量子力學教學中關于非守恒量期望值隨時間演變的討論

劉萬芳，尹訓昌，章禮華

（安慶師范大學物理與電氣工程學院，安徽安慶246133）

如果量子力學是物理學中的“黃山”，那么，有許多的“景點”是引人入勝的。在這座“黃山”之中，物理量通常用算符來表示，算符理論則是重要的“景點”之一。在一個量子體系中，由于體系的狀態(tài)一般是隨時間變化的，這就導致算符的取值概率及期望值一般會隨時間變化。但是，研究發(fā)現(xiàn)，在諸多物理量中，無論體系處于什么狀態(tài)，有可能存在一個或者幾個算符，它們的取值、取值對應的概率及期望值是不隨時間變化的，這種特殊的算符稱之為守恒量[1-4]。在守恒量理論的教學中，更多是注重守恒量的判斷，學生如果掌握好守恒量的判斷條件，這對于處理量子問題時的大局觀提升有較好的幫助，可以利用守恒量的特點初步判斷最終結(jié)果的可靠性。但是，勤于思考的同學在學習完本節(jié)內(nèi)容后，自然會提出一個問題：當量子態(tài)發(fā)生變化的時候（不僅僅是量子態(tài)多了一個相位因子），量子力學中的非守恒量，它的取值、取值對應的概率及期望值就一定隨時間變化嗎？本人查閱了不少量子力學的教材，都沒有找到這個問題相對完整的答案。這里通過兩個例子來對這個問題做一些探討。

在薛定諤繪景下，量子態(tài)是隨時間變化的，通常記為ψ(t)。力學量有可能隨時間變化，也有可能不隨時間變化，隱去時間變量，通常簡記為F^。那么，利用薛定諤方程及其共軛方程，可得到力學量期望值隨時間的變化[1-4]：

如果一個不顯含時間的力學量F^與H^ 對易，那么F^的平均值取值、取值對應的概率及期望值是不隨時間變化的，即稱F^ 是守恒量，與體系處于什么樣的量子態(tài)無關。這里，通常將力學量不顯含時間與H^對易視作是守恒量的判別條件。這實際上是個充分條件，因為對于含時不變量（也是守恒量），它卻是顯含時間的。

力學量F^ 在任意量子態(tài)上期望值不隨時間變化才是守恒量的充要條件。對于初學者，由于視野不夠、教師強調(diào)不夠、研究經(jīng)歷缺乏等原因，容易忽略掉前提條件“任意量子態(tài)”，將其期望值不隨時間的變化理解為守恒量的充要條件。為了澄清這一點，我們來討論非守恒量的取值、相應的概率及其期望值隨時間的變化。為了簡化問題的討論，這里不涉及力學量F^ 顯含時間的情況，關于含時不變量的討論，參見文獻[2]。

例1 磁矩為μ=-αS 的電子在恒定外磁場B=Bex中運動（α 為大于零的實常數(shù)）。初始時刻電子處于Sz=?∕2的態(tài)上。求t ≥0時的平均值。

解 首先給出體系的哈密頓量：H =-μ·B=-αSxB，通過計算可得到電子自旋狀態(tài)：

例2 兩自旋粒子構(gòu)成的體系，初始時刻處于三重態(tài)之一的|1,-1＞態(tài)，兩粒子之間存在非線性相互作用，通常稱為一軸橫場扭曲模型[5]。體系的哈密頓量H =+ΩSz，Ω刻畫了橫場的強度。取自然單位?=1。試求：（1）兩粒子t ＞0時刻的狀態(tài)；（2）t ＞0時刻總自旋3個分量的取值、相應的概率及期望值。

解 通過計算，可得到在S^z表象下兩粒子體系t ＞0時刻的狀態(tài)為[6]

對于自旋的3個分量，不難得到其取值分別為?、0、-?，并且，不會隨時間變化。對于S^x，與3個本征值對應的3個本征態(tài)分別為

在ψ(t)態(tài)上測量3個可取值，相應的概率為

在ψ(t)態(tài)上測量3個可取值，相應的概率為

圖1 （a）S^y 3個取值的概率和（b） 3個取值的概率隨時間的演變

第2種情況，取Ω ≠0。此時，不同于第1種情況，自旋的3個分量都不是守恒量。對于自旋分量，3個取值±?和0，相應的概率分別都隨時間作周期性變化，但是，取值為±?總是相等，從而保證其期望值還是為0，如圖2（a）中3條曲線所示。對于自旋分量S^y，3個取值±?和0，相應的概率分別也都隨時間周期性變化，類似于。同樣，取值為±?總是相等，從而保證其期望值也還是為0。不同的是，概率p(Sy=0)和p(Sx=0)的單調(diào)性總是相反，p(Sy=±1)和p(Sx=±1)的單調(diào)性總是相反，分別如圖2（a）中3 條曲線和圖2（b）中的3條曲線所示。對于自旋分量，3個取值的概率與Ω =0時的曲線類似，不同的是，由于Ω的存在，不能處于三重態(tài)之一，如圖2（c）中3條曲線所示。本質(zhì)上是橫場的存在，提高了量子態(tài)的自旋相干性[7]。

綜上所述，在量子力學中，（1）無論是守恒量還是非守恒量，其取值一般不會隨時間變化，即本征值譜是靜態(tài)的，這個是由體系的結(jié)構(gòu)決定的，除非這個量顯含時間，例如，含時哈密頓量其本征值譜是動態(tài)的。（2）一個物理量雖然不是守恒量，它的某個或某幾個取值對應的概率有可能不會隨時間變化，該物理量的期望值隨時間變化。（3）一個物理量雖然不是守恒量，它所有取值對應的概率有可能都隨時間變化，但該物理量的期望值卻不隨時間變化。（4）一個物理量雖然不是守恒量，其所有取值對應的概率有可能不會隨時間變化，導致物理量的期望值也不會隨時間變化。值得說明的是，在一個或者某幾個特殊的量子態(tài)上某個物理量的可取值、可取值對應的概率及期望值不隨時間變化，從而將這個物理量視作守恒量是不對的。因為守恒量對量子態(tài)沒有要求，即任意一個量子（束縛）態(tài)作為初始態(tài)[1-2]，其可取值、可取值對應的概率及期望值都不隨時間變化，這恰恰是非守恒量不具備的條件。（5）定態(tài)是特殊的量子態(tài)，在該態(tài)上任意力學量（當然包括守恒量和非守恒量）的可取值、可取值對應的概率及期望值都不隨時間變化[1,2,4]。

圖2 （a）S^x算符3個取值的概率，（b）S^y算符3個取值的概率和（c）算符3個取值的概率隨時間的演變

在教學的安排方面，非守恒量的期望值問題可以作為一個疑問預先留在力學量期望值隨時間變化的教學的最后，等到自旋部分結(jié)束時，通過對上面兩道例題的解答和討論來給出答案。這樣不僅解決了問題，鞏固了前面所學的知識，還將“黃山”中的幾個“景點”聯(lián)系了起來，這無疑對培養(yǎng)學生量子力學大局觀是有很大幫助的。