使學生獲知極限值理論，在等式的極限值（角度90°）下，任何參數的變化都可以保證生成銳角三角形圖像，學生對該函數的認知生成了第一個重要規律，以此類推，其在對象（Object）階段的認知會持續完善.

（四）概型（Schema）階段

概型（Schema）階段，也即學生形成了認知的結束階段，該階段內，學生通過多次的活動（Action）、過程（Process），進入對象（Object）階段，并形成了明確的認知，明確銳角三角函數概念以及其多種變化特點，已經較為清晰的、牢固的被學生掌握.學生面對函數等式時，也能相應轉化為對應的銳角三角形圖像.在APOS理論下，概型（Schema）階段的認知能力提升事實上不是一成不變的，學生可能在知識疏于應用、學習懈怠的情況下失去對固有認知的掌握，喪失對銳角三角函數概念的認識，在此情況下，嘗試重新獲取知識，可以進入此前的認知循環，從活動（Action）階段重新開始.如果學生嘗試理解更高深的知識，也可以以概型（Schema）結果為基礎，進行深入學習，提升認知水平.

三、基于心理學的APOS理論應用分析

APOS理論，本質上是循序漸進的認知過程，強調以自我理解能力的深入優化提升認知水平，這一過程是循序漸進的，也是APOS理論后續應用的基本要求.如嘗試進行宣傳工作，但目標群體對宣傳內容的理解十分有限，依然強調結構化宣傳，結果可能并不理想.可以利用受眾心理構建的基本特點，首先傳遞基礎知識，如宣傳內容的某一個要素，當受眾能夠理解這一要素后，再大范圍開展其中內容的宣傳，使受眾的認知過程漸進化，逐步完善.此外，APOS理論還強調自我理解和消化，這即是說，不能一味進行結構化知識的傳遞，也不能在學生尚未進入認知的下一階段時，盲目推進認知過程.應確保學生在活動（Action）階段、過程（Process）階段進行了足夠完善的實踐，再嘗試進入對象（Object）階段，并將該階段作為重點，使學生持續進行認知積累，最終自然步入概型（Schema）階段，自行掌握結構化的知識.

以“直線的斜率”教學設計為案例加以分析，探究APOS理論的有效應用.在活動階段時，需要感受概念的直觀背景，通過對背景的解析形成感性認識.無論是人們常見的拱橋，還是太空中行星軌跡，都是以曲線的形式完成運動，如果從數學角度去探索曲線運動軌跡，就需要加以量的刻畫，人們也因此創造了解析幾何學.過程階段內，教師提問：“大家小時候玩過蹺蹺板嗎？如果將蹺蹺板想象為一條直線，蹺蹺板運動的時候就會出現一系列直線，這些直線都有什么共同之處？”隨后，學生就會指出這些直線都會經過同一個點，教師再次提問：“這些直線方向不同，如果將方向統一確定為一個方向，那么蹺蹺板運動過程中直線是不是就確定了？”得到了學生的肯定回答之后，教師總結出：直線的確定需要一個點與一個方向.

斜拉橋拉鎖也可以按照上述的蹺蹺板案例進行分析，拉鎖可以看成是方向不同的直線，對橋面來說，這些直線的存在只能代表傾斜度不相同.想要用數學方法刻畫直線傾斜度，需要思考以下兩個問題：（1）為什么大橋的引橋很長？（2）為什么人會感覺從很高的地方滑下來會更加刺激？通過討論，學生發現傾斜程度與高度、寬度的比有關系.于是教師提問：“如果任意畫出兩條直線，如何判斷出兩條直線的傾斜程度？”隨后，學生提出了參考系，將其引入直角坐標系.由此可見，APOS理論對目前數學概念教學來說，有著一定的借鑒意義，教師在課堂實踐活動中可以將實際與理論相結合，利用客觀實際分析概念理論，通過總結與反思設計數學概念教學活動，只有這樣才能夠讓學生對概念知識有充分的了解，進而優化知識結構，完善知識體系.

綜上，在APOS理論下，銳角三角函數概念的形成是一個典型的、漸進式的認知過程，與常規認知的思路不同，APOS理論強調以實踐為基礎和引導，使認知過程更加具體化，實現了從形象到抽象、從實踐到理論、從觀察到理解的認知過程.這也為其后續應用提供了更多思路，包括強調循序漸進、強調實踐認知、強調自我理解等，進一步發揮心理引導作用，提升認知效果.

【參考文獻】

[1]趙紅霞，李丹.基于APOS理論的小學數學概念教學研究——以《軸對稱圖形》教學為例[J].兵團教育學院學報，2018（2）：61-65.

[2]劉洪霞，趙文才，包云霞.基于APOS理論的高等數學翻轉課堂教學設計與實踐[J].統計與管理，2018（1）：96-98.