二維光子晶體波導傳輸分析

楊宏偉，劉玉潔，朱成科

（南京農業大學理學院，江蘇南京210095）

近年來，關于光子傳播特性的研究引起了人們的重視。在傳播過程中，如何控制光子的運動軌跡，讓其在滿足人們需求的前提下，按照一定的規律輸運，形成了一個很有意義的研究方向。1987 年,Eli Yablonovitch和Sajeev John各自獨立地提出了光子晶體的概念[1-2]，在文章中，他們分別討論了具有周期性電介質結構的材料對光傳播行為的影響。他們的研究表明，光子晶體的結構變化，可以控制光子的流動規律。而光子晶體的結構，又可以設計為折射率周期性變化的一種材料排列，在這種材料的折射率可以呈周期性變化的電介質結構中，電磁波的某些波段因周期性結構的強散射效應而受到影響，將無法在電介質材料中正常傳播，因而形成光子晶體的帶隙結構[3-4]。進一步的研究發現，光子晶體的這種帶隙結構可以使電磁波的傳播發生巨大的變化，從而可以實現新的傳輸功能[5-6]。

波導是一種約束或引導電磁波能量和信息定向傳輸的傳輸線。光子晶體波導作為一種新型波導結構迅速得到廣泛關注[7-10]。研究發現，將缺陷引入到光子晶體結構中，形成點缺陷或線缺陷，可以形成具有一定特性的光子晶體波導結構。光子晶體波導的原理是利用光子帶隙特性來控制光的傳播，在光子禁帶內的電磁波入射到光子晶體波導時，電磁波將沿著缺陷的方向傳播，當偏離缺陷時，能量將迅速衰減，并且光子晶體波導幾乎不受轉角的限制，而且在傳輸過程中有著很小的彎曲損耗。而傳統波導不能很好地實現90度的垂直轉彎，在實現90度垂直轉彎時，理論上會出現30%的傳輸能量損失，而光子晶體波導的損耗很小，只有2%左右[11]。因此，光子晶體波導引起了科學工作者的關注，它的特性在光通信、光集成電路等方面具有十分重要的意義[12]。本文主要應用時域有限差分（FDTD）法數值模擬和分析線缺陷波導[13]和耦合點缺陷波導[14]的能量傳輸特性。

1 數值方法

研究表明，宏觀麥克斯韋（Maxwell）方程組的求解，可以很好地研究光在光子晶體中的傳播問題，光子晶體的理論研究，主要是求解下列方程組：

各向同性線性介質的本構關系為D=εE，B=μH，式中，H為磁場強度，D為電通量密度，E為電場強度，B為磁通量密度，ε為介質的介電常數，μ為磁導系數。

本文的時域有限差分方法[15-17]的主要思想來自1966 年Kane S.Yee 提出的二維時域有限差分方法[18]，用對空間和時間的差分格式代替麥克斯韋方程組中的微分形式，采用中心差分表達式代替方程組（1）中的微分表達方法，將麥克斯韋方程轉化為具有迭代形式的FDTD方程[19-20]:

從上述表達式可以看出，假如我們知道了在每個離散格點上的介電常數ε、磁導系數μ0與電場和磁場的初始分布值E和H，那么就可以根據離散的FDTD時間離散步長公式（2）～（4）獲得電場和磁場的時間演化規律，從而分析其傳播特性。但是，由于計算機內存容量和計算速度的限制，FDTD計算方法只能在有限區域空間里進行。因此，為了能數值模擬仿真開域區間的電磁波演變推進過程，在計算區域的截斷邊界外，還必須設計給出合適的吸收邊界條件，這樣才有利于計算問題的合理收斂。本文在計算過程中，利用了計算電磁學中普遍采用的并且效果很好的完美匹配層（PML）吸收邊界條件[21]。

2 模型與計算結果

2.1 光子晶體線缺陷波導

光子晶體線缺陷波導的實質是引入線缺陷。引入線缺陷的常用方式是去掉某方向的一排光子晶體，以背景介質替代。當線缺陷是直線時，光波導也是相應的直線，當缺陷呈一定角度時，光波導也呈現一定的角度，即電磁波將嚴格地按照缺陷的方向傳播，可以實現低能量損耗的高品質波導。在這里，通過在完整的光子晶體結構中移除部分介質柱以引入線缺陷，分別設計構造了L型、U型兩種線缺陷光子晶體波導。

計算中采用的二維光子晶體結構參數：二維正方形晶格結構，周期N=11，晶格常數為a=20 mm，背景介質為空氣，介質柱相對介電常數為11，介質柱半徑R=0.2a，激勵源采用正弦波，頻率為564 GHz，模型四周邊界加入8層PML，運用（2）～（4）式進行FDTD算法編程與仿真。圖1為二維光子晶體結構示意圖，圖2和圖3分別給出了兩種波導的模型圖和時域電場分布圖。

從電場能量分布圖可以看出，線缺陷光子晶體波導能夠較好地引導并實現對能量的高品質傳輸，體現在傳輸過程中，線缺陷光子晶體對能量的引導作用。

圖1 二維光子晶體結構示意圖

圖2 L型線缺陷光子晶體波導。（a）L型模型圖，（b）L型電場分布圖

圖3 U型線缺陷光子晶體波導。（a）U型模型圖，（b）U型電場分布圖

2.2 光子晶體耦合點缺陷波導

光子晶體耦合點缺陷波導的設計是在完整的光子晶體中沿某一方向引入交替的點缺陷結構，電磁波在點缺陷之間相互耦合，以此傳遞能量。光子晶體耦合點缺陷波導最早由Amnon Yariv 提出[14]，近年來，基于耦合缺陷設計的波導引起了國內外研究者的廣泛關注，因為這種耦合跳躍式傳輸，可以在設計大角度轉彎結構的條件下達到接近100%的傳輸效率。所以，此類波導的特性，有希望被用于設計無損器件、無反射分束器件和特殊微波電路的組成元件。

首先依據耦合點缺陷原理設計一個直線型波導，完整光子晶體模型參數與圖2相同，僅在中間一排去掉奇數介質柱，形成直線型點缺陷光子晶體波導，其結構圖和時域電場圖如圖4所示。

圖4 直線耦合點缺陷光子晶體波導。（a）直線點缺陷型模型圖，（b）直線點缺陷電場分布圖

其次，基于耦合點缺陷光子晶體簡易設計一種光子晶體分束器。分束器是集成電路中的一個重要功能型器件，利用光子晶體的特性，就可以實現這個功能，它主要用于能量分束。集成電路中常見的分束器有T型分束器和Y型分束器等。

2.3 基于點缺陷波導分束器

基于耦合點缺陷光波導可以設計傳輸效率很高的分光器件，主要依據兩點：第一，基于耦合缺陷波導的光傳輸，可以實現在大角度轉彎處的低損耗；第二，光波也是一種電磁波，電磁波在耦合缺陷波導中傳輸時，利用的是耦合傳輸原理。這兩點決定了基于耦合缺陷設計的波導分光器件效率高。基于上述對耦合點缺陷光子晶體的分析，這里以耦合點缺陷波導為基礎設計一個3 dB分束器。常見光子晶體分束器的基本結構由直線波導和彎曲波導構成，這里設計的光子晶體耦合點缺陷波導3 dB分束器主要由點缺陷直線波導和兩個L型點缺陷波導組成。

完整光子晶體模型結構參數同上所述，僅在此基礎上構造出直線點缺陷與L型點缺陷結構。FDTD數值仿真結果如圖5所示。

圖5 耦合點缺陷光子晶體波導3 dB分束器。（a）點缺陷型模型圖，（b）點缺陷電場分布圖

從圖5中可以看出，設計的3 dB光子晶體分束器能夠較好地實現能量的分配并進行高效傳輸。

3 結 論

光子晶體是一種可以應用于微波通訊、光通訊、光電集成和空間光電技術等領域的一種新概念材料。利用二維光子晶體結構設計的波導，更是憑借其優異的光學特性贏得了廣泛的關注和深入的研究。本文采用FDTD方法模擬仿真分析了具有耦合點缺陷和線缺陷結構的光子晶體波導的傳輸特性，可以看出，電磁波在拐角處的能量損耗很小，表明二維光子晶體波導、功分器具有很高的能量傳輸效率，這為光子晶體器件的設計研究提供了一定的理論依據。